Nous avons rencontré déjà plusieurs séries de la foruâC

Au + A, sinx + AîSinaa--)-. ■ . + A„sinrtar -(-...,

mais les conditions de convergence et d'exactitude n'ont pas été discutées, et la démonstration l'ondée sur l'emploi d'expressions imaginaires n'aurait pu être rendue rigoureuse qu'en anticipant sur quelques-unes des théories exposées dans ce volume.

Nous allons reprendre dans sa généralité cette théorie importante et démontrer le théorème suivant :

Une fonction réelle o{x) peut toujours être représentée pour les valeurs réelles de x comprises entre —■nel -f- t: par une série de la forme

Ao •+■ Al sin X 4- Aï sin ix -\- . . . + h,, sin nx -t- • . . -I- B, cosx ■+■ Bj cos2.r 4- • • +- B„ cos«.r -f- . . . .

Commençons par admettre la possibilité du développement, nous déterminerons, dans cette hypothèse, les coelïicients des diflerents termes pour prouver en.suile l'exactitude de la formule obtenue.

Soit donc l'équation

(25) 9(a;) = Au -H Al sino,- H- AïSin 2a?H- . . . -+- A,, sin/ijr -f- . . . >