On a

r . , e"'(aç.09,hx -\- bs\nbx]

/. . , e°'(— asinbx -h b cosbx e"' SI n bx dx = — i =— •

par conséquent en supposant a négatif

1 C'^' —a 1 / e" ço?,bx dx = .

/ / e" sin bx dx = r-

Cii/r. int

140. Parmi les intégrales en nombre presque indéfini dont la valeur peut s'ol»tenir directement, nous devons citer comme une des plus importantes et des plus célèbres

où OT et n sont deux nombres entiers quelconques satisfaisant à la condition m < n, sans laquelle l'intégrale serait infinie. •On a trouvé (24), en supposant n pair,

/ k\ fx^-^'f/x I .r, w(2/r— i)-,| , (2/f — 1)7: I

( A) / =- > ces — 5 r-^ l\ «» — 2x ces h I

, , , X — ces ( 2 /r — I ; -

-\ — > sm arc tang ,

sin ( 2 /r — I n

la sommation s'étendant à toutes les valeurs positives et entières de k moindres

que-.

Quoique l'intégrale cherchée ait une valeur finie et déterminée, les différents termes de l'expression (A) deviennent infinis avec x. De là dans le calcul de l'intégrale définie une petite difficulté facile à éluder.

Supposons d'abord que m — i soit pair, aussi bien que n; substituons à l'intégrale cherchée l'expression évidemment équivalente dans ce cas

1 i"^x'"'dx

- Nous pouvons regarder cette dernière comme la limite de

' "*"* T'"-' dx

lorsque h augmente indéfiniment. Or, en substituant à x les valeurs — h et -+- A dans l'un des termes affectés des signes logarithmiques et retranchant l'un de l'autre les deux résultats, on trouve

, , , I — 2AcOS(2/( — i) - + /«"

I 2 A- — I mj: . w

CCS ' — - l —- ;

1 + ■?.li CCS 2 /r — I — I- '« n

et lorsque h devient infini, cette expression se réduit à zéro, comme contenant en fadeur le logarithme de l'unité. Les termes de ce genre sont donc sans influence

sur le résultat. On a d'ailleurs pour une valeur iofinie de x

et pour .ce = — oc

X — cosCaAf — i)-

arc tartg - r—, r = -•

sin ï 7!—

X — cositik — i) -

n Tt arc tang -— ^ =

. ( 2 /f — I TT 2

sin ~

La différence de ces deux résultats est n, et l'on a par conséquent

t r^ x"-' dx îT ■v' . , ,• , /WTï -r . mr. . Ziinz, . («— ilmTr"]

- / = - > sin(2/.— I = - sin l-sin h- •-!- sin \i

2 J a) 1 + ^" n -^^ rt n L « n " J

c'est-à-dire

r* x-"-' dx r. I —

cosmTT

m — I étant pair, coswti est égal à — i, et l'on a enfin

f"^ x"-' dx 2Tr Ç"^ X"-' dx tt

J—-r I 4-.r" ~ . mit: ./„ \ -\' X" . rrnz

nsin " «sin