I. Cale. i/il

garde une racine du degré de multiplicité m comme la réunion de m racines égales entre elles, et le facteur [x — «)'" étant alors remplacé par m facteurs égaux à X — a.

538. Lorsque la fonction (f{z) devient infinie pour une valeur s = « de la variable, a est racine de l'équation

et le degré de multiplicité de cette racine est un nombre entier. Si nous le désignons par m, la fraction

aura pour z = a une valeur finie, et par conséquent le produit

prendra lui-même une valeur finie pour z = a, et comme il est évidemment fonction bien déterminée de z, il sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances de z — a., représentant exactement la fonction pour toutes les valeurs de z qui correspondent à l'intérieur d'un cercle suffisamment petit. Soit

on en conclura

(];(«) étant une fonction bien déterminée qui ne devient pas infinie pour s = a.

539. Toute fonction bien déterminée devient nécessairement infinie pour une valeur finie ou infinie de la variable.

Soit ç(z) une fonction bien déterminée et supposons que pour toute valeur finie ou infinie de z son module soit inférieur à une limite finie M.

Décrivons un cercle de rayon arbitraire R ayant pour centre l'origine des coordonnées. La fonction (f{z) est développable en série convergente ordonnée suivant les puissances de z et applicable à toutes les valeurs (531) qui correspondent à l'intérieur du cercle. On en conclut (532)

cp°(o) I r(sf(z)dz

l'intégrale du second membre étant prise le long de la circonférence du cercle de