la

et le second membre est égal (457) à zéro ou h — ^-^ — » suivant que le point

«, j3, 7 est extérieur ou intérieur.

Considérons d'abord le premier cas. L'équation

prouve que § reste constant lorsque l'ellipsoïde attirant croît ou décroît en conservant des sections principales de mêmes foyers, et, par conséquent, on peut remplacer l'ellipsoïde attirant par un autre dont la surface passe par le point attiré; les deux corps exerceront des actions dont les composantes divisées respectivement par le produit des axes seront les mêmes, et, les deux résultantes dirigées dans le même sens, seront proportionnelles aux masses des deux ellipsoïdes.

Ce théorème remarquable a élé aperçu par Maclaurin, qui l'a démontré seulement dans le cas particulier où le point attiré est situé sur l'un des axes.

Considérons, en second lieu, le cas où le point attiré fait partie de la masse attirante; on a alors

4iTarfrt

dl^-

cûbc

mais

:rt'— A-, C=

k'^ et k'- étant des constantes. En remplaçant b et c par ces valeurs, il vient

et, comme ^ est nul pour une valeur infinie de a,

Ju a'sjd'— k'sjd'—h"

Pour éviter la confusion entre la lettre a, qui sert de limite inférieure et qui est l'axe de l'ellipsoïde attirant, et la lettre par rapport à laquelle on intègre, qui représente les axes successifs des ellipsoïdes liomofocaux, remplaçons cette seconde lettre par u et posons

nous aurons

^__4 7ra

Mais

donc

/.-» =a'—b\ ft'' =a'— <;•' ;