Soit encore la différentielle

dx{\ — x''

on en déduit

• Vi

dp.

dx (i — x') ^2.

dp

dx{i — x') y'a

sjv—p- {i + x-)^i+x''

et enfin

C dx(i — x''] I . I . X di

■ I ^ — — = -7^ arc sin « -= arc sin

. Réduction des intégrales elliptiques.

67. Quoique l'on puisse former de nombreux exemples analogues à celui qui précède, l'intégration des différentielles qui contiennent sous un radical un polynôme de degré supérieur au second est en général impossible. Les intégrales de cette forme ont donné lieu cependant à des travaux considérables, et les géomètres les ont réduites à un petit nombre de types dont l'étude approfondie a créé de nouvelles fonctions simples acceptées de plus en plus dans le calcul, et avec grande raison, au même titre que les sinus et les logarithmes, et réduites de même en tables numériques très-étendues et très-exactes.

Si l'on désigne, pour abréger, par R le polynôme du quatrième degré

a.-\- <^x -^yx^ + àx^-\- zx\

les puissances paires de y/R étant rationnelles et les puissances impaires contenant yR en facteur, toute fonction rationnelle de x et de y/R peut être mise évidemment sous la forme

P + Qs/R

où P, Q, P', Q' sont des fonctions rationnelles de x. On peut d'ailleurs, en multipliant les deux termes par P' — Q' y/R, rendre le dénominateur rationnel et mettre l'expression sous la forme

L'intégrale 1 Mcte peut toujours se calculer sous forme finie, et l'intégrale à étu-

(lier est par conséquent

idx

le produit NR désignant une fonction rationnelle de x.

68. Nous montrerons d'abord comment une substitution rationnelle peut transformer la différentielle précédente en une autre dans laquelle ne figurent plus sous le radical que les puissances paires de la variable. Le polynôme R peut toujours, onle sait, se décomposer en deux facteurs réels du second degré. Soit

Posons

R = [(x - mr + Nlf( J7 - |Ul)-' + v]

X — m r — sy

X — fj.~~ p — ly

Pour que dans chaque facteur de l'expression de R le terme du premier degré en j disparaisse, il faut et il suffit que

pa(m— i>.)'' + [p — r)(5- — *) y =: o; on en déduit immédiatement

En divisant la première des équations (3) par pc- et la seconde par rs, puis remplaçant le produit - • - par sa valeur (4), on trouve

r 4 N + v+(/n — juif

Connaissant la somme et le produit des deux rapports - et -? on en déduit leur différence, et en posant

[N4- V + (m— f/.)']' — 4Nv = A,

on a

iï-'^'

Pour que - et - soient réels, il faut et il suffit que A soit positif; or on a identiquement

A = [(/n — p.)'+ V — N]" + 4(ot — f/.)-N = [( w — |a )■' + N — v]- + ^[m— a)- v.

Si N et V sont tous deux positifs ou que l'un seulement le soit, l'une de ces

lormes montre que cette expression est positive et que par conséquent - et -

sont tous deux réels. Ces deux cas sont ceux où deux racines au moins de l'équation R = o sont imaginaires.

Considérons enfin le cas où N et v sont tous deux négatifs; on a identiquement

A= Rm— p.)=+N + v + 2 y'Nv] [( m — fjL )-' 4- N + v — 2 y/Nv], OU

A= [(m-f;i)''-(v/-N-f-V-"^j'j[(m-f/.)'- ^-N- V^iM-

Mais en nommant a, /3, 7, è les racines de l'équation R = o, on a

et par conséquent ,

c'est-à-dire

a et jS étant les racines du premier facteur de R et 7 et ^ celles du second. Comme ces quatre racines sont réelles, on peut les grouper comme on veut pour former les deux fadeurs du second degré et faire en sorte, par un choix convenable, que A soit positif.

yVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. 87

Si par exemple a, /3, y, è sont rangés par ordre de grandeur croissante ou décroissante, les quatre facteurs de (5) seront de même signe et A sera positif; il y a d'ailleurs d'autres solutions, et l'on peut voir que A sera positif toutes les fois que, les racines étant rangées par ordre de grandeur, a et /3 se trouveront placées immédiatement à la suite l'une de l'autre. De l'équation (i) on déduit

/ {[x— m)[r — sr)

; [r~p+{:f+s)xY

Les équations (3) donnent d'ailleurs

N — rs

■ {m — u.}' (p — r)((7 — s) V — ap

d'où l'on déduit

{m — ixY (p— r)((7 — «) /■'(m — ^)' + N(p — r)' , ^ ra — sp

fj —

- sp

-sY^

sp —

' + (ff-

-sfv

sp~

par le moyen desquelles la différentielle

dx

sl[{x — mY -\--^][{x — IJ.Y + v] devient

dy-

et suivant le signe des coelficients le radical pourra par conséquent être ramené à l'une des formes

\J{^—r''){i^k^--'), \l{i — rM'(i ■^i(^], v'(i -I- j''Tr'"-W^l-

69. Quoique la transformation précédente ne soit qu'un cas très-particulier I. Cdk. il II. 8

d'une théorie plus générale sur laquelle nous aurons à revenir, elle a néanmoins une assez grande importance pour que nous nous arrêtions au détail des calculs dans les différents cas.

Supposons que les quatre racines de l'équation R = o soient réelles et soit

la transformation (i) établit entre x Qi y une relation de la forme

r ■+ sy

Pour que le polynôme R soit remplacé par (i —y-) [i—k^y'^), il faut que les quatre -^facteurs aient respectivement pour numérateur \+y, ' — J, i + ^/ et I — ky. Posons donc

on en conclut

ix~oc = k^-^^-, x-&^^-^ ^,

\ r -\- sy ' r + sy

\ /■ + sy r + sy

-^D i — hy

— y ~ C I + /ij '

En faisant dans la première de ces identités a; = (? et a; = y, et dans la seconde a; = p, a; = «, on en déduit, en ayant égard aux valeurs correspondantes de j qui

sont évidemment j= + p j = — ^, y = H- 1 et 7 = — 1,

(3 — y~Ci+/r a — y~Ci— /r ct par la combinaison de ces équations deux à deux,

-■BV^(a-(3)(y-[5)

— X) [y — oc)

Cy (p y)(«y)

et l'on pourra toujours choisir l'ordre de grandeur de or, |3, 7, (?, qui évidemment est arbitraire, de manière à rendre les seconds membres positifs et par conséquent

les rapports ^? pr j réels. En adoptant pour -j- -, et k les valeurs déduites

de (12), les deux équations (10) fournissent la même valeur de x pour les quatre

hypothèses v = ± r , y = ± ^, et l'on en conclut aisément qu'elles sont identiques.

La troisième des équations (12) donne

On pourra, en adoptant le signe + ouïe signe —, avoir à volonté X- < t ouX-> r. Les équations (10) donnent, par la différentiation,

En multipliant les équations (i3) membre à membre et divisant leur produit par celui des équations (10), il vient

^ ^' 4/r (a: — a)(:r — (3)(a; — y)(ar — ô)~ (i — r')(i — /f'j')'

et la différentielle

dx

\j±(x—a) ( X — P)(x — y)[x—^) se trouvera ainsi ramenée à la forme

M est une constante, et le signe + du facteur sous le radical convient au cas où (/3 — a)(c? — 7) est positif et le signe — au cas contraire. On pourra d'ailleurs disposer comme on voudra du signe de ce produit en choisissant l'ordre de grandeur des racines désignées par a, /3, 7, <?. Si, par exemple, a et |3 sont les deux plus petits et 7, d* les deux plus grands, les formules (12) montrent que les seconds membres de (i3) sont réels et les signes des différences ^ — ce, â — y restent arbitraires.

70. II résulte des paragraphes précédents que la différentielle

dx

OÙ R désigne un polynôme du quatrième degré, peut dans tous les cas être remplacée, à l'aide des substitutions réelles, par une autre de la forme

dr

v'(L-Mj')(L'-M'r)

On doit, suivant les signes de L, M, L', M', distinguer plusieurs cas : Lorsque L et M sont de mêmes signes ainsi que L' et M', on peut poser