Cnlr. iiil. l
(f, étant une fonction rationnelle de x, y, t, u,...,w, peut s'exprimer en fonction rationnelle de x,y et X, et si l'on suppose l'équation
Vz=o irréductible par rapport à X, l'équation nouvelle
devra nécessairement admettre toutes ses racines, et l'on aura, par conséquent, I y dx z= t + AlogM + Blogc -I-... + ClogH',
quelle que soit la valeur de X, pourvu qu'elle satisfasse à l'équation irréductible V := o, qui lui sert de définition.
Soient t,, t<,,..., t^, u,, u^,...,Uy, c,, v^,..,, v^j,,..., w,, çva,..., w^ les valeurs des fonctions t, «, ç', . . . , tv qui correspondent aux diverses valeurs de X. L'équation
j ydx=t + Alogu + 'B]ogv +. . . + C\ogw
donnera, pour le premier membre, qui reste toujours le même, p. expressions de même forme, et l'on aura, en les ajoutant,
fx I ydx=:^t, + 1, + . . ■+ tfi-h AlogM, Ui. . ■Uix + Blogf, f j . . C/, -t- . . . + Clogcv, w,. . .w^.
Mais, par la théorie des fonctions symétriques,
u, Ui. . . M,/, V, V,. . . Vjj.,
IV, (Vj . . . CV/t
peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de x et de j, et par conséquent si \ ydx peut s'exprimer par une somme de la forme (i), les diverses fonctions qui y figurent peuvent être remplacées par des fonctions rationnelles de x et dey.
1 15. M. Liouville est allé plus loin encore, eu prouvant que y étant une fonction algébrique de x, si l'intégrale \ ydx est exprimable explicitement sous forme finie à l'aide de signes algébriques exponentiels et logarithmiques, il sera toujours
permis de supposer
ydx^=t + AlogM + BlofCf' 4-. • .+ C logtv,
A, B,..., C étant (les constantes et t, u, v mc' des fonctions algébriques de x.
Nous nous bornerons à rapporter la démonstration relative au cas où l'intégrale est supposée exprimable par une fonction appartenant à la classe de celles que que M. Liouville nomma fonctions transcendantes de première espèce, et dans laquelle les signes relatifs aux opérations transcendantes (logarithmes et exponentielles) ne portent que sur des fonctions algébriques.
Soit donc supposé
\ ydx=f{x,e",e',..., log «',...),
U, V, ..,w,... désignant des fonctions algébriques de x, et le signe /une fonction algébrique des diverses quantités sur lesquelles il porte. Nulle relation algébrique ne peut évidemment exister entre x, e", r",..., logM^,..., car on pourrait sans cela considérer l'une d'elles comme fonction algébrique des autres et la supprimer, \ y dx
étant exprimable alors en fonction algébrique d'un moindre nombre d'expressions simples.
D'après cette remarque, si l'on trouve une relation algébrique, telle que
F(.r, ««, e',. ..,log«^...) = o,
elle ne pourra contenir e", e",... qu'en apparence, et devra être satisfaite indépendamment des valeurs de ces fonctions, c'est-à-dire quand bien même on les remplacerait soit par d'autres fonctions de x tout à fait arbitraires, soit par de simples lettres indéterminées.
Ce principe étant admis, on peut démontrer d'abord que l'expression de l'intégrale j ydx ne peut contenir aucune exponentielle. Soit, en effet, e" = 6, une des
exponentielles que l'on suppose devoir y entrer; et, pour la mettre en évidence, écrivons simplement
(3) j'rdx=cf[x,e},
la fonction <f{x,0) pouvant contenir algébriquement des exponentielles autres que ô et certains logarithmes qu'il est inutile de désigner explicitement. La différentiation de (3) donne
r=^'jx,e) + <f'g{x,6)ôu',
relation algébrique entre les transcendantes monômes que 9 [ce, 0) renferme, et dans laquelle on pourra, par conséquent, d'après ce qu'on a vu, écrire f/.9 à la place de d, (x étant une constante arbitraire. La nouvelle valeur de j qui résulte de ce changement doit être égale à l'ancienne, et l'on a, par conséquent,
<f'Jx, 1x9) -{- (f'^oi^' F-^)F-^"' = 9!,.(^. ^) -1- 9'o'^^' ^) «'S' et en multipliant les deux membres par dx et en les intégrant,
(4) (p(^, .ae) = 9(^,5) + c.
Pour chaque valeur numérique de fx, la constante C a une valeur déterminée, et l'équation (4). qu' est algébrique, doit avoir lieu, quel que soit 0 et indépendamment de sa liaison avec x; on a donc identiquement, en remplaçant G par ^ (fi,),
Dans cette équation, qui a lieu indépendamment de la relation qui lie xaB, on peut considérer x comme une constante, ainsi que les autres transcendantes qui n'ont pas été explicitement mentionnées. Posons, pour mettre cette supposition en évidence,
on aura
Dans cette équation, Q étant arbitraire, on peut le remplacer par l'unité, et l'on en déduira
etj par conséquent,
F{fxe)=:F(,a) + F(e)-F(.).
Il est aisé de déduire de cette équation la forme de la fonction F : en différenliant, en effet, par rapport à /j., puis par rapport à (5, on en déduit
Le produit BY' {0) est donc une constante C indépendante de la variable S, etF'(5)
est égal à -r.\ d'où l'on conclut
et en remplaçant Q par la valeur primitive e"
F(9) = Cm + C',
en sorte que l'exponentielle e" n'entre pas réellement dans la fonction F et la transcendante B n'entre pas réellement dans l'expression de / ydx.
116. L'intégrale explicite d'une fonction algébrique, lorsqu'elle est une fonction transcendante de première espèce, ne peut donc contenir que des logarithmes, et nous allons prouver qu'ils n'y peuvent figurer que sous forme linéaire.
Soit, en effet, 0 = lu un de ces logarithmes. Posons, pour le mettre en évidence,
(5; l ydx = o(x, Q).
On en déduit
équation dont le second membre ne doit plus contenir 0 qu'en apparence, car elle serait sans cela une relation algébrique entre les diverses transcendantes (115) qui n'en peuvent avoir. 11 est donc permis de remplacer Q par [j.-\- Q, ij. étant une constante arbitraire, et l'on aura
d'où l'on tire, en intégrant,
(8) 9(;p, f/. + 9) = 9(x, 9) 4- const.
Cette relation étant algébrique, elle doit, pour chaque valeur de u., avoir lieu identiquement; mais la constante peut changer avec u.. Posons C — ({'(f/.), et, comme dans le cas précédent, posons
en considérant x comme une constante, ce qui est permis, puisque la relation (8), étant algébrique, a lieu indépendamment de la relation qui lie x \\ 0. On aura alors
F(,x + 9) = F(9) + ^(^.), et en faisant 6 = o
pnr conséquent,
F(fx + 9) = F(/j.)-i-F(9)-F(o).
En différentiant par rapport à p., puis par rapport à ô, on en déduit
La dérivée F'(ô) est donc constante et F (6) de la forme
ce + c,
C et C étant indépendants de 9, mais pouvant renfermer a? et les autres transcendantes. Posons donc
Si l'on remplace, comme il est permis, 6 par 9 4- fx, on devra avoir
ydx = {e + ^)F,{x) + F4x),
et cette équation n'est compatible avec la précédente que si F, {x) est une constante.
Il est donc prouvé enfin que la transcendante 6 = logM ne peut entrer dans la
valeur lydx que sous forme linéaire et avec un coefficient constant A, en sorte
que l'expression de cette intégrale, si elle est possible explicitement par une fonction transcendante de première espèce, est de la forme
ydx = / + Alogi< + Blogf + . . . + Clogw,
A, B,...,C étant des constantes, et/, u, v,..., »> des fonctions algébriques. Il reste à
prouver, pour compléter la démonstration du théorème, que l'intégrale i ydx d'une
fonction algébrique ne peut être exprimée par aucune fonction transcendante d'espèce supérieure à la première.
117. Nous indiquerons suffisamment la marche à suivre dans tous les cas en faisant voir que cette intégrale ne peut être une fonction transcendante de seconde espèce.
En supposant, ce qui est permis, que les transcendantes monômes de seconde
espèce contenues dans \ ydx aient été réduites au moindre nombre possible, en
sorte que nulle équation algébrique ne puisse les lier ensemble et avec des transcendantes d'un ordre inférieur, on prouvera absolument, comme (115), que, m, désignant une transcendante de première espèce, l'intégrale \ ydx ne peut pas con-
tenir dans ses expressions explicites e"', et que si /m, y figure, ce ne peut être que sous forme linéaire et multiplié par une constante. Posons donc, s'il est possible.
i fdx= ti -(- Alogw, + Blogt'i +. . . + Clog(Vi,
t,, u,,..., w, étant des fonctions transcendantes de première espèce, et A, B,...^ C des constantes.
Or nous allons prouver que ces transcendantes prétendues ne peuvent contenir ni exponentielles ni logarithmes et sont par conséquent des fonctions algébriques. Soit en effet 9 = e", u étant algébrique, et supposons que Q figure dans les expressions de t,, u,,..., w,; posons pour la mettre en évidence
t,=f{x,B), M, = F(a;, 9), c, = cp(a7, 9),. . ., w, = ^[x,Q),
\- et, par conséquent,
l (lo) rrrf.r =/{.r, 9) + AlogF(^, 0)+... + Clog4/(a;,0);
on en déduit, par la différentiation,
F' {x,0) + Y'Jx, 6)6u' (.,) j=.f'ijr,e)+f^{x,B)9u' + A- ^^^ ■+....
Cette équation, qui ne contient plus de transcendante de seconde espèce, est nécessairement identique par rapport à 6. Elle permettrait en effet, sans cela, de considérer 0 comme une fonction algébrique des autres transcendantes de première espèce qui figurent dans (9), et d'en réduire par conséquent le nombre. Le second membre de (11) est donc égal à l'expression qu'on obtient en y remplaçant 6 par iJ.6, et si l'on intègre les deux membres de l'équation ainsi formée, on en déduira, en désignant le second membre de (10) par 7: (6),
