OU
en observant que [/'+/*— ^] = — — z;- U viendra de même
lp—n'\
[d = Lf][f+^]• — =r»
DES D ï r F É R £ N C E S. 1^9
d*oii on tirera
Maintenant il est visible , ^oit par le développement , soit par ce qui
a été dit , n''. 901 , que la limite vers laquelle tend l'expression
If -.11 •. •''^. ' '
£;'+r][y+r],à mesure que le nombre indéterminé r augmente par
rapport aux nombres /^^ y»^'*>est[A][r],et que cette dernière tend à son tour vers A^r~"=i. En supposant donc r infini ^ on aura
C/'+^l'c,-.!" (/^+0(/'+Oetc. • (,+ i)(?+i)etc.
valeur dans laquelle le nombre n n'entre plus comme exposant. Prenons pour exemple la série
ï ^-3 . i*3«5 - i>3.5>7.>>(ia:— *i) ï' 2.4* 1.4.6^ 2.4«6.8,..«2« *,
dont le terme général est C*^—'»^^3 ^'[«— t3 j-^ ^^|--g . dans ce cas on a /»r=« — f, ^sso, « = ar, et il vient
[.i]'[o1=ai=^i3IiL.
Si l'on fait x^=^y on trouvera , en développant les puissances affectées de l'exposant infini r,
r ivUQ±iXitl)ii±i)!îf: ('-0(*-i)(3-f)«tc.
loi 01 3S '■' ■ ' • ' • ■ ■ '
^■^^-^ i.2.3,etc« .1.2. 3 .etc.
3>5,7,etc, ,1 .3.5.etc. ï>3 *3 '5*5 '7'g^c« 2.4.6.etc/2.4.6.etc. 2.^*4.4.6,6.etc. ^ résultat semblable à celui du n''. précédente 963. En changeant dans réqualion
+[/]CÔ'][«]Rl+[f]to]£«1i:"/']+etc.
Apptniiu» Y
170 C H. I. DuCalcul
à laquelle nous sommes parvenir dans le n'. 904 , f en m , ^ en / + n,et multipliant ses deux membres pdr [/>3, il viendra
[/'+«+»][ A'] = [/'+«][/']+N[oM/'+'^C/']"
+ etc»
or il est visible que
«—Il —Il — »
on aura donc
[/'+«+nî[j^=i+[«koi[«k?]+c«][ôî[»][/3
+ [/»'] [o}[«][/'5 + Mi:ô][«]CJ]+etc.
et comme le second membre de cette équation demeure le même lorsqu'on y échange les quantités m tt n entr'elies , il s'ensuit que
Si l'on remplace p pw f, et qu'on écrive ensuite /> à la place de ç+m-^-p', on aura cette expression
[/]c7î=i+[/'~î--«j[ô^ic«k7]V[/^f~/][o]wî3
+ [/'-?—« ] [ o ] [ » J [ ? ] + [/»—?—«] [o]['0[/]+ etc. dans laquelle la quantité n n'entre plus comme exposant ^ et qui peut par conséquent servir à l'interpolation. En l'appliquant à rezemple du n*". précédent ^ elle donnera
^ +[-^koi[4[o3+[-î][ôk-^K
résultât qui revient à
^ "^ "^ xi.i i.xi.i.x^a x.1.% I.I.Z.X.3..3
£>£$ Différences. 171
964. Nous pouvons , à l'aide de ce qui précède , trouver Texpression de t ^dont nous avons fait usage dans le n% 945* 9 et plusieurs autres très-remarquables. Pour cela il faut développer la quantité (i— j;')", dans l'intégrale nrfx''^''dx{i — ^')", ce qui donnera
nr/AT-'^VrCi— jcT=/2r/x«^*^Jc{ i— [m] [ô>'+M [^at»^— [m] [o>^'+ etc.}. Intégrant chaque torme ^ depuis Ar=o j jusqu'à ;t= i , il viendra
«zpression équivalente à celle^à
-+^Mo]+ („+.,x„+z)MW+ («+x)(«+xX«+3) "^"^^'^
que l'on peut écrire comme il suit
+ M[Ô3[-«]W+etc. 1^
Cette dernière y devenant identique avec le développement de
[/F+/72+7»]I>], rapporté dans le n*. précéd. lorsqu'on y change n en — n et /^ en », est par conséquent celui de la quantité [n + m — ^n] \n\ , OU lm]ln\ , d*oîi il suit que la valeur de llntégrale nrfx*'^^dx(i — ;p'3*,
— jf m
prise depuis jtr=o, jusqu'à x—i^ est [w][n], ou
i.i.'j... (m+n+ i)(m+n+ iXm^n-h })•-•• .
Appliquons maintenant ces formules au cerde ^ dont la deml-cir-
p dx
conférence est donnée par Tintégrale /— ( n% 410 )j nous
•/Kl— AT*
aurons pour ce cas r=2 , /2=7, /» = — |^ , et nous tirerons du dé-* veloppement en série
-=1 + — + ^+ |-^ + etc.
ijx Ch. L Du Calcul
résultat qui n'est que celui du n^. 410 ; mais en faisant usage du développement en puissances du second ordre ^ nous obtiendrons
m If— w
et en observant que Téquation [/^] — C/'] [/'—'!»] ( n*. 901 )^
donne [ï]=[î][— 7]^ nous déduirons de là î^ = 2([i])%
ou ^ = 4([ï])% ûu enfin ^^ = i[rl*
Cette expression est bien digne de remarque ^ car la quantité ana-
logue à 2 [7} ,dans les puissances ordinaires bu du premier ordre , étant i(^)»=-— =K 2, exprime la diagonale du quarré dont le
côté =1 f tandis que V^^ estle côté du quarré dont Taire est
égale à celle du cercle ayant pour rayon l'unité.
Si Ton développe le produit [7] [— 7] , d'après le n% 962, on
tombera sur l'expression de Wallis 9r= , rap-
portée dans le ( n^ 945 )•
On parvient encore à ce résultat sans le secours d'aucune intégrale y ainsi qu'il suit : on a
riir ii = =: r
r-ir "i.:. 7(7-0(T--O(i-3) ^ t
d'oh il faut conclure [7][ — 7] = =!= , suivant que /i est
impair ou pair; et avec iin peu d'attention on reconnoît que
VES^ Diffère n-c r s.
sm
rexpressîon
donne précisément les mêmes valeurs
lorsque Tindice n est entier ^ d'où il résulte que les deux expressions
sm
in
y.ontune'inifinité de valeurs communes;
En interpolant donc la première par la secoi^e , on en dédsira
smox-
mais Vbl vraie valeur du second membre de cette équation étant ^ tt , il viendra [f][ — ^] = -, comme ci;dessus ^ et nous apprenons
en même tems par là que le terme qui répond à Pindice \ dans la série
est [-:][—:]•
Si Ton fait /» = y ou 3 , on trôuvcfrâ
LâJL aJ-LîJL »i--3.9. 9.15.15.11.11.17.., -x' puisque sîn^^ =•;.
Prenant encore /i = ^ , ou ^ , on parviendroît â
i*o*o* io« io« 14* • • •
à cause de sin^îr=:^K i.
.965. On peut obtenir dans cet algorithme uii nombre infini de résultats semblables à ceux que nous venons de rapporter , et parmi lesquels il s'en trouvera qui seront transcendans ^ d'autres qui seront sfeulement irrationnels^ et d'autres enfin qui seront rationnels, ce qui établit une différence essentielle entre les puissances du premier ordre et celles du second , puisque par les unes on n'a pu exprimer en termes finis que des quantités rationnelles ou irrationnelles, et que les autres s'appliquent aussi à certaines transcendantes. Il est incon*
1 74 Ch* L Du Calcul
testable que les puissances du troisième^ordre , nécessairement plus générales que celles du premier et du second , doivent s'étendre à des quantités qui ne peuvent s'exprimer en termes finis par celles-ci. Vandérmonde , dans le Mémoire dont nous avons tiré ce qui pré* cède 5 comprend toute^ ces quantités sous la dénomination générale ^irrathnndUs j et il les distingue et^ordres^ en appelant irra*^ tionnelles du premier ordre , celles qui résultent de l'extraction des racîpes » irrationnel^ du second ^ cellls qui répondent ft des ex*' posdns fractionnaires dans la série des puissances de cet ordre et qui sont irréductibles aux précédentes ^ et ânsi de suite, Non-seulement cette nomenclature , et la notation dont elle dérive , ont Tavantage de conserver l'analogie des idées , mais elles m^ paroissent propres à mettre sur la voie pour résoudra des questions importantes qui se lient avec les réflexions exposées dans les D^* 675 et 697. \
Jusqu'à présent on ne s'est guère occupé que du problême direct de l'interpolation; cette recherche présente^ comme toutes les autres , une question inverse qui peut être plus difficile que la question directe , mais aussi qui semble intéresser boucoup les progrès de Tanalyse, L'extraction des racines n'^t évidemment que l'interpolation par rapport aux puissances du premier ordre , et la recherché des logarithmes , la question inverse dont nous parlons ^ puisqu'il s'agit , dans le premier cas^ de trouver la quantité qui répond à un exposant fractionnaire » et dans le second l'exposant ou rindîce qui répond à une quantité donnée. Dans l'interpolation on connott l'indice et on cherche le terme intermédiaire ; dans la ques«tion inverse c'est ce terme que Pon connoit , et l'on veut trouver à quçl indice il répond. Il résulteroit de la solution de cette question une manière d'exprimer toutes les grandeurs en les regardant comme faisant partie d'une suite proposée» et il doit nécessairement arriver que quelques-unes répondent à des indices entiers , d'autres à dès indices fractionnaires , d'autres enfin à des indices dont la valeur ne seroit susceptible» en nombres» que d'une expression ap* prochée; et comme toute série» dont les termes croissent indéfi^ moient » peut comprendre » au moins par approximation » une quanqui surpasse son premier terme ^ queUp qu'elle soit d'ailleurs.
il existe un nombre indéfiqi de manières de représenter une quantité qnelcanque parmi lesquelles il doit s'en trouver d'utiles pour classer ks transcendantes, pour les réduire les unes aux autres lorsque cela est possible, et enfin pour en dresser des tables , ce qui parorc te seul progrès qui reste à faire dans le Calcul intégral des différent tielles dfune seule variable^
€s66. Nous ayons montré dans lén^ Iô2y4es ïnconvénïens de «mP*?^*"'^" ^^
-,,,... ... . , . t , - . 1 élimination dans
relimination successive des inconnues , mconveniens qui deviennent les équations a!^éd*autant plus grands que Ton a plus d'équations â combiner en- ^"î»^» tr'elles ; nous allons faire connoître la- méthode^qu a donnée Bezouf pour les éviter. Pour faire concourir de la même manière chacune des équations proposées à la formation de l'équation finale > le moyen qui se présente d'abotd à l'esprit , et que l'on trouve appliqué dans . les éléinenSjâux équations du premier degré., consiste à les multiplier par des facteurs indéterminés , puis à les ajouter entr'elles , et à égaler à zéro les quantités qui multiplient les inconnues que l'on veut faire disparoître.
Si l'on- avoit , par exemple , les trois équations
> a x*'\-b y*-^c xy'\'d x+ey-^f zncf
a'^x^-h Vy + c"xy + df'x + /> +/'=0 y
et qu^off les multipliât respectivement par trois polynoo^s de leur degré ^ savoir ^ par
A ;i:'+5\y»4- C x^^t) x+Ey+f jÉ'x^-hBy-i^C' xy+D'x + Ey + F'' jt''x*'^BY+C''xy+iy'x+Ey+F%
en réunissant les produits qui seroient du quatrième degré et en les ordonnant par rapport à * et y, on auroit une iquation-sommey qui coatiendroit quinze termes y respectivement affectés de
xy\
17^ C H. î. D u Calcul
mais comme on auroît introdnit dix-huit coçfEciens iadétermînés i on. pourrait égaler à zéro les coefficiens des quatorze termes qtiî contiennent a: et y, et ne conserver que celui qui en est indépendant ou qui est multiplié par x"" : on obtiendroit ainsi l'équation
Il est facile de voir que les coefficiens J,B,... A'yB'y ...A"^ B\ . . se détermineroient par des équations du premier degré ; mais leur nombre total étant 1 8 , il en restefoit quatre d'arbitraires.^
Pour appliquer cette méthode à des équations plus élevées , ou qui soient en plus grand nombre , il faut avoir préalablement résolu les questions suivantes: i"", déterminer quel e$e le nombre de termes que doit renfermer un polynôme complet J^un degré quelconque et comprenant tm nombre quelconque ^inconnues ; x"". déterminer parmi ces termes U nombre de ceux qui contiennent telle de ces inconnues que ton voudra çt le nombre de ceux où elle fi entre pas ; car ce n'est que d'après la solution de ces questions qu'on pourra prévoir à quel degré doit monter l'équation finale , choisir en conséquence les polynômes qui doivent multiplier les équations proposées f et s'assurer qu'ils contiendront un nombre de coefficiens indéterminés suffisant pour qu'il soit permis d'égaler à zéro tous les termes dans lesquels entrent les bconnues que Ton veut éliminer.
967. jQccupons-nous d'abord de la première question. Lorsque le polynôme ne renferme qu'une inconnue , il est visible que son degré étant désigné par m^ le nombre des termes qui le composent, s'il çst complet, sera m+ 1 , car il contiendra tes termes
et si l'on rend ces termes homogènes par l'intraduction d'une nou« velle inconnue u, on aura précisément tous ceux qui composent la puissance 172 du binôme z + x^^ dont le nombre est encore /n+i. Réciproquement si l'on fait u^^^i^ on reviendra de la puissance du binôme /+« au polynôme à une seule inconnue ; on passera de la même manière de {t+u-^xy ^x^ polynôme complet à deux inconnue^ ^ et 1^ ^ en faisant at =^ 1 : il suffit donc de trouver le nombre des termes qu^ doit contenir (/+ x^ + ^)"'. Or, en mettant cette e;cpress)on sous la forme {(^+^)'f ^))"'» et en la développant
seulement
DES Différences. 177
seulement par rapport ii x ^ on obtient /»+ 1 termes dont l'un quelconque est multiplié par {t+uY'^x'^. Si maintenant on développe celui-ci par rapport à rct à ix, il en fournira m — «+ i, d'où il suit, que le nombre total des termes du polynôme proposé sera la somme de la quantité m — /z+ 1 9 prise en faisant varier n depuis o jusqu'à m , c'est-à-dire , la somme de la série
dont le terme général est [/w+ f ] , et qui revient à [)w+ 1], ou à
i iL L-i ( n% 930 ).
En mettant le quadrinome (^+«^ + ^ + >^)* ^u^ >Ia forme {(^+«+J^ )+y }% et en le développant par rapport ^ seulement , on trouvera m+i termes dont Tun quelconque sera multiplié par {t+u+xY'^^y^^ et par le développement de la puissance du trinôme
en fournira , d après ce qui précède ^ un tiKomxA ^-^ ^ •
La somme de cçtte expression ^ prise depuis pz=iOy jusqu'à p=^m ^ c'est-à-dire , telle de — [^+2.], donnera le nombre des tefmea.
contenus dans le développement de la puissance m du quacirinome « ou dans le polynôme complet à trois inconnues^ on aura do4fc , pour
ce nombre de termes^ — ['w+îl» ou ^ ^^\ ^ ^^ ^ \
De même 9 puisque 4e terme.(>+i^+:A:+y)'"-Y>^w développe* ment de {(/+« + :«: + jk) + c}* en ^fournit s
i 2 — i^-^^ — 2 ' , et que la sommme de cette ex-
pression 9 prise depuis ;^=0f jusqu'à qzrzniy revient à celle de
[/»+ \\i on aura ■ r/n + 4], ou
i Zi^ Ir^ ^^ i pour le nombre de termes da déve-
loppement de la puissance m du quîntinome, ou celui des termes du
polynôme complet à quatre inconnues,
Afftndw. " Z
178 C H. I. Du Calcul
En généra! le déTctoppement de la puissance m du polynôme formé de n terttfes /, », x^y^ {» etc. en contiendra un nombre
exprimé par
, ou par ■ ■■
I. a. }...,/* et ce nombre sera aussi celui des termes du polynôme complet contenant f( ïnconnues. Passons maintenant à la seconde question. 968, Pour envisager cette question dans toute son étendue , nous l'énoncerons ainsi : trouver dans un polynôme coinplu du dt^i m , et renfermant un nombre quelconque if inconnues t, u, J^tY > c'^- combien
il y a ^ termes
, outre cetix-làf il y en a tU
divisiôUs par ï
'.dens fil y en a de diyisiiles
par X', etc. en
■t-q+etc.<m.
On voit aiséi
le tousjes termes divisibles
par **, et qu*on
quotient ffira un polynôme
pie » le polyhQaie complet
du sixièoy deg
t, » et V 4' dont les termes
seroieat
.■ tu
l'xf
,V fifx fux' f'*'
,■»< cii, <•»•»■
<u> ai>x
tx'
«• ifx
ux>
if«"
iV 'ïV^- Vax» «**'
