LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEJIENTS. et par conséquent

rf'V, rf'V, d'Y

'^=-47rD.

dx' d^'' df En ajoutant les équations (i i), (12) et ayant égard à (10), on obtient l'équation (9).

472. On déduit des équations (8) et (9) un théorème remarquable, dont les conséquences sont considérables.

Si l'on considère une surface fermée quelconque contenant dans son intérieur tout ou partie du corps attirant, que l'on multiplie chaque élément par la composante normale à la surface qui serait exercée sur une molécule de masse-unité placée en ce point, la somme de ces produits, représentée par une intégrale double, est le produit de !\u par la portion de masse attirante située dans l'intérieur de la surface donnée.

L'intégrale triple

étendue au volume intérieur à la surface donnée, est évidemment, en vertu des équations (8) et (9), égale à — 47:M, M étant la portion de masse attirante comprise dans l'espace qui limite les intégrations. Mais chacun des trois termes

placés sous le signe j l I peut être intégré une fois, le premier par "rapport

hx, le deuxième par rapport à j, le troisième par rapport à z, et l'intégrale (1 3) se ramène ainsi à une intégrale double dont la valeur est — ^nM.

On a, en supposant que la parallèle à l'axe des X coupe la surface aux points i, 2, 3, 4.

Mais, en nommant r/c-, ch,, du^, dv^, rfo-, les éléments de surface interceptés par le parallélipipède dont la base est dydz, on a

dfdz = — </(7, cos(N,, X)3=</(7,cos{N2, X) = — rf(73C0s{N3, X) = rfiT, cos(N,, X),

(N,, X), (Nj, X),... étant les angles des normales extérieures avec l'axe des x. D'après ces formules, l'intégrale devient

rfV

la somme s'étendant à tous les éléments de la surface. En transformant de même

iii DEUXIEME PARTIE. — CALCUL INTÉGRAL.

les deux autres termes de (i3), l'expression deviendra

p/o-r^cos(N,X) + ^cos{N, Y] + ^Jcos(N, Z)1,

et, comme le multiplicateur de da est évidemment la composante suivant la normale extérieure de la force dont les composantes sont -j—i -r-i —;-■> la compa-

^ dx dy dz '^

raison de cette formule avec l'expression trouvée — 4"M démontre le théorème énoncé. Si l'on prend poiir direction positive celle de la normale intérieure, les composantes changent de signe, et l'intégrale est !\i:'^\.

On peut, dans l'expression du théorème précédent, désigner la composante sui-

dy vant la normale intérieure (468) par -r-' et écrire

Surfaces de niveau.

4-73. Le potentiel V relatif à un système de masses est une fonction des coordonnées du point attiré, et le lieu des points pour lesquels il a une valeur constante est une surface que l'on nomme surface de niveau. Une surface de niveau est normale en chaque point à la résultante de l'attraction.

L'équation

V=: const.

d'une telle surface donne en effet

dN , dW , d\ ,

-j— dx H — j— dr -\ — — dz = o, dx dy •' dz

et l'on en conclut que la direction de la résultante qui forme avec les axes des

, , ,, . , ,. , . d\ dY d\ ^ j- , • -

angles dont les cosinus sont proportionnels a -t— » -r- , -r-) est perpendiculaire a

celle d'une tangente quelconque de la surface de niveau formant des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz.

474. Les surfaces de niveau relatives à l'attraction d'un corps sont des surfaces fermées dont les unes lui sont intérieures, les autres le traversent, et les autres enfin, qui grandissent indéfiniment en s'approchant de la forme sphérique, le contiennent tout entier dans leur intérieur.

Ces surfaces jouissent de propriétés remarquables. Nous rapporterons les plus élégantes et les plus simples qui ont été découvertes par M. Chasies.