LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

La probabilité pour qu'il y ait rencontre, l'une des cordes étant PQ, est le produit des probabilités- (A) et (B):

PQdrdS

(2 — ces a — ces {3);

et la probabilité pour qu'il y ait une rencontre dans l'intérieur du petit cercle est évidemment l'intégrale de cette expression lorsque tir et 0 prennent toutes leurs valeurs; l'intégration par rapport à fir se fait immédiatement. La somme

VQdr

est précisément l'aire du cercle que nous nommerons c, et le résultat de cette première sommation est

-^ (2 — cosa — cosp).

Soit rji l'angle sous lequel la courbe est vue d'un point du cercle infiniilient petit,

on a

j3 = &) — a et d9 = dix.

La probabilité demandée est donc enfin

- / [2 — cosa — C0S( w — « )] doc = j7 (,w — sinco)

La probabilité pour que les deux cordes se coupent en debors de la courbe est l'intégrale de cette expression lorsque da coïncide successivement avec tous les éléments du plan extérieur à la courbe, et comme il faut que les cordes se coupent à l'extérieur ou à l'intérieur de la courbe, la probabilité (2) ajoutée à l'expression trouvée (511) doit donner pour somme l'unité. On a donc

2Tri2 ■>■ r, , . , ■

-jy + p I rfa-(a) — smw)= I,

rfa(M — sina));

7rl2,

d<j désignant un élément quelconque du plan extérieur à une courbe convexe dont l'aire est 12 et la longueur L, et w l'angle sous lequel cette courbe est vue d'un point situé sur l'élément da.

C'est le théorème de M. Crofton.

m^Êtwmmr^