TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

Transformations du premier degré.

646. Les fonctions ûnamx, cosamx, Aamx, considérées dans les chapitres précédents, ne dépendent, pas de la seule variable x, elles contiennent en outre le module k, à chaque valeur duquel correspondent des formes différentes. C'est ainsi par exemple que pour X; = o, s\i\amx et cosamx se réduisent à sina; et à cosa;, elAamx à l'unilé.

Les résultats importants auxquels ce chapitre est consacré sont relatifs à la comparaison des fonctions qui correspondent à des modules différents.

Considérons l'intégrale

On a Posons

nous en déduirons

Jo Ji-x'){i — k'x') " "'

smania.

û?j i^'x — x'^)dx

V'(i-r)(i-X'j=) \l[{a.' -4- ^'xY-ia. + <^xY] [(«' + jS'a^r- ).'(« + P^)']

et si l'on pose

le second membre de (3) deviendra *

&dx

V^(i — ar')(i — /f'a:'

LIVRE TROISIÈME. - THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. On aura par conséquent

df zdx

et comme pour a; = o on a r = ^)

Jo v''(i — a:^)(i — /r'.r'

Eu posant donc

on aura

Jr*y ■ dy

ell'équation (2) est une relation entre sinrt/««(mocl. k) els\nam(îu + a)(mo(l. X).

647. On trouve gisement toutes les solutions de l'équation (4) en écrivant que les deux membres s'annulent pour les mêmes valeurs de x, et l'on est ainsi conduit aux solutions suivantes :

À = rt /)•, y =:dz .r, y ;

Il '

i /. = rt

yjjt i±:x{k

\ff( I zp X sjk

sjk \±x\JTf sjk izpx v'/r

v/— k i±x sj— k

>/— k I qzx\J— k \/— k idzxsj— k

On voit que le module transformé X a six valeurs différentes à chacune desquelles correspondent deux formes de la fonction y.