Supposons dans les formules précédentes

f{x) = aaX -+- x\ cf)(x)Tz=b,.

on aura, pour déterminer a„ et b„,

<h Xi+ x\ + bt A;r, = o, «0 Xi-h x\-\- ho à.Xi := o.

X,àX2 — X-i/\Xi

/y ly* •> -v> -y ''

Ut ■

t7C\ lAtX^i ~*~ 1^2 ii^i

et la troisième racine x, est

k(7i ,3/2 û^i LA ^2 "3 ^ "* I

c'est-à-dire, en multipliant les deux termes de la fraction par x, Ax.,-\- x^Ax,, et supprimant le facteur xf — xl,

X, Axj + x^Ax,

f — Is^ x\x\

LIVRE TROISIÈME. — THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, et SOUS cette condition on :\

dxt

dxi

\Xt

ce qui s'accorde avec le résultat obtenu (583 j.

Théorème de M. Clcbscli.

591. M. CIcbscli, dont les beaux travaux sur celte lliéoric se sont étendus beaucoup plus loin, a donné au tbéorème d'Abel une forme géométrique très-élégante. Considérons la courbe dont l'équation est

. a -\- bx + ex'' -+■ dx^ -+- ex\

et cherchons l'intersection de celte courbe avec une autre courbe quelconque ayant pour équation

on pourra, par le moyen de l'équation (Sa), éliminer de (53) toutes les puissances de y supérieures à la première, et l'ordonnée de l'un quelconque des points d'intersection sera exprimée par une fonction rationnelle de l'abscisse

l'équation qui donnera les abscisses des points d'intersection est par conséquent

[^) 9(.r) = P" — QM«-^ ''■^ + cx''+ dx' + ex') = o.

Supposons que dans cette éijuation on fasse varier d'une manière quelconque les coefficients de l'équation (53), les racines de (54) varieront, et si les variations considérées sont infiniment petites, on aura pour chaque racine

<^'{x) dx 4- 2P(5P — 2QÔQ (a + 6a; + ex'' -\- dx^ + ex' ) =^ o ,

le signe ù se rapportant à la variation subie par les polynômes P et Q lorsque leurs coefficients changent infiniment peu. On déduit de (55), en multipliant par

jy — et tenant compte de l'équation (54) qui a lieu pour toutes les racines,

dx

QâP-PÔQ

9 (ar)

Or il est aisé de voir que Q(?P — Pt^Q est d'un degré inférieur de deux unités au

moins à celui de yf^); si donc on ajoute les équations relatives à chaque racine,

on trouvera

sr^ Qdx

c'est-à-dire, d'après l'équation (54),

V' dx

jLJ ± y/a + 6^ + ex' -h dx^ + ex* et l'on voit que la somme des intégrales

dx

o v^a + bx + ex'' -+- dx' + ex^

dans lesquelles on prend successivement pour limite supérieure toutes les racines de l'équation (54), c'est-à-dire les abscisses des points d'intersection des courbes considérées, restera la même lorsque, la courbe (Sa) restant fixe, la courbe (53) changera arbitrairement en conservant le même degré.

On peut démontrer le même théorème sans aucune modification en remplaçant la courbe du quatrième degré (52) par une autre courbe ayant une équation de la forme

f{x) désignant un polynôme entier quelconque.