P, P'. P, I PP' ~ IP

et, comme le point I se confond à la limite avec le point de contact M de la

tangente PP, ,

tj| __MP, .

<f 9 ■" MP ' mais on a

MP,= v/(VP^'-r% MP = \/c7p' — /■^

D'ailleurs, en désignant la distance CC, par a.

C,P, =R'+«'H-2aRcos2i]/ = (R-f-a)'— 4«Rsin=t|/,

C, P =R'+a'+2aRcos2<p = (R + a?— 4«Rsin^(p, el par conséquent

et en posant

«'T "" y/(R + a)'— r^— 4aRsin'9

4aR ^.

/i — /f»sin^9 y'i — A''sin'4' Si l'on pose

A'sin'ij'

la différence des deux intégrales a et f sera constante, quelle que soit la tangente PP,. Cette différence constante est évidemment la valeur que prend la seconde lorsque la première est égale à zéro, c'est-à-dire, en nommant aa l'angle correspondant à l'arc AT détaché sur le grand cercle par la tangente au petit cercle issue du point A, à

'o \/i — /i'sin''<p

Si du point P, on mène au cercle C une seconde tangente P, Pa, puis de P^ une troisième tangente P2P3, et ainsi de suite, en nommant at};,, a4'2.--- 'es angles correspondants aux arcs APj, AP3,..., il résulte du théorème précédent que les

intégrales

Jo v'i— A'sin-cp Ja V'i — /.'sin'9 J„ v^i — /.'sin^tp

formant une progression arithmétique dont la raison est

rfcp

'j, v/i — /f'sin'9

Pour que le polygone PPjPjPa... se ferme, et que le («-1- i)'^"'" sommet coïncide avec le premier, il faut et il suffit que l'angle 2i|/„ soit égal à 2^ augmenté d'un multiple de 27:, et que l'on ait par conséquent

\/i — It' sin'9

rfcp

y/i — /i^ sin'9

rf9

II' sin'9

c'est-à-dire

va

\/i — ^'sin'9

dcf

Le premier membre, à cause de la périodicité du sinus, est évidemment indépendant de (p. Si donc l'équation (36) est satisfaite pour une position du point P, elle le sera pour toutes les autres, et nous avons la démonstration d'un beau théorème dû à Poncelet :

Si deux cercles sont tels qu'il existe un polygone de n côtés inscrit dans l'un et circonscrit à Vautre, il en existe toujours une infinité.