Des deux intégrales précédentes on déduit aisément

X'" dx y'i — x^ .

On a

/*' , , {"x^—x'-^'j f" x°'dx r"x"-^'dx I {" x'»dx

I X"'dX^l—X'^= I d.T =Z I -, I -^^ir^i^^ = I .

149. La comparaison des formules précédentes conduit à une expression célèbre (lu nombre n, que nous avons déjà obtenue par une autre mélbode. Si l'on pose

Je' x'-dx I ^-== =}■'•■<

on a (I47j

j-i,, r [i.3.5. . . (are — i)"p(2« + i)

2re -4- 2

Mais le premier membre, évidemment compris entre— '=1 et ^^ =

devient égal à l'unité pour une valeur infinie de n; il en est donc de même du second membre, et l'on en conclut

litn

(2.4.6. .are)^

(r.S 5. ..(2re — i)j'(2re+i) '

c'est le théorème de Wallis. •

150. Si dans les formules (1) on posea^^siny. elles deviennent

l / sin-"aq)= ,

1 Jo 2.4