Supposons qu'on ait une série de la forme

dans laquelle les chiffres inférieurs affectés aux coefficiens des puis* sances de :c , et que je nommerai indices^ font connoître le rang qu'occupe chaque terme : ce qui distingue cette série de toute autre , c'est la loi que suivent les coefficiens des diverses puissances de x; or , quelle que soit cette loi , il est évident que la valeur de chaque coefficient en particulier dépend du rang qu'il occupe dans la série , en sorte que si l'on avoit l'expression du terme général ^^x% qui répond à un indice quelconque , on en déduiroit tous les autres , en donnant à n différentes valeurs; car A^^ J,^ J^,, A^ y etc. ne sont autre chose que ce que devient Jy^ lorsqu'on y fait successivement

etc.

Faisons donc abstraction de x ^ ovi y ce , qui revient au même ^ faisons x;=:iy et considérons seulement la série des coefficiens

-^o > -^i > A^ y A-^y etc.

comme représentant la suite des divers états par lesquels passe la fonction -^^ 9 «n vertu des accroissemens que reçoit l'indice n. Soit fait A^ — ^o=-ffo

A,^A,=.B, A^^A,=^B, etc.

les quantités B^y 5, , 5. , etc. qui sont les différences qui régnent entre les termes de la suite précédente y formeront elles-mêmes une nouvelle suite dont la nature dépendra de celle de la première

Si l'on avoit y par exemple ,j^,^ = 3 + 2/2; en posant successivetAent n = o , /2=i, 72=2, «s=3> etc. on obtiendroit pour les A la suite des nombres 39597^95 etc. et les B seroient tous égaux à 2 ; en effet y la suite proposée ne seroit autre chose que la progression par différences (*). . Dans le cas oà les quantités J?o 9 ^i ^ ^^ » ^\9 ^^^* ^^ ^^^^ P^^

(*) C'est ainsi qiie }*appellera'i désormais la progression arithmétique , et je don* neraî à la progression géométrique le nom^ de progression par quotiens. Voyez la cinquième édition des EUmtns iAlgkkre de Clairaut y Tome I ^ page cUxivii , et Tome II, p. 331.

x> E s Différences. 3

toutes égales entr'elles , on en peut déduire une nouvelle suite ^ en prenant leurs différences ^ et faisant

B,-B, = C, etc.

on aura à consldérjer la série

etc;

Soit pour exemple -^^ = 5 + 3 n* ; il résultera de cette fonction

î> 8, \t; 32, etc.

pour les nombres A ;

3, 9, is, etc.

pour les nombres B ;

enfin 6, 6, 6, etc.

pour les nombres Cy qui, comme on voit, sont constans. Ces exemples suffisent pour montrer comnjpnt'on a pu remarquer les différens ordres de séries , en comparant entr'eux les termes successifs d'une même série.

'Lts quantités B^^B^fB^...^ se nomment le^ diffcnnccs premières , ou simplement les différences des quantités -^o > ^i f -^, , etc.

Les quantités C^ , C, , C,, etc. qui sont les différences premières de B^ , ou les différences des différences de J^^ A^y A^^ A^^ etc. se nomment les différences, secondes de celles-ci*

Il y a entre les quantités A , B ^ C^ etc. des relations qu'il est important de connoitre , et au moyen desquelles on détermine les unçs par les autres ; ce sont C€S relations qui constituent le d^lcul direçg des différences, \

86o. Soit Ut y u^y 2^j. • • ^9 une suite de quantités qu'on suppose être des valeurs consécutives que reçoit la fonction u^ $oit en vertu des variations qu'elle éprouve par çlle-même , soit par l'effet de celles qui arrivent à des quantités dont elle dépend } nous ferons

= Atf.