lang

Le théorème peut donc s'énoncer comme il suit : Si l'on pose

h =sin6,

/ri= tang^->

tang(4' — ?)= cos9 tangç, •

on aura

Çv d(f I /"> d^

En posant ensuite

/,-, — .sin9,,

Àj — tang' — 1

tang{i|;, — <^) — cos6, tang^j/,

on aura de même

Jo \/T^lfî shî^^ ~ 2 cos= -' *^° ^^ — f^l

y/i — /rjSin'^l'i

En continuant la même transformation et posant en général

/(•„ = sin 9„, /i„+, = tang' — ,

taDg( |„ — 4;„i ) = cosO,, langi^,-,, on aura

rf,.-, d<\> __i r'I'' d<\i

Jo \/i — If 'n sin' -^ 2C0S' — '^^ V^' — /<■«+.

2 ces'

,sin'4'

et par conséquent

CCS' - cos' — • • • ces' — " " " '• "«-H.sin'ij;

et si k„^., est suffisamment petit, on pourra prendre

Jo s/i — /f,î+,sin'vjj D'après les relations qui lient les angles B, 6,,..., 0„, ona

ces 6

et de même

tang

^ 9 v/cosO

cos'a

VCOS0,

cos'-

6frl

par conséquent

d'où l'on déduit

cosS„+,

ces 9, cosôî. . . cos6„+i

v'cos 6„

cos^ —

v'cos 9 CCS 6,. . . CCS 6,

COS' - CCS' • cos' —

ces'- cos' cos= —

v'cos 01 COS0,... COS0„... C0S^Ô„+i

V^cos 9

et la formule (i/j) pourra s'écrire

v^cos9| cos9a. . . C0S'9„+i 4'..

V^i — /f'sin\ v'cos 0 2'

655. Lorsque le module est devenu très-petit, le calcul des modules suivants peut se simplifier. Soient

/,„ = sin6,„

/.„+, = tang^ — r

on a identiquement

et par conséquent

cos* —

//r„^,=:/-;-4/cos^.

Mais

cos — ■=-(Jm- sin9„-l- i/' — sin9„).

On en déduit, en développant et négligeant la quatrième puissance de sin9„,

4/cos On a donc

4/cos- = sin'9„.

qu'il faut écrire, quand on se servira des logarithmes vulgaires,

(i6) /Aw. = / ^ + '^ sin

M désignant le module.

On trouvera de même

log cos6„ = — y- sin'ô,,,

On M . .„

log cos — = sin e„.