I. Cale. int

Théorème d' Ahel.

586. Le beau théorème d'Euler, généralisation d'nn résultat obtenu par Kagnano, n'est lui-même qu'un cas particulier d'un autre théorème dû à Abel et dont nous ferons connaître ici un cas fort étendu, susceptible cependant encore de nombreuses et importantes généralisations.

Posons, pour abréger,

Nommons /(a?) et '^{oc) deux fonctions entières de x, l'une paire et l'autre impaire, dont les coefficients soient supposés variables. Si l'on décompose la fonction

en facteurs de la forme a;-— x\, en posant

f{xy— '^{xf{^x)- = k[x''—x\)[x''—x\).. .[x' — x'^

où A est indépendant de x, et posant

on aura

C étant une constante indépendante des coefficients des deux fonctions (pfar) et

En désignant par a; l'une quelconque des racines a;,, a;,,..., x^,, on a enislïet

(38) f[xy—(:((xf[\xY = o, et par conséquent

où le radical A,r doit recevoir un signe déterminé par ceux de /(o-j et de (f{x). Posons

•i/{x)=j\xr-<^[x]■'{^xY,

X désignant l'une quelconque des racines .r,, x.,,..., x^. En nommant ùx le changement infiniment petit que subit la racine x lorsque les coefficients de ^[x) et

ceux (Je /(a;) varient infiniment peu, et '^'[x) étant la dérivée de <i^{x) par rapport à X seul, on aura

'i^'{x)QX -h ■2.f{x)of[x)— 2(p(.r) ô(p(.r)(A:c)^ = 0.

Il est clair en effet que i|/ (a;) devant conserver la valeur zéro, sa variation est nulle; or elle se compose de la différentielle <i('{x) &x correspondant au seul accroissement de X, les coefficients restant les mêmes, et de la variation due au changement des coefficients qui forme les deux derniers termes de [ko). L'équatiott (Sg) donne

f[x) —— cpfa?) A.r; par conséquent

^{x){bi.xY^^~f\x]Lx,

et l'équation (4o) devient

']^'{x)hx=lt^x{v^[x)Qf{x)~f[x)QV([x)\.

On en conclut

hx 2 \i^[x)^f[x) — j'{x)^^[x)\

Attribuons successivenient à x les valeurs x^, X2,..., x^ et ajoutons les équations qui correspondent à ces diverses hypothèses. En posant

(f'x]Sf{x)—f{x)do{x) = e{x),

nous aurons

ôx,

6X2 Ax2

ix.,~'^\']^'(x,

Hx^)

Mais G(x) étant une fonction entière de x de degré inférieur à celui de ^' {x), le second membre, en vertu d'un théorème très-connu d'algèbre est égal à zéro, et l'on a

OXi 0X2

Ax, Axj

Ax.j

Si les coefficients Aefix) et de (f[x) variant d'une manière continue, les racines Xi, X2 ^,i deviennent x\ , x'„,. . ., x'.^ , on aura, en intégrant l'équation (42),

'r< dx^ r< dx^ ^ r^'-^'^^ — o

oSn DEUXIEME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

et, par conséquent, si l'on pose

dx

ÙS.X

et la somme Ffa;,) + F(ir2) +•■■ + ^{x^) conserve constamment la même valeur.

587. Le théorème précédent, à cause du choix arbitraire des polynômes /(a?^ et ip {x), comprend un grand nombre de résultats particuliers. On peut se donner arbitrairement les racines .t,, .r,,..., x^^i, et déterminer a;^ en fouction algébrique de ces quantités arbitraires, de telle sorte que les deux membres de l'équation (44) soient égaux à zéro.

Posons en effet

(45) f{x) = flo + <i: ^' + «ï .r' + . . . 4- a„ ^1 x'"-'' 4- x'"',

(46) (pfa;) =ar(6„+ />, x= -4- 6j.r' +. . . + b„^^x'"'-'],

on peut se donner arbitrairement lei racines a-,, x^,..., a;2„, et en déduire a„, a,,..., a„,, ^01 ^ii--M ^«-2> à l'aide des équations

!/(^,) + <p(a:,)Aa;, =o, f{x^) + ^{x,)!i>.x, = o, j f{x,n-,) 4- cp(.ri„i) AXï„, = o,

où les radicaux Ax,, àx^ Ax„ seront pris avec les signes que l'on voudra

choisir. Ces équations du premier degré par rapport aux inconnues étant résolues, les coefticients de l'équation (38) seront tous connus, et le produit des racines étant égal au dernier terme, on déterminera la dernière racine .To„ par l'équation

qui donne

On choisira le signe arbitrairement, et la valeur correspondante de Aa?an satisfaisant à l'équation

et l'on aura

( fQ\ aX\ C1X2 «.^— I dXin

Ax, A.rj Axin-i^ Ax,„^

X2„ étant une fonction connue des variables indépendantes x,, x.,,..., a;^,,.,.

a72„ est nul, il est aisé de le voir, quand on suppose en même temps a;, = o, ojj^o, .... a:a„, = o. Pour que l'équation (38) admette en effet 2/1 — 1 racines nulles, il suffit d'y faire cf„ = 0, a, = 0,..., a^n-\ =o> ^0 = '''•••' ^«-2 = 0, ce qui la réduit à

dont toutes les racines sont nulles. En intégrant l'équation (48) on peut, d'après cela, faire commencer toutes les intégrales à la limite inférieure zéro, et l'on trouve

588. Pour obtenir une équation semblable dans laquelle les termes du premier membre, toujours arbitrairement choisis, soient en nombre pair, il suffira de poser

et si l'on pose

f{xY — ^{x)H\ — x-'){\. - h' x-') = [x' - x\)[x' - x\). . . [x' - xl„)[x-' — x\„^,\

on pourra se donner arbitrairement x^, ^j,..., x^n et déterminer a„, rt,,..., a„,, è„, b,,..., b„, par des équations du premier degré de la forme

f{xi) -+- ^{xi)Axi = o,

où le signe du radical A,r, sera choisi arbitrairement; ■'r2„+, étant alors déterminé par l'équation

on aura

Xin

X\ X-i. . , X-iii

On prendra le signe pour lequel l'équation

/(.r2„f.,)+ 9(ar2„+, ) A:rj„+, = o donne pour Aa^j,^., une valeur négative, et l'on aura

dxi dx, A.ri A.r,

^X 'i fi 11X2 H-f

ISXin ^^3n+l

où x^n+x est une fonction connue des variables indépendftntes a;,, x^ a?2„. On

verra, comme dans le cas précédent, qu'en faisant .r, = o, 0^2 = ".•••. ^211 = ". il en résulte Xi„^^ = 0, et que l'on a par conséquent