CALCUL INVERSE DES INTÉGRALES DÉFINIES

Indétermination du Problème.

513. La recherche d'une intégrale définie de valeur donnée est un problème essentiellement indéterminé. Parmi les solutions en nombre infini, il en est souvent de fort utiles pour les transformations analytiques. Nous en avons déjà, en

indiquant les applications de l'intégration sous le signe / > cité quelques exemples

élégants. Nous en réunissons quelques autres dans ce chapitre, en y joignant la solution de quelques problèmes dans lesquels la forme assignée d'avance à l'intégrale cherchée fait disparaître l'indétermination.

Proposons-nous, par exemple, de remplacer la fraction - par une intégrale définie. Il suffit évidemment de chercher une fonction '^[x) qui, s'annulant pour x^ a, soit égale à - pour a; = /3, et en nommant (f'{x) la dérivée de cette fonction, on aura

- = I <»'(*•) dx.

On a, par exemple,

-= / a:"-"' rf.z- — / e~"'clx^= I cosnxdx, .

" Jo Jo Jo

et les solutions sont évidemment en nombre infini.

Transformation d'une série numérique en intégrale définie.

514. Donnons immédiatement quelques applications de ce genre de transformation. Considérons la série ^

3 5 7 9 II 8rt -+- 1 8n-i-3 8m -+-5 Sn + 'J

on a