Soit

l'équation d'un ellipsoïde homogène de densité égale à l'unité. Si l'on nomme dij l'élément de surface, la composante parallèle à l'axe des x de l'action exercée sur un point de masse [i. est (459)

Mais en posant

x=^ acosp,

f = bsinp cosq,

z = csin^sing,

, I I j . /cos'p sin'pcos» da = abc dp dq s\np 1 / — ~- H —f-^

q sin'/jsin'ç c^

cos(N,X) =

cosp

, /ces'

p sm'pcos^q sin'/jsin'g

et la composante A de l'attraction est par conséquent

(6) f,=bcr r^j'^p^Pdpdq.

J o Ju ^

La même composante est, en vertu de la formule (5) (460),

I , A r r^'if^P / ^[{<x—x)x (5 — r)>- ly — z)z'\ , ,

Supposons actuellement que l'on fasse varier les axes a, h, c eu laissant constantes les différences de leurs carrés a^ — b^, a* — c^, de telle sorte que les sec-

lions principales de l'ellipsoïde conservent les mêmes foyers, le rapport —r- pourra

alors être considéré comme une fonction de a, h, c, ou, si l'on veut, de l'une quelconque de ces variables dont la valeur, d'après notre supposition, détermine les deux autres. L'équation

abc^j^ Jo ar ~ ^P ^

montre que, a, b, c croissant indéfiniment, —r- décroît sans limite, et s'annule

quand a est infini. Posons -T^ = S, et différenlions l'équation (8) après l'avoir

multipliée para; p, q pouvant être traités comme des constantes, car il est permis de comparer, dans les deux intégrales, les éléments qui se rapportent aux mêmes valeurs de ces quantités. On aura donc

(9) adl-^lda=-r T'^^^P^dpdqdr.

Jo Jo

Mais on a

r'=(a — ar)'+(j3— 7)'+(y — z)^ ■

En y considérant x, y, z comme des fonctions de />, de q et de a, et faisant varier a seulement, on a '

rdi'z=:—{a.— x)dx — {<^—y)dy-—[y — z]dz, c'est-à-dire

idr = — {a. — x)cosp da — {l^ — y) smp cosqdb — {y — z) s\np s'mqdc, et, "a cause de ada= bdb :^ cdc,

r dr = — (x — X ) ~ da — i^ — X) -r db — {y — z) - de

et l'équation (9) devient, en remplaçant acos/? par x,

adl+lda = da£ £ ^-^ x (^^ x + ê^ ^ + l^ zj dpdq. Retranchons l'équation (7) multipliée par -t-> nous aurons