La formule

r dx , <p

où siny =x, donne de même, en posant toujours \/i — x- = z,

r dx I Ç5 z

J' rf.r 1.3 tp i.3z li

x' \Ji — x^' ~ 2.4 2 2.4 a;= 4 .r''

/" rf.r 1.3.5 9 i.3.5z i.5 3 i^

On trouve enfin directement, en posant par exemple x = cos(i>,

Jx'^i

C dx z

} X' Ji — x' ^

et l'on en déduit

dx % z i z

dx 2.42 1-4 2 I z

dx 2.4.6 z 1.4 6 z 1.6 z I z

et ainsi de suite.

Quelques intégrales auxquelles ne s appliquent pas les méthodes

précédentes.

65. Non-seulement la différentielle d'une expression algébrique est toujours algébrique, mais les fonctions qui contiennent des logarithmes et des lignes trigonométriques inverses peuvent, dans un grand nombre de cas, avoir une différentielle algébrique. Le nombre des différentielles algébriques intégrables est par conséquent infini, et la différentiation est un moyen d'en former autant qu'on le voudra. Une telle méthode, on le comprend, n'aurait rien d'instructif, et nous nous bornerons à indiquer quelques cas simples dans lesquels des transformations élégantes, mais toutes spéciales, permettent l'intégration dans des cas auxquels ne s'appliquent pas les règles précédemment indiquées. Soit la différentielle

dx{i+ x^]

Posons avec Euler

on en déduit

(i — X'') \J\ -\-x* X Jl

, dx <Ji[i+x'') dp = — , »

dp dx{i + x") v'a

y'l+/>- (l — x'')^l-'rX''

et par conséquent