Cherchons, par exemple, si
dx
est exprimable algébriquement.
L'intégrale algébrique, si elle existe, doit, d'après ce qui précède, être de la forme
ax' -\- br'' -T- ex -h d
\/i -+- x" et l'on doit avoir
3aar'+56a? + c 2 a:' ( ajr' + 6ar' + cr -+- </)
et
, , , ix^iax'' +hx''-\- ex -^ d) I = iax^ 4- ?.0T + c — ■ ^ -,
égalité évidemment impossible, car elle exigerait qu'un polynôme de troisième degré fût divisible par i -|-ir*.
Intégrales exprimables par les fonctions algébriques et logarithmiques.
114. Quelles que soient les fonctions algébriques désignées par t, u,v,...,w, la différentielle de
/ + A log M + Blog (^ -t- . . . + Clog w,
où A, B,..., C représentent des constantes, est évidemment algébrique. L'équation
/ ydxi^ t -\- AlogM +Blogf +. . .+ Clog«',
où V, t, u,...,w sont des fonctions algébriques, est possible, par conséquent, dans un nombre infini de cas.
Abel a prouvé que, lorsqu'elle a lieu, t, u, ç,...,w sont toujours exprimables rationnellement en fonction de oc et y, et par conséquent (107) en fonction entière de j.
Quelles (|ue soient les fonctions t, u,..., w, on peut toujours trouver une fonction algébrique X telle, qu'elles puissent toutes s'exprimer en fonction de x, de y et del.
t,u, v,...,w sont en effet chacune racine d'une équation rationnelle qui la lie à oc, et l'on formera, par la multiplication de ces équations diverses, une équation nouvelle à laquelle toutes ces fonctions satisferont. Si l'on pose alors
c, c',..., c'" étant des constantes, on pourra, par un théorème connu de Lagrange, exprimer en fonction rationnelle de X et des coefficients de l'équation, toute fonction semblable des mêmes racines, et par conséquent toute somme formée comme X, en multipliant ces racines par des constantes inégales, et l'on obtiendra ainsi des équations du premier degré en nombre suffisant pour calculer /, u, v,..., w.
La fonction X sera racine elle-même d'une équation algébrique dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de x. Supposons plus généralement qu'ils contiennent x et j. Soit V = o cette équation et [j. son degré. Si l'on différentie l'équation
(>) lydx ^t + AlogM H- Blcgf -H. . .-I-Clogw
après avoir réuni tous ses termes dans le premier membre, on obtiendra une équation
ip =:0.
