LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. o

posons

et développons cette fonction suivant les puissances de z — u, nous aurons, puisque

et la série est convergente (531) pour toutes les valeurs de z qui correspondent aux points de l'intérieur du cercle. On en conclut évidemment que si 9'(«) n'est

pas nul, j''2 a une valeur finie pour z—u., et (jue a est une racine simple. Si

(p'(a) est nul,

^ " - se réduit pour z = a à ' '^ , et a est une racine double. Si : )' ' 1.2

o"(a) est nul, , '^ '" -se réduit pour z — a a ' 5^» et a est une racine triple. En

général, si les m — i premières dérivées de ^(zj s'annulent pour z = a, le degré de multiplicité de la racine est précisément égal à m.

Il est impossible d'ailleurs que toutes les dérivées soient nulles à la fois, car le second membre de la formule (i3y se réduirait à zéro, et l'on aurait, pour toute valeur de z, (p{zj =0.

536. Le théorème précédent, pour être bien compris, ne doit pas être séparé des explications données (I, 373 i sur la définition d,'une fonction bien détinie. On peut aisément former en effet des équations dont les racines aient un degré de multiplicité fractionnaire ou même infiniment petit. Ainsi, par exemple, a est racine de

et le degré de multiplicité est - dans le premier cas et infiniment petit dans le

second. Mais notre théorème ne s'applique plus ici, parce que les fonctions \/z — u et l[z — a) ne sont pas des fonctions bien définies.

537. Si a,, a^,..., a„ sont racines simples d'une même équation ^(z) = o, on aura évidemment

<i({z) étant une fonction bien définie qui ne s'annule pour aucune des valeurs a,, a^,..., a„ de la variable.

Le théorème s'étend au cas où les racines sont multiples, pourvu que l'on re-