LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

et par conséquent l'équation (aS) donne

Sfd

j 9f.r)si

ainnx dx = 7tA„.

En multipliant les deux membres de (2.')) par l'.o&nœ dx et intégrant entre les limites a? = — 71, x — + n, on trouvera de même

cos nx (la; = i:B„.

Le coefficient A^ s'obtiendra enfin en multipliant par djc les deux membres de l'équation (-iS) et intégrant ensuite entre les limites — tt et -h tt, on aura ainsi

Xo{x)dx = aTTÂo, -7:

et par la substitution des valeurs trouvées pour les coefficients, l'équation (aS) deviendra

(26) tp(x) = — / (f(x)dx

H — sina^ 1 (^{x)s'mxdx -hsin9.x j <f{x)sin7.xdx -h •••

ix I o{x)cosxdx -i- C0S9.X I (çi{x)cos'y.xdx -h • •• y

oos;

546. L'emploi des coefficients indéterminés est une simple méthode de recherche, et il est indispensable de prouver à yooi/mon l'égalité des deux membres. Remarquons d'abord que les intégrales définies qui figurent dans le second membre

de (26) sont indépendantes du nom donné à la variable placée sous le signe / ;

il est donc permis d'y remplacer œ par une nouvelle variable a, et celte substitution permettra de réunir celles-ci en une seule après avoir introduit sous le signe intégral les facteurs indépendants de x (jui les multiplient. La formule (26) devient ainsi

(27) o{x] = - I f{x)dx\ — \-cos{x — x)-hcos2{cc — x)-h... + cosn{a — x)-i-...\'

Pour eu prouver l'exactitude, nous allons calculer le second membre et constater que sa valeur est égale à ip{x).

Supposons d'abord que la série qui sous le signe d'intégration multiplie 9 (a) d«

L Cûlr. int. 67

soit arrêtée au terme cosn(o: — x). on pourra la réduire à l'aide de la formulo

connue

sin ( n -h - J ( a — ar )

- •+■ CCS {« — x) -h- ces a ( « — a: ) + ... + cos n{a — x)=: 5

2sin- (a — x)

et le second membre de (27) est par conséquent la limite de l'intégrale

sin(w+M(«-ar)

(28) - / <f{a)da--^ ^-^ ,

. '^-■^ 2sin-(a — a:)

lorsque n augmente indéfiniment.

X étant par hypothèse compris entre — n et -hir, on peut partager l'intégrale en deux autres, l'une prise entre les limites -^n el ce, l'autre entre x et t:; en posant dans la première a=:x — 2/3 et dans la seconde « = a;-H2j3, l'intégrale (28) devient

/ > C'^ , fli jo sin(2«H- i)S /*'' , -, ,^ sin(2n + i)|3

(29) j y(^-2i3)rf(3— ^^.^^ '^Jo <p(^ + 2p)^i3 gi„p "^^

- {n -hx) et - (tt — a?) étant l'un et l'autre compris entre zéro et n, chacune de ces

intégrales (284) a pour limite -f{x), et l'expression (29), qui est leur somme, a pour limite n(p{x), ce qui démontre l'exactitude de la formule (27).

547. Lorsque, pour la valeur considérée de x, o{x) est discontinue et passe brusquement d'une valeur à une autre de telle sorte que, £ étant infiniment petit, f{œ — i) et (i){x-{-£) ne soient pas égaux à la limite, la première des intégrales (29)

est le produit de - par la fonction (p(x —- 2^), dans laquelle on suppose /3 = o, et

la seconde le produit de - par la fonction ({/{x-h 2^), dans laquelle on fiiit la

même hypothèse; ]3 étant positif dans les deux cas avant de s'annuler, on voit que la somme (29) est égale au produit de n par la demi-somme des valeurs de la fonction <f{x), et que par conséquent la série représente dans ce cas la demi-somme des valeurs de f{x).

548. Le cas où x est égal à l'une des deux limites — tt et -hn doit être examiné à part. La seconde intégrale est alors égale à zéro et la première devient

f"" , -;sin(2n4-i)(3 ,„

Jo smp

il résulte de la démonstration donnée (286) qu'elle a pour limite, lorsque « augmente indéfiniment,

-7i:[cp(7r)

L'équation (27) n'est donc applicable aux valeurs limites que dans le cas où l'on a

<p{7r) = 9(— it).

Il était évident d'ailleurs à priori (\\xQ dans toute autre hypothèse la série prenant la même valeur aux deux limites a; = — tt, a; = + n, ne peut dans ce cas représenter la fonction. Elle représente, on le voit, la demi-somme des valeurs correspondantes à ces limites.

549. On pourrait, dans la démonstration précédente, substituer aux limites — 7: et H- n deux autres limites a et a + 27: différant de in. La série représenterait la fonction entre ces deux limites, qui seraient alors celles des intégrales qui expriment les coefficients. La fonction étant arbitraire, on peut la supposer nulle lorsque la variable varie entre certaines limites et restreindre les intégrations qui servent à exprimer les coefficients aux limites arbitraires a et 6 entre lesquelles on veut représenter la fonction, la différence de ces limites étant nécessairement moindre que 2n. Pour les valeurs de la variable comprises entre è et a + in, la série sera alors constamment égale à zéro.

Il est évident, enfin, que pour substituer aux limites — tt et + tt deux autres

mites — a et + a, il suffit de considérer ^- comr

de développement seront alors de la forme A„ cos

limites — a et +a, il suffit de considérer-^ comme étant la variable; les termes

et B„ sin — j et i on aura

où l'on pourra enfin, aux limites — a et + a, substituer deux autres limites quelconques dont la différence soit égale à 2a.

550. Lorsque la fonction f{x) est impaire, c'est-à-dire quand on a

l'intégrale

cosnx dx

est égale à zéro. Les coefficients des cosinus sont donc nuls dans le développement, et la série ne contient que des sinus. On voit de même que le développement d'une fonction paire ne contient que des cosinus.

551 . Développement de -x. — La série qui entre les limites x=^ — n et.r = -i-7; représente - x, ne doit contenir (550) que des sinus.

On a

X sm nx dx =^[ — 1 1" ■ — »

et par conséquent

(3i) - X — s'mx sin2x + ^ sin3.r — -y sin4*' H — • •

Pour x = n, le second membre se réduit à zéro. Il représente en effet (548] - (— ;r-f-;î), et l'équation (3i) n'est pas exacte. En changeant x en i: — x, on a

(32) - (TT — j?) =: sin^ H — sin2:t -h T sin3A- H »

et en ajoutant membre à membre

(33) . - 77 = 2 [ sinx + -.r sin3^ H- -p sin5j? + -

Cette équation suppose x ei n — x compris tous deux entre — n et +7i; x doit donc être compris entre zéro et n sans atteindre l'une des deux limites.

Pour obtenir directement l'équation (33), il suftit d'appliquer la formule générale de développement à une fonction (^{x] égale à -^ pour x compris entre zéro et t:

et à — - pour x compris entre — tt et zéro.

552. Le développement trouvé (551) est le seul de cette forme qui entre les

limites — ;r et -\-t: puisse représenter - a;, mais on en peut former une infinité

d'autres qui représentent cette même fonction dans une partie seulement de l'intervalle.

En supposant par exemple '^{x) = - a; lorsque a; est compris entre et -+- ->

et <^{cc) = o lorsque x est compris entre — ;: et — - ou entre - et tt, on trouve

(sin.r sin3.r -\ — ^ sin5

X ~ -y— sin7.r •

Si l'on fait x = -'-> le second membre devient

Il représente la demi-somme des valeurs y et zéro, c'est-à-dire jr? et l'on a

comme on l'a trouvé (I, 414).

Supposons (f{x) = - lorsque x varie de zéro à a, (p{x) = - lorsque a; varie de «

à t: — a et <p{x) = ~ quand x varie de t: — a à tt; ajoutons enfin que l'on suppose la. fonction impaire et l'on trouvera aisément

• o(ari == - I sinj; sina H — sin3*' sin3a -\ — p sinSx sin5a + . . . ). ^ îT\ 9 ■-'5 /

Si l'on fait a;= -» on a

- = - ( sma sm3a H — ^^ sm5« 4- • • • N

ce qui s'accorde avec la formule (34,.

553. Pour représenter la fonction ~ x par une série qui ne contienne que des cosinus, il suffit de supposer ç (a?) = -x lorsque x varie de zéro à t: et <p{x) = — - x lorsqu'il varie de — t: à zéro. On a alors

et tous les sinus disparaissent du développement. On trouve alors

,,.. X r 2/ cos3x cos5a: cos(2« -t-iix

(35) - = -; cos:c ' ' , , \ I

cosBx cosSa:

Si l'on fait a? = o, on retrouve