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En réunissant ceux qui peuTcnt être divisés par t^, savoir, tous ceux qui sont multipliés par des puissances de (, supérieures  la
DES Différences. 179
seconde 9 et en effectuant la division, on formeroît le polynôme du troisième degré , dont le nombre des termes seroit par conséquent
En général , dans le polynôme du degré m à fc inconnues » que
nous désignerons ainsi (t. • •^^Ty le nombre de^ termes divisibles
par i" sera égal au nombre des termes du polynôme (^••.,At)"^%
fi, — ^ ou à [m— -n + A*] [o].
Après qu'on aura e&cé du polynôme du sixième degré , qui nous sert d'exemple, les termes divisibles par t^y si Ton se propose de trouver ceux qui sont divisibles par »*> H faut , du nombre de ceux qui Tétoient avant l'exclusion des termes divisibles par f% retrancher celui des termes divisibles par «*, contenus dans le polynôme dont ^ est le facteur commun ; or les termes divisibles par tt* dans le polynôme total sont au nombre j de
(4 + 3X4+1X4+0 ^ ^ ^ ^ ç^ ^^^j ^^ ^^^^^ divisibles par »•
dans le polynôme du troisième degré formée des termé^p! visibles par t\ étant le même que celui des termes du polynôme du degré 3— -d, ou du degré i ^ est égal à 4 ; la différence 3 5 — 4 , ou 3 1 , sera donc le nombre des termes ^visibles par «% après l'expulsion «jde ceux qui le sont par ^.
En général [/n^^p+fd,] [o] étan|^le nombre des termes divisibles
par u^ dans le polynôme proposé, et [w— « — ^/^+i^][o], celui des mêmes termes dans le polynôme du degré m — n , formé des termes
divisibles et /*, ladifférence[/w— /?+/x] [o]— [/w — ^—p+h'ilo']f sera le nombre des termes divisibles par u^^ après l'exclusion de ceux qui le sont par A
Il est facile de voir que le nombre de ceux qui le, sont ensuite par x^ s'obtiendra , en retranchant du nombre total des termes de cette espèce coAtenus dans le polynôme complet , le nombre de ceux que renfern^c le polynôme divisible par ^ et le nombre de ceux
180 Ch. I. i?i^ Calcul
qui sont en outre divisibles par vFy et que l'on aura
=[0] { [^— ?+^]— [/W— «— y + |;i][/W— ;,y +^] J|. Im—n-^p-^q^^^.
On trouveroit de la même manière que le nombre des tetmes divi« sibles ensuite par y' t%t égal à celui dés teames de cette espèce que contient le polynôme complet, moins le nombre 4^ ceux que con« tient le polynôme divisible par t^ moins le nombre de ceux qui sont en outre divisibles par if et moins le nombre de ceux qui sont en outre divisibles par x\ ce qui revient à i^ /u fc /(<&
A* ft ft ft|
— [/w — J— r+ \l\ + [/»— )z — q-^r + /ia] + [/«— f — J— r + f<]— [/w — ^»— /^ — q + f*]
et ainsi de suite.
En examinant *de près les résultats que nou« venons d'obtenir , on reconnoît bientôt, i"*. que
[<j|[[OT—/? + ^]—[/»—n— /! + /*]} ==A„[0][/72—/+ ,
an marquant que la quantité m-^p+iA, varie de — n^ 2"*. que
*^fA f* fA f* f*
[o] { [/7z— î+/x]— [fw— n— jT+f*]— [m— ^— y +fA] + lm'^n—p—q+f4] }
=[0] { { lm—f+i^']—lm^p^q-+(^) — { [to— /î—j+f*]— [m— /2—/'— ?+/*]} 3 — /x ^ — ^ fi ^
aV» marquant une différence du second ordre, dans laquelle la quantité m — ^+/u varie successivement de — p et de — n ; et d'après ces considérations on verra que le nombre des termes divisibles par y y après l'exclusion des termes divisibles par /", «% x'' , est
exprimé par a\^^^ , [o][m— r+^] , A%, ,, „ marquant que la quantité m—r+i^ varie successivement de — f , — p^ — /x, et
enfin que A^r,£,ii, ii[o][^— -^ +f*]> exprimera le nombre des
DES Différences. i8i
termes divisibles par :(^ après l'exclusion des termes divisibles par ^^ u\ x% y.
Quant au nombre des termes restans après Texclusion de tous ceux qu'on vient de désigner , il s'obtiet^dra en observant que ceux qui restent après l'exclusion àss termes divisibles par r^ est
et si l'on en retranche ceux qui restent divisibles pat vF et dont le nomiN'e est a^[o] [/w— /^+/j*] , il viendra
retranchant encore de ce résultat le nombre des termes divisibles par ^% après l'exclusion de ceux qui sont divisibles par t^ et i^% on aura
pour le nombre des termes restans apr^lfjexclusion de ceux qui sont divisibles par i^, «^ x\ et on arrivera 'â
pour le nombre des termes restans après l'exclusion de ceux qui sont divisibles par ^, a', :c% y^ : enfin à
pour le" nombre des termes restais après l'exclusion de ceux qui sont divisibles par /^, «% x% y et i\
969. Maintenant , pour procéder à l'élimination entre un nombre quelconque (jl d'équations , renfermant un pareil nombre d'inconnues et représentées par
(r..,^)"'=o, (t...iAy=^Q^ {t...iAy=so, etc.*..
concevons qu'on mukiplie la première par un polynôme complet , contenant aussi fc inconnues , mais d'un degré indéterminé m' , et désignons le résultat ou Véquatîon'produu par {t /it )"+"* = o;
les autres équations pourroient donner immédiatement les valeurs de »% x^j y\ etc. considérées comme des inconnues au premier-
iSx Ch. I. D 1/ Calcul
degré , et serviroient par conséquent à chasiser ces quantités de réquation-produit , après quoi il n'y resteroit plus aucun des termes divisibles par u% x^^ y\ etc. Si donc Ton ne veut conserver que l'inconnue e^ dans l'équation-produit ^ qui deviendra dans ce cas l'équation finale résultante de l'élimination des inconnues u^x^y^ etc, il faudra faire év^ouir tous les termes qui eo demeurent affectés , en disposant pour cela des coefficiens introduits par le polynôme multiplicateur.
Pour ne pas embarrasser le Calcul de termes ' inutiles , il convient d'abord de faire disparoître du polynôme multiplicateur tous ceux qui sont divisibles par u""^ ^%j^% etc. afin de connoitre ensuite le ^ nombre de ceux qu'il faudra faire évanouir ; et le nombre des termes restans après cette opération sera exprimé par
^ [o] [ /w'+ft] ( n% précéd. ) ;
puisque (i^^i désigne le Mflibre des inconnues que l'on éliifiine. Les mêmes substitutions réduiront l'équation^produit à un nombre de termes marqué par
Si donc D représente le degré de l'équation finale en / , le nombre de ses termes sera /?+ 1 9 et par conséquent le nombre de ceux qui resteront affectés des inconnues u^Xyy^ etc. dans Féquation^produit ^ après les substitutions que nous venons d'indiquer , aura pour expression
tandis que le nombre des coefficiens indéterminés ^ introduits par le polynôme multifriicatetir ^ sera
. Parmi ces coefficiens il en doit rester un qui soit arbitraire ^ puisque l'on peut toujours réduire à l'unité le coefficient de l'un des termes de réquationrproduit ; d'après ces considérations 00 a,
DES Différences. 183
pour déterminer m\ l'équation
qui donne
en passant hors de la caractéristique a , le facteur constant [o] ^ et en réduisant les deux termes du second membre à un seul. Il ne reste plus qu'à développer la différence indiquée y en observant que les variations de la quantité m + m' + fi, sont successivement — -/t?^
Pour y parvenir il suffit de remarquer que là fonction [«n + m'+ |u] ^ éta^H^ développée y par rapport aux p^p^^ces de m+m\ sera de la forme
et que Ton aura par conséquent
fi ^
Substituant cette valeur dans celle de Z>, on aura seulement
cVst-à-dire, le théorème dé Bézout, énoncé dans le n^ 189; savoir , que U degrl d^ t équation finale , résultante de t élimination <tun nombre qtulconque Jt équations complètes ^ renfermant un pareil nombre ^inconnues et de degrés quelconques , est égal au produit des exposons de ces équations.
i84 Ch. L Du Calcul
De rîntégratîon 970» Jusqu'ici nous avons supposé que la différence de la fonction DffFé?en*c^'àdcux cherchée étoit donnée explicitement par les variables indépenvariables. dantes, nous allons maintenant nous occuper des cas oii l'on a
seulement une équation contenant la fonction .cherchée , ses différences, les variables indépendantes et leurs accroissemens. Supposons d'abord que la fonction cherchée y ne dépende que de la seule variable X j dont l'accroissement , considéré comme constant ^ sera désigné à l'ordinaire par A. L'équation proposée sera comprise dans la formule générale ^{x^k^y^^y^ ^y 9 etc. ) = o. Il est à propos d'observer que l'on peut en faire disp^roitre les différences ày ^ ^y ^ etc. en les remplaçant par les valeurs consé* cutives de j.^, puisqu'on a ^
^^=^1— J^> A*j^=y.— ij^.+j^, etc.
et le résultat prendra la forme
d'après laquelle on voit que toute équation aux différences faitj^n* noître la valeur de la fonction âierchée , par le moyen d'un certain ^ nombre de valeurs antécédentes.
Si l'équation étoit du premier ordre ^ par exemple , on auroit^, ^ par le moyen de y; si elle étoit du second , on en tiferoUy^^ exprimé par y^ et par y ^ et ainsi de suite.
Il est facile de reconnoSire qu'une équation quelconque aux diffé« rences équivaut à une série , dans laquelle on obtient chaque terme par le moyen de sa relation avec ceux qui le précèdeiu et avec l'indice qui marque le rang qdll otfûpe. En eftt ^ lorsqu'on a , par exemple $ y^=(ix,hyy^y^) , on en déduit
et Ton forme ainsi la série
yj yxVy^$ y\\yi,% etc.
au moyen de ses deux premiers termes.
Ce cas particulier su^t pour montrer que dans la série diduiu élunt équation quelconque aux différences ^ il y aura toujours autant de termes arbitraires quiï y a (Punités dans (exposant de tordre de cette iquatiçn^
* On
V £^s Différences'. 185
97». On peut changer toute équation aux différences en une* équation .différentielle d'un ordre indéfini , |p substituant ^ au 4ieu de ^K^^^Xf etc. leurs dével^Upemens d'après le n"*. 864 , et il n'est pas ^moins évident que l'on convertiroit aussi toute équation différentielle en une équation aupc différences d'un ordre indéfini, en rem* plaçant les coefficiens différentiels par leurs développemens tirés de la formaledun% 867,
Il ne paroît pas que ces transformations , qui onMKnconvénient ^Hiqlroduire uû nosibre infini de termes , puissent êti% , en général , foft utiles pour l'intégration des équations ; mab elles sont trèspropres à faire sentir la diâërence qui existe entre le Calcul différentiel et le Calcul aux différences. Elles prouvent que par la nature de ce dernier , les diâ^ences de la variable indépendante doivent avoir nécessairement une valeur déterminée ; car si l'on avoit une équation entre Xj y ^ A:ir, Ay, A*^, etc. dans laquelle aa; demeurât indéterminé , qu'on 'la développât suivant les puissances de iM% ày^ ^^y 9 €tc. ce qui lut donneront la forme ^
jièkX +fiAy
'+ CAx''+DAx^y+E Ay-hF/iy > —0;
+ etc.
on y pourroit substituer, au lieu de Ay, Ay , etc. leurs développemens , et comme "A x y resterait encore indéte'rnûné , il faudroit que les coefficiens des diverses puissances de cet accroissement s'évanouissent d'eux-mêmes. On obtiendroit ainsi , entre les variables :r ,y, et leurs différentielles , un nO||bre infini d'équations qui devroient s'accorder entr'elles pour que la proposée signifiât quelque chose ; et dans ce cas elle ne seroit équivalente qu'à la première de ces équations , dont les autres de viendroient les différentielles successives.
En ne supposant l'équation aux différences que du premier ordre , ce qui la réduit à
jAx+BAy+CAx*+DAxAy+EAy*+ etc. = 0, et prenant
dy Ax d^y. Ax^ J^y A x^
« V = -i7— +t4— +-r^- -+etc.
'/tpptndïce.
dx* I dx^ 1.2 dx^ i.i.3
Aa
186 Ch. I. D a Calcul
il vient
ItXdx*
d'où l'ott tiN# .,^
B^+^^0, ' £^+Z)^+C+— ^ = 0, etc. '^'> dx ax"" dx 1.2 ^x*
et si cette suite d'équations ne peut avoir lieu ^ la proposée ne pourra se vérifier qu'en assignant à ^^ une valeur particulière*
972. Ces préliminaires pos^^ , ehtroi^Ltt} matière par Tintégratioti de réquation générale du pr«mier degré et du premier ordre.
Soit l'équation A^+Pj(=: Q^ analogue à Téquaiîon différentielle qu^nous avons traitée dans le n% 547 ; un procédé^pm^ blable à celi|î du n"". citégj^ nous^ conduire à son int^ale. Faisons jr = «^, et nous aurons Ay =^i^^+ {A«+ A» a^, ce qui changera l'équation proposée en
^ «A^4^Aa+ Aï^Aî + Z'ttC^pQ; en posant séparément
ÇAtf + PkÎ = Oj ou A« + 'P'tf=50,
il restera »A^+ AwA{= Q, d'oii^ l'on tirera
Ar== — - — etjA^s — ^^= — • ' u-^- Lu ^ffW Û^ LU
La question se réduit donc à intégrer l'équation ai^+Pî/sso, dans laquelle on peut sépa^p: les variables en lui donnant la forme
Lu
P y puisque P est supposé ne contenir que x. Prenons u=^^^
i! en résultera Aii = «*(« — i) et — = « — is=: — P,
d'oîi nous tirerons
ùkt ■'
t sat— p, A/ï=l(l— P) «t /=Sl(l--P);'
* iVES Différences. 187
mM la somme des logarithmes de la fonction i-— P| répondant . au produit continuel des valeurs successi|ps que reçoit i — i^ entre
les limites 4e l'intégrale, ^i Ton désigne ce produit par' [ i — -P,J , 0é aura / = I [ i ~ p^ J, ] , d'oh on tonclurà
' ' Le sens de la notation que nous venons d^trofllre est £icUe à ^isir d*après celU^du n*. 901 > car il est visible que
. ci-/'^.]=(i-/».-.)(i-/'.-.)(t— p;-0.-"(i-^.),
çob^at^Stant à la psemière des valeurs de x ; et si l'on fait attentv>n , . me u + Aa=:», , on ojj^ndra
ce ^ donnera cnnâ • ^ . '
la constante arbitraire étant comprise dans l'intégrale b^quée.
Cest à peu près ainsi que Lagrange > qffr le premïepR voir l'analogie que les équations du premier degré ^ aux différences , ont avec les écpiations xfiflKrentieUes du même degré , a intégré , en 1761 , Téqua- ^ lion traitée ^ct« dessus; il applique ensuite son résultat â l'équation
4*^* revient à x^ ù.y = A|W* Q* ^ comparant cette dernière ^ 0 •avec Aj^+P^:«P, il vien^P=i — ^^, i — P:=^R^ et Ton a par
co/iséquent . ^y^i^^i}^ — ^1h^
DansNfe développement du produit [i— i^x^J, nous avons supposé , pour plus de simplicité , la différence de x éjiale à l'unité ; On pourroit conserver la même expression en convenant qu'elle répond à (i— p^ ,^)(i p^^^J(i— P^^^J etc. lorsque Ax=n, ou biea transformer Téquaiîon^ropbséè en une autre , en faisant x=nx\ ce qui donngroit Aa;=/iAa?' et Ax=i.
i8« C H. L Du Calcul*
, Si Ton suppose c^e le. coeffident R .soit constant , on aura '
L'intdgratîon indiquée s'efFectue facilemçnt lofsqâe Q est constant ; on obtient dans ce cas j^ MuT / ^ *
En général on obtiendra la valeur de y , j^livrée du signe d'intégration toutes les fois que Q sera une fonction rationnelle et^ntière de :r ( n\ 911). • Jfc * ' , 1 • ^
973. Dans ks recheBches ci^sn''. p^Rd. Lagrange appli^e auft^ ' - équations du premier degr^||t d'un ordre quelconque aux différences » la m|tho(^qu^d*Âlembert a donnée cour les équations difTérentielIês du premier degié et dont nous ^dÉps fait tonnoître Te^prit ^ n"*. 9[8 ; mais il est revenu sur ce suje^ren 1775 , PSÊÊ^^ méthode encoi^'^' * plus simple , que nous allons faire connoître. \
RepréserfBfis par |^ 9
une équation d'un ordre quelconque et du premier .degré par «apport à la fonction y,î on prouve , comme dans le n', 647, oue son inté-^' gration se rq(pène à celle de
et que Ton obtient la valeur complète de {^ , flP^u'on en connoii un nombre n de valeurs particulières.
Çttte dernière propoikon est évidente par dfe-mênfc ; carif ^f clair que si
sont des fonctions de x ^ qui satisfassent à l'équation (£) , l'expression
î = CY,+ C^r,+CVx+etc-
y satisfera pareillement ; et quand ]|||noaibrè de %ts termes .supposés absolument réductibles entr'eux sera n , eUe sera l'intégrale
coAplète "de cette équatîelh 5 jmisqu'plk renfermera n constantes arbitraires , C\ C\ C\ etc. • #
Cela posé \ si Ton regarde ces constante^ comme des fonctions àtx^ *et ^ue^dans cette hypothèse on change {[, en j^^ , ouj^ue Ton fasse
oft en déduira d*abord * *
résultat quue transf9rma^n
•î y,;.^^.:i-. +^%îV +C^l^+/ + etG. .
en mettant pour C',!, , ^+' » etc.'* leurs valeurs C' j + aC, , C'', + AfT', , #r. et se rikiit à
Jc,^.^CU'x+. +C/',î^^, +^"xî'W +*tc.
tôriqu*on faît^' • , ^
.de même que si les qtf^tités i7'^ , ^^^ C'\ , etc. fussent demeurées constantes. En^Eaji^ant de nou^jau varier :r , en obtiendra
= C'^^+. +<^\ îV+^"x î",+.+ etc.
+ {Wa-^^-^t'^^s^G^+c" x^..aC"',+ etc.
resulfet que Von réduira à • * . ^
nat la^suppositiong^tp ^ "
î'^^aC+î'^^^aC-J+i' V.^<^''.+ etc. = 0 (!)• Faisant varier jit un< troisième fois ^ on ^(Ivtent à
911 posant ^*
^ 6*îA^.+îVîAC*,+î-,^,A(r',+ etc. = 0 (3) ,
et Ton continue ainsi jusqu'aux équations
190 'Ch«I. IX ù C a t c u j.
Maintenant y ti dus la vnknr é^^y^^^ onchange jtr«n r4* >;
on trouiera
+'^U%+- +<^'.f,^ + «te.
mettant dans réquafion {A) les v^eurs'dejr^, r.+, ,. . . •jKx+tf-uJ'^+^i * en observant que ^ l'hypothèse et d'après T^quatîon {JEl] ^ t
etc. • • ' ''
il restera * . ^ ^» %•
îW^^'x+îV^r^+rx4^^^^+«te-='> (4 ^
On conçoit facilement qil^ec k secours des équations ( 1 ) / (z), (3),*.»)^(« — i)» («), OT déterminera en fonctions de* 5 ^ les différences aC' , aC' ,%C'',, etc.Âé qui réduiaa la rechercha des quantifia C\ C% (7''', Ac. à rintégtttion des fonctions d^ne « seule variable» * " ^
