L'intégrale

• ,/ s[(li^^x')[i-k'x')

se transforme utilement par la substitution

On en déduit

I dr

et comme pour y =. o, x — j., el pour y = i, x = i ,

r* dx r ■ dfsZ-i

et par conséquent la valeur de w relative au module complémentaire \ji — k^ est égale à celle de w' relative au module /r.

649. On peut également, pour transformer le module^ en \/î — k-, poser d'abord

.r = sinç, ce qui met l'intégrale (6) sous la forme

puis ensuite

sintp = y/"' langij/.

On en déduit

/. — V^fi^^

COSif

ddf \l— I d<i^ y/— I rfj>

v'i — F'"sin'9 v'cos'^ +/i-'sin»iL y/i — (.i — /r'jsin'ij;

Echelle de, modules de Lo grange.

650. La transformation suivante indiquée d'abord par Landen conduit a déterminer une série de modules auxquels correspondent des fonctions liées les unes aux autres par des relations simples.

Soient AB le diamètre d'un cercle dont 0 est le centre, <p l'angle formé par le

rayon vecteur AM issu du point A avec le diamètre AB, et ^ l'angle formé avec le

même diamètre par le rayon vecteur KM mené au même point M d'un point fixe K situé sur AB. Posons OA = R, 0K= a; soit M' un point infiniment voisin de M : le triangle MKM' donne

MM' sinMKM'

MK~sinMM^'

Mais MM' est égal à aRrfçi, et MKM' à d'^i; on a par conséquent

D'ailleurs

donc

2Kd(f> d'il

"MiT^cosOM'K"

MK = R'+ «= 4- 2 «Rocs 2 tp = (R +a)'cos=9 + (R — «)'sin'9, R'xos'OM'K = R=- R'sin'OM'K = R'- a'sin'i^.;

!(/cp

v/(R-t-«)'cos'(p +(R — «)'sin'(jj v^R=— a'sin'<l> ce que l'on peut écrire

1 do I rfiji

Si l'on pose

cette relation devient

/ 4«R . , R / rt' . , ,

(R + rt?

dof __ d^

Et en intégrant les deux membres et remarquant que cp et ^ sont nuls en même temps, on en déduit

2R Çf rfy r'f' d'\>

9 Jo

\/i— À|sin'vj>