Si l'on pose dans la formule précédente
nz"-' dz = du,
m DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.
elle devient
*'^ du a-K
et en posant - = n,
l smaix o \ + u"
(.5) r^^^^jL^,
nsin n
n désignant un nombre quelconque plus grand que l'unité. 143. Si l'on pose
la formule précédente devient
^o \ ^ "^ nsin n
On a par exemple
Je ' dx n TT o V' •* 6sin^
6 sin , o
144. On peut de la formule (i4) déduire d'autres conséquences importantes. On a
' x^-<dx /" .r°-' dx r* X'-' dx
f"^ x'-'dx r'.T"-'dx f""x—<dx
En posant dans la seconde intégrale du second membre a; = -, les limites de z deviennent i et o, et l'on a
r'^x^-'dx r°z-<-dz rx-'dx
J, l-hX ~ J, 1 + z ~J^ I + JT '
par conséquent
r'^x'-'dx r'x^-' + x" , n
Jo ^-^^ Jo i-hx sman
Cette dernière formule est démontrée, comme celle dont elle est déduite, pour les valeurs positives de a moindres que l'unité. Le premier membre d'ailleurs deviendrait évidemment infini si cette condition n'était pas remplie.
145. Chaque intégrale définie peut, par des changements de variables, se transformer d'une infinité de manières. Nous citerons quelques-unes des formes que l'on peut donner ainsi au résultat précédent.
Si dans la formule (i4) on pose x = tang-'y, elle devient
(i8) / Jolang'"
En posant
•2sina7ï
on en déduit
dz
i + bz}{i — z)" {\ — bfsinaT:
où a désigne toujours un nombre compris entre zéro et l'unité, et b doit être tel, que i -f- è; ne devienne pas nul entre les limites de l'intégration; l'intégrale (19), dans ce cas, n'aurait plus de sens, et la transformation qui y a conduit cesserait d'être permise'.
En posant en effet
il est, dans tous les cas, exact de dire que pour z:= o, x devient nul, et que pour :; = I, il devient infini. Mais il n'en résulte pas toujours que, z variant de zéro à l'unité, X varie de zéro à l'infini. Dans le cas qui nous occupe, à des valeurs de z comprises entre zéro et l'unité correspondent des valeurs négatives de x, et l'intégrale dont (19) est la transformée, est
dx( — x)'-'
qui n'a pas de sens.
lie. Si l'on pose x = z", l'intégrale (i4) devient
f- z"'"'dz n I
sin«7r
et en posant na ^^ n — k,
z"~''~'dz 7r ■ 7r
\-\- z" . n — If , ftr,
n sin 7: n sln -
dz
du
En transformant de nouveau cette intégrale et posant
on aura et
Simplification de quelques formules de réduction.
147. Nous avons calculé un grand nombre d'intégrales indéfinies à l'aide de formules de réduction qui les lient à d'autres intégrales de plus en plus simples, dont la dernière s'obtient immédiatement.
La même métbode est applicable aux intégrales définies, mais on doit remarquer que souvent il est avantageux de faire la substitution des limites dans la formule de réduction elle-même, qui par là se trouve notablement simplifiée.
On a trouvé, par exemple,
0 X'" dx ,—; , fx"'"dx
On en conclut
r' x'"dx , , r ' X"—'' dx
et l'application répétée de cette formule permet, lorsque m est entier, de calculer
J^ ' x" dx - en la réduisant à l'une des deux suivantes : 0 sji — x'
dx 71
On trouve ainsi
JÇ^ X dx
ir' x^" dx
i /• I ^M+l dx 2
(an -t-
