X- z^ /\.a' z- 8a^z a' z èa' J z
Çdx __ b'x iib'x 3b i 35b^ Ç dx
J x'z'~ /ia'z'^ Ha' z ~^ ~a'x "~ 3a' x" "^ 8â*"J T ' Çdx b'x i5b=x 6b' b i 63b' Çdx
cl ainsi de suite.
33. Si dans les formules (7) on suppose n= 3, on a, en posant a 4- bx^ = z,
. o, Çx''dx x"*' w — 3/7+1 Ç X" dx
' j 'zP+'' "" 3apz> 3âp J zi' '
.. Ç dx I n + 3p — i Ç dx
^ J X" z''+' """ 3apx"-' zf Sôyô J X" zi''
On trouve d'ailleurs directement, par la décomposition en fractions simples, en
posant k = Ù jf
Çdx Ir ( i , [x + kf ,- a7v/3 \
j T = 3^ U ' ¥^k^TL' + ^^ ''' ''"^ iF-x ) '
/^dx I /i , {x-hf,-y- ,7-. x\j3 \
/x'dx I
ZP+' '~~ 3bpzi''
et l'on déduit des formules de réduction
et ainsi de suite.
On a aussi
dx dx
/x^ dx X ^ r
/x' dx x' a r X
/x'dx i , , ,
/x' dx X* ax cC Ç I ~1~~ - P ~ "F + 6^ j "
/x' dx x''. ax' a- r
/* dx .r 2 /' dx
J z'' 3az ^(i J s '
rxdx X- I r xdx
z' 3az 3«j z
/x' dx i
/x' dx x i r ~z~ ~~ Uz'^ U J
xdx
dx
C dx i . x^
xz Za z
/dx I b rxdx x'z ax a J z
J x'z 2ax' a J
rdx__ J ^~z~'
dx
5ax^ ia- X-'
dx
/dx I b h' rxdx
X'Z ^ax' a'x ci'J z
34. Si l'on suppose enfin n = 4, en posant a + bx' — z, on aura les formules
dz 'dx ' dx
(le réduction
( 20 ) / X" ZP dx — ^J!LZ! Ij' I ^'.+ . ;;/. I (/^.
(21) Çx-dx ^ X-+' ^p-n-i rx-i
J zP^' \apzP ^ap J z'
, > , C X' dx x<--' n — 3rx"-'d
J ZP+' ibpzi- ^bp J zP
, ,. r X" dx X" ^ a rx"-'(
, r dx X 4^—1 Çdx
r dx^. çjix b r d.
' .Jx"zi'-^' a J X" zP ajx""*.
, c, r dx i , rdx
J xzP*' ^apzP aj xzP On trouve d'ailleurs, en supposant '. positif et posant i/'r — k,
/dx k ( , x'' + kx v/2 + h ' kx Jt,
— = I / = 1- 2 arc lang 7——^ — •s ^a\li\ x- — kx\ji-hlt^ k'—x-^
CxUix h' /,x' — kx\J2 + k' kx)/7.\ I = --; l l -= h 2 arc tang y- :
J -z 4« V2 \ X- + kx \h. + II" h'^x-J
et lorsque ^ est négatif, en posant V/ ~x =^ •
rdx k' /.x + k' x\
fx^dx k" 1 ,x + k'
I T=: y- [l -7 — ?, arc tang
La formule (24) donnera
rd£ ^ 3 rdx
/dx x I 1 7 \ 21 r dx
rdx X /__i \i 77 \ , 77 Ç
J 2' a\i2Z=' 9602^ 384a=2,i i28aV
r^-^/'L 5 ^ 55 ^ 385 \ ti55 r
J z' ^rt \i62' 64«2-' 5i2«'2' 2o48a"2/ ao48a'J
et ainsi de suite;
' dx
r dx i^ ft r^r
J X' z ax a J
rdx I bx' Sb r X- dx
x'' z' ax ^a' z ^a- J z
r dx I Ax' / I i3 \ ^Sb r x^dx
J x' Z' a- X a' \hz- Siazl ^la' J
z 67 \ 1 95 6 r x' dx
r dx I bx' / \ 7 67 \ 1956 r
./ x^ z^ a'' X a' \\iz^ Zïaz- ii^ia'zj laba'J
et ainsi de suite.
35. Il existe des formules de réduction analogues pour les différentielles dans lesquelles figurent les puissances d'un trinôme. L'intégrale
1 x"*^ dx[n + bx + cx-)i'
peut être réduite à d'autres de même forme dans lesquelles l'exposant de x est moindre.
On a, en effet.
-,- x'"(a + bx ->r ex'')!' -- mx"' ' [a + bx ->r cx')i' + px'" {b -i-9.cx){a + bx + ex')''- ' T- max"~'{a+ bx + ex'')'"' -h {m-\- p) bx"'{a + bx + rx^)P''' + {m + ■2p)(:x"'-^' [a + bx + cx')''^',
et par conséquent, en posant, pour abréger, a ■+- hx + ex- := z,
x" z'' ^ ma j x"'- ' zi' ' dx + {m + p) b l x" zi"' dx -i- (/n+ 9./;) c /x"'+' ;''~ ' dx,
OU, en .résolvant par rapport à l'intégrale qui figure dans le dernier terme du second membre et changeant /» enp-h i,
, , r ^. J x"' zi'+' am r , b(m + p + j) r ,
( ?.7 / x"'+' zi' dx = / X"'-' zidx -r ■ 1 x'" zp dx.
J c(/n + 2/> + 2) c{ni+2p + i)J c[in + 7.p+n)J
Si l'on remplace /7 par — p — \ , cette formule devient
rx"-* ' dx x"' a" r X"- ' dx b{m — p) Ç x" dx
2'--*' e{m— ■}.p)zi' r[m — 2p)J zi'-'' c{m — 7p}J zi"^'
Mais on a
"-'dx r x''-'{a-i- bx -ir ex') . [' x'" . C x"+' dx
r X"-' dx {' x'-'la-i- bx + ex'] , , [' x"' , t"
al -^ ■ — I fJx — 0 I — - dx — c l
zf-*-
En ayant égard à cette équation et faisant passer dans le premier membre l'intégrale semblable à celle qui s'y trouve déjà, on trouve
■ Q. r ^mLÉ^ ^ __^"' "' r x""' dx b r x" dx
J •2'"^' ~" 9.CJJZI' y<P J s'*' ~ 7.C J Zl'*^- '
