LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMETMTS. US

Si l'on suppose sur une surface de niveau la densité en chaque point égale h l'intensité de l'attraction qui serait exercée en ce point sur une molécule de masse unité, on forme une couche infiniment mince de masse finie dont nous allons étudier l'attraction sur les points de l'espace.

La masse d'une telle couche est égale au produit de ^n par la masse de la portion du corps attirant qui lui est intérieure. Cela résulte évidemment du théorème (4-72), dans lequel, par la nature de la surface de niveau, la composante normale de l'attraction se confond avec l'attraction elle-même. Toutes les couches qui enveloppent le corps ont par conséquent même masse.

475. Si de chaque point d'une surface de niveau on fait partir une ligne qui coupe toutes les surfaces à angle droit, et que l'on nomme points correspondants sur deux surfaces ceux où elles sont coupées par une de ces lignes, chaque élément de l'une des couches aura sur toute autre couche un élément correspondant détaché par le canal lieu des courbes orthogonales issues des points de contour qui limite l'élément considéré. Les portions correspondantes de deux couches extérieures au corps attirant ont toujours une même masse, et, lorsque les deux couches comprennent entre elles une portion de la masse attirante, la différence des masses de deux portions correspondantes sur deux couches différentes est égale au produit de 4^ par la portion de masse attirante comprise dans l'intérieur du canal orthogonal aux couches de niveau qui les réunit.

Pour démontrer ce théorème dont le précédent, relatif aux couches extérieures, est évidemment un cas particulier, il suffît d'appliquer le théorème (472) au volume compris entre les deux portions considérées de surface de niveau et le canal qui les réunit. Les forces d'attraction étant, tout le long du canal, tangentes à ses génératrices, les éléments de l'intégrale qui se rapportent à cette portion de la surface sont égaux à zéro, et il ne reste que ceux qui se rapportent aux deux bases dont la somme représente évidemment la différence des masses des portions des couches correspondantes. Cette différence est, d'après le théorème (472), égale au produit de 4^ paï" la portion de masse attirante comprise dans l'intérieur du canal, et à zéro quand les deux couches sont extérieures à la masse attirante.

476. Si l'on divise par4îi la densité de chaque élément des couches définies (474), les énoncés précédents prennent une forme plus simple. La masse de chaque couche est égale à celle de la portion du corps attirant qui lui est intérieure, et les masses des deux portions correspondantes ont pour différence la masse de la portion du corps attirant intérieure au canal qui les réunit.

En adoptant cette modification à la définition des couches, nous pouvons démontrer le théorème suivant:

Une couche quelconque exerce sur les points intérieurs une attraction égale et de

4i(i DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

signe contraire à celle de la portion du corps attirant qui lai est extérieure et sur les points extérieurs une attraction égale à celle de la portion du corps attirant qui lui est intérieure.

Soit en effet C l'une de ces couches et M un point situé dans son intérieur; le

potentiel U relatif à l'action de cette couche sur" le point M est

dm désignant la masse de l'un des éléments de la surface de niveau, en lui supposant une densité égale au produit de 7— par l'attraction -j- exercée par la masse

attirante à laquelle elle se rapporte. Cherchons l'accroissement de ce potentiel U lorsque, le point M restant fixe, la couche C est remplacée par la couche infiniment voisine qui l'enveloppe. 11 faut, pour former U + rfU, remplacer chaque élément dm de la couche par l'élément correspondant de la couche voisine, c'est-à-dire l'accroître (475) de la portion dm, de la masse attirante comprise entre les deux couches. On a par conséquent

dm d ~

d - est égal à -^dr, c'est-à-dire, en nommant dn la distance normale des deux

couches et 9 l'angle du rayon vecteur avec la normale.

ces 9 dn.

On a donc

flfU:

- I — ' — / -:^dmdncos<!f, et, en remplaçant dm par sa valeur — ~ -j-, et remarquant que dY est constant,

rdm

c'est-à-dire (457)

rfU: