On a
et l'équation (11)
sin('i9 — 4')= /l'i sin'l', devient
sin9 cos{4' — 9) — COS9 sin(4' — 9)= /i", sin9 cos(4' — 9) + A", COS9 sin{ijj — 9),
ou
• lang9 — tang(t]; — 9)= /r, tang9 -+- A", lang(4' — ?).
c'est-à-dire
(12) tang(4/ — 9) — — — ^ tang9,
et cette relation équivalente à (i i) doit être considérée comme plus simple. 652 Les deux équations
donnent
(.3) ^'■ = 7qr^;
telle est la relation qui lie les modules k et k^ que la formule précédente permet de ramener l'un k l'autre.
653. Quel que soit le module initial k^, ceux qui s'en déduisent successivomenl tendent rapidement vers l'unité. Pour le démontrer, construisons la courbe dont l'équation est
2 Jx
qui passe évidemment par l'origine des coordonnées, et par le point M dont les coordonnées sont a; = i , j = i . Prenons sur cette courbe un point Q dont l'abscisse OP soit égale à A,, l'ordonnée QP représentera k; en menant par le point Q une parallèle à l'axe des x, son intersection avec la bissectrice OM donnera un point dont l'abscisse OP, est k, et auquel correspond l'ordonnée P,Q| égale au module qui se déduit de k; celle-ci, par la même construction, donnera un quatrième module P2Q2» et la limite est évidemment l'ordonnée du point M, c'està-dire l'unité.
Si l'on se donnait d'abord le module k, pour en déduire X-,, puisque de X", on déduisît par la même formule un troisième module ^j, et ainsi de suite, les divers modules ainsi obtenus s'approcheraient rapidement de zéro.
654. Les relations qui lient les modules successifs et les intégrales correspondantes peuvent prendre une forme plus simple. Posons
/f, = iang'-»
on en déduira
2iang
\ + lang'
= sinS.
La relation (12) deviendra
tang(^^> — <p) =
\ — tang' -
