A «^— A U^^, = A . A U^^, = AX
etc.
AX — A*« =A.A*X< =A^tf AX— A*^, = A . AX = A^*/,
AX— AX-.= A. AX-.= aX-i
etc.
Cela posé, on aura, en vertu des équations (i) , (i) , (3) ,
tt, =tt -4- Aï/ I
A»^ =AI^ +AV AJZ. =A«j + AX
A'tf +ù:U
a«^„-.=a«^. + aX~.
AX-a = AX-î + AX-î^
Par le moyen de ces valeurs , on peut arriver à des expressions de ^, , u^^ u^....Uj^^ qui ne dépendent que de la quantité pri* mordiale «, et de ses différences successives au^ a^u^ A^^,etc. en faisant les substitutions nécessaires on obtiendra
U^z=ti + AU
J/^=l/ + XAU + A^U
d'où on conclura par analogie
«fctS « + - A « +
•A'i:^+ etc.
puisque les coefEciens numériques des expressions précédentes sont les mêmes que ceux des puissances du binôme : la démonstration suivante justifiera pleinement cette conclusion,
VEsDlFFÉREÎ^CÈS. S \
n t%t évident que Texpression de u^ ne peut être que de la forme
u^T= u '^>:A'àu + A''â^''u +A'''^^^ + etc.
dans laquelle^', A\ A'\ etc. désignent des c.oefficiens numériques, îndépcndans de u et de ses différences , et il doit y avoir entre i/„^j ^ et u^ les mêmes relations qu'entre z^^ et 2^ ; car dans le second cas , le nombre des termes est le même que dans le premier 5 et tout le changement dans Thypothèse se réduit à partir d'un terme plus avancé : on aura donc
u^,:=^ u^ + A'l u^ + A't^u, + A'^L^u^ + etc. Si l'on met , au lieu de a«, , a"/;^, , ù^u^ , etc. leurs valeurs en «r, Lu^ A^^, etc. il viendra a„^,= w + ( I +^') A« + (^'+^'') A»« + (^''+^'') a'/^ + etc. mais en représentant par
I '+ 5'a: + ïï'x"^ + 5'' V + etc.
le développement de ( i + a:)", on trouvera
on volt ici que àaxi^ le passage de l'exposant n à l'exposant /2+I 9
les cbefficiens du développement du binôme éprouvent les mêmes
changemens que ceux de l'expression de u^\ et comme les uns et les
autres prennent les mêmes accroissemens , il s'ensuit que dès qu'ils ont
été identiques dans un cas , ils doivent Têtre toujours : nous pourrons
donc écrire
n nfn— i) , n(n — 1)(«— 1)
j^ = « + - A z^ -I ^^ — ùJ'u -I i — L A^«+ etc.
On peut également exprimer la différence d'un ordre quelconque , A^tf , par le moyen des valeurs consécutives « , «, , u^.. • «etc. on tire d'abord des équations (i) , (2) , (3) ,
A*//=/^. — XU^'\' u
et l'analogie indique l'expression générale
A"«=«^ - r/^., + \—^Un - '\ ^n -î + etc.
6 Cu. LDi/ Calcul
qui se vérifie comme la précédente. En effet ^ en posant
^ A««=«„ + J'u^, + ^X-^ + -^X -î + etc.
on doit avoir
mais en substituant pour a"«j sa valeur a'/^+a""^'*^ , et mettant à la place de A"a son développement , il viendra rA"-^'^=^,^, + (^'-i)«. + K-^0«»-t + {^"-Ay,^, + etc. Or le développement de ( a? — i )'* étant représenté par
x" +. j5 V- ' + if V— -j- 5'' V-3 + etç, on aura
et Ton conclura comme ci- dessus que les coefficxens du développe-» ment de ùJ'u ^ recevant les mêmes accroissemens que ceux du déve-* loppement de {x — 1)% et commençant par avoir les mêmes valeurs, doivent demeurer identiques avec ces derniers, 11 suit de ce qui précède que l'on peut écrire les équations
pourvu que Ton se rappelle de changer dans le développement de la première, les exposans des puissances de Aa;^ en exposans de la caractéristique a ^ et que dans celui de la seconde ^ on transforme les exposans de û en indices.
86 1. Lorsqu'une fonction est donnée, rien n'est plus facile que d'en obtenir les différences successives ; nous prendrons d'abord pour exemple la fonction x"^. Faisons u = x'^y et supposons que x augmente de la quantité 4 y nous aurons 2/,z=(^'f A)", et par conséquent
Pour passer aux différences ultérieures L^u , h^u , etc. il faut faire variet x de nouveau , ce qui présente deux hypothèses , l'une consiste à supposer que la quatntité x prenne toujours des accroissemens égaux , et l'autre que ces accroissemens soient eux-inêmes variables ; nous nous occuperons d'abord de la première. En substituant x-^-fi au lieu de x dans a 21 , on aura »
1.2 n est visible que si l'on développe l'expression de az^, , et que Ton en
DES Différences. 7
retranche celle de lu , le résultat ordonné par rapport aux puissances de h sera de la forme
A*z^ = m ( /w — I ) at'^-'A* + M^x^'^h^ + M^x'^-^h^ + etc. -^î % M/^y ^tc* désignant des coefficiens dépendans de Texposant m.
Par une nouvelle substitution de at+A dans cette dernière équation , on parviendroit à A'/^, , et , en observant que a'«=a*z^^ — a*// , on obtiendroit
La loi des premiers termes de chacun de ces développemens est évidente y et Ton voit que 1 expression de a"^ doit commencer par
/»(/» — i) (/«— !)•••( m — /z + I )a:"*~"A''; mais pour parvenir au terme général de cette expression , il sera plus commode de former immédiatement ù^u , par le moyen des valeurs de z^, 5 u^^ u^^ etc. sans passer par celles de au , a^^ ^ A^u ^ etc. Il es| évident que dans Thypothèse présente les valeurs
repondent à'
et que l'on a par conséquent
u,±i(x + h)\ u^—{x+ih)^,....u^=(x + nk)"'; on tirera de là
A''u = [x + nhY-^^lx+{n^iyhY+^^'''^'^\x + (n—i)h']^
Si Ton désigne par z l'exposant de h dans le terme général du développement de l'équation ci-dessus , l'expression de ce terme sera
maïs comme nous avons observé que le développement de a"// ne pouvoit contenir des puissances de h dont l'exposant fût moindre que n , il s*ensuit que la fonction
n' (n— iV+ ~îi L(;i— iV-^etc.
tst nulle tant que i < n , ce qu'il est aisé de vérifier : d'un autre côté le coefficient rn{m-^^){m-^)...,..{„.-i+^)
s'évanouissant lorsque i = m + t, il en résulte que la plus haute * puissance de h , dans le développement de a"«, ne peut être que A" et que par conséquent A"« se réduit à son premier terme
dans le cas oh Ton a m =5=72. Il est évident qu'alors Içs différences ultérieures ù"+'tf,^"-*-*/i, etc. sont nulles.
Il est facile de conclure de-là que toute fonction rationnelle et entière de :r a toujours de^ différences constantes , savoir : celles dont l'ordre est marqué par l'exposant de la plus haute puissance de x , qui soit dans la fonction proposée. En effet , cette fonction étant de la forme ^x*+ Bx^+ Cxy+etc. on aura nécessairement ^X^x^ + Bx^+Cxy+Qtc.)z=jA\x''+BA\x^+CA\xy+et<.{'^); et si st désigne le plus haut exposant de;t:, il viendra pour le cas où «=«, A**^*=i.i..,..rtA% ^et^jj.c Q^ A*.:t>=o, etc.
en sorte que A*(^**i- Bx^-f Cxy+ etc. ) = 1.^.3 <tAk\
Il n'est pas nécessaire d'avertir que chaque fois qu'on prend la différence; de deux fonctions , cette opération peut faire disparoître une constante ; car les calculs précédens ne différent de ceux du n". 10 , qu'en ce que nous avons considéré en même tems tous les termes du développement de la différence , au lieu de nous borner au premier , comme pour le Calcul différentiel. . .
Au moyen de ce qui précède on développeroit sans difficulté les différences d'une fonction composée de puissances quelconques de x. Avant de pousser plus loin , il convient de montrer comment les mêmes développemens , et en général ceux, dçs différences des fonctions quelconques , peuvent s'ol?tenir par le moyen du Calcul différentiel.
861. Le Calcul différentiel et celui des différences, quoiqu'étant bien distincts , comme on le verra dans la suite , ont néanmoins de grands rapports èntr'eux et peuvent s'appliquer l'un à l'autre»
(*) Il ne faut pas confondre A".:c* avec A'^x*', car la première de ces expressions est la différence de l'ordre /i de la fonction sç"", tandis que A^x'==;(A";c)'.
Lorsquçr
DES Différence S. 9
Lorsque Ton considère le premier sous lé point de vue oii Va présenté Léibnitz , ou par la théorie des limites , il devient un cas particulier du second , ainsi que nous Tavons montré dans les n"* 9z et 285. Nous ne répéterons pas ici ce qui a été dit dans ces articles, mais nous déduirons la série de Taylor de l'équation
«^^= u + -ù^u H — ^^ 1 A*// ^ — !^ — -^ t^u + etc,
En lui donnant la forme u^=u+— —+—5^ L +!i LS L- - + etc.
et supposant que a soit l'accroissement que reçoit x lorsque la fonction u devient « + Aw, la valeur u^ sera celle que prend u , quand x se change en jc + n*. Faisant ensuite ndL=hy et regardant l'accroissement a comme évanouissant ou infiniment petit , il faudra considérer le nombre n comme infiniment grand ; en vertu de cette supposition les quantités n^^ (n — !)<»> (n — 2)ct.... etc. deviendront toutes égales entr'elles, tandis que les quantités
"— y —7- , — J- % etc. coïncideront avec les coefficiens différentiels
du d^u d^u
di' V^' z?* ^^^*
on aura donc
du , d^u A* dPu A»
dx dx* 1.2 dx^ 1.2.3
pour le développement-<le la fonction u , quand x est devenu x + k. C'est à peu près ainsi que Taylor e^t parvenu au théorème qui portç son nom. On peut substituer sans peine la considération des limites aux raisonnemens ci-dessus , en observant que
et que par conséquent leurs limites , relativement à l'accroissement de ^E , sont /z**»*, /2^a% etc. ou A% A% etc.
Lorsqu'une fois on est parvenu au théorème de Taylor i la théorie analytique du Calcul différentiel n'offre plus aucune difficulté;.
^ppcnd'w, B
lo Ch. I. Du Calcul
ainsi ce qui précède suffit pour montrer comment il résulte ^ du Calcul des différences (*).
(*) Cette manière de le présenter peut avoir ses avantages , mais elle est moins simple et moins él^ante-que celle dont nons avons (ait usage dam les n^*. 4-^10 , et que Ton peut abréger encore en employant la théorie des limites ; au reste , j*ai lieu de croire que tout bon esprit , qui aura rapproché les divers points de vue sous lesquels ce calcul est traité dans le premier volume , reconnoltra que pour le fond ce sont les mêmes idées , et qu'en leur donnant les' développemens nécessaires on parvient toujours à des conséquences également évidentes. Je ferai principalement remarquer que de quelque source que Ton tire le Calcul différentiel , la notation : ne doit pas changer et qu'elle réunit tous les avantages que l'on peut désirer dans les signes algébriques. Je ne crois pas que ceux qui auront bien saisi l'origine dé cette notation dans le n^. 9 , puissent révoquer en doute son anal^e avec les principes de Lagrange ; elle est même plus propre que toute autre à en rappeler le souvenir. Quelles que soient les notions préliminaires, le coefficient différcntUl^ ou la fonction prime (d'après l4igrange ) , sera toujours la fonction qui multiplie la première puissance de l'ac* croissement dans le développement de la différence de la fonction primitive ; en prenant le premier terme seul on aura une différence tronquée ou une différentielle , et
cela , sans rien prononcer sur sa grandtur absolue , sans rapptUr tn aucune manière Vidie
d*infiniment petit. Le changement de métaphysique ne sanroitdonc conduire à un changement de notation , si , comme il est aisé de s'en convaincre , la notation ai^ cîenne a des avantages marqués sur celles qu'on voudroit kit substituer. Il faut d'abord observer qu'elle doit être débarrassée des parenthèses qu'Euler employoit.
En effet, -7^ et -r^ sont aussi clairs que ( -7^ ) • (-^) ; car le sens de la dx dy \dxj \dy/
question indique toujours si les variables x et y sont indépendantes ou non , et em-
pêche qu'on ne confonde l'expression -^ avec — ^- — , qui ne signifie
dx . dx
tjuelque chose qu'autant qu'on regarde ( au moins implicitement ) y comme
une fonction de x. Legendre , dans ses écrits , avoit déjà supprimé les paren*
thèses ; en l'imitant sur ce point, j'ai cru devoir les consacrer au cas qui se
présente le plus rarement , et écrire --j^ , pour indiquer que dans { , y varie en
dx
même tems que » dont il est supposé dépendre ( n®* 70}. Fontaine, qui le
premier fit usage de la notation reçue pour exprimer les coefficiens différentiels ,
proposa de désigner par — tf*fc le rapport de <^x à la différentielle complète de /u,
dx
afin de le distinguer du coefficient de dx dans cette différentielle , ce qui est aussi fort simple ( voyt\ la table des Mémoires de Fontaine }.
DES Différences.. ii
863. A Taide du théorème de Taylor, le développement des différences d'un ordre quelconque pour une fonction quelconque
'^•^^^'^^^mm
Les notations employées dans la ThiorU des Fonctions ne me paraissent pas oftir les mêmes arantages. Les accens ae peuvent guères servir seuls, que lorsque considère des fonctions dont le nombre des variables ne s'élève pas au-delà de deux , en affectant les accens supérieurs aux variations de Tune eit les accens inférieurs à celles de Tautre. Pour aller au-delà, Tillustre auteur de cet ouvrage écrit entre parenthèses la quantité ou les quantités qu'il regarde comme variables f et désigne par
i"{x), P(y), f"(î), nx,y), P(*,t). f"(y.î) les coefficiens différentiels du premier et du second, ordre pour la fonction i{x,y^[) ( Théorie des bnctio|ft, page 19» ). Il a modifié depuis sa notarion dans le Traité qu'il vient de publier sur la résolution des équations numériques ^ oii il représente les mêmes coeiEciens comme il suit ,
Cy) ' («y)
Z étant la fonction primitive proposée.
En partageant avec toutt r£urope le respect attaché au nom et aux travaux de Lagrange » j'oieraL néanmoias n'Âtre pas de l'av» de cet homme si justement célèbre » sur les motiis qui paroissent le porter à introduire cette aouvelle manière d'écrire les résultats du Calcul diffireatiel; car je crois avoir prouvé dans ce qui précède que l'ancienne n'a point on elle-m|me l'inconvénient de rappeler conàntulUmtnt tidit fausse da infimmem petas^ et je demandera si la multitude de parenthèses très«« resserrées » qui résulterpit des signes qu'il propose , ne rendroît pas les formules aussi longues et aassi chargées , que l'emploi dé la caractéristique d. J'avouerai même que sa seconde notation ne comportant point de dénominateurs qui , dans l'impression , exigent une double ligne, me paroît préférable à sa dernière , semblable au fond à celles d'Euler et de Waring, dont elle ne diffère que par les accens qui tiennent 1% place des d^ dont le premier se servoit avec tous les Géomètres sortis de l'école de LéibnitZy et des poilus dont le second a fait usage , ainsi que tous les Géomètres Anglois* Voici un exemple de chacune de ces notations :
\dxHyf
C'est, je pense , un principe avoué de tout le monde ^ qu'il ne faut changer lea signes reçus que lorsqu'ils sont en contradiction manifeste avec les idées qu'ils doivent réprésenter , ou lorsqu'on peut les abréger', ou enfin lorsqu'en les modifiant on les rend propres à développer de nouveaux rapports qu'on n*auroit pas apperçus
" Cb. l. Di/ Calcul
s'obtient sans difficulté : on a premièrement
du h d^u A* d^u h^
dx I dx^ i.i dx^ I.1.3
et comme aj/, est ce que devient ax^ , lorsque x se change en .r+ A,
il s'ensuit
dLu h d^'^u A» ^f'Att A' Az^,=A«+— — ^+--7-r + -7-^ + etc.
dx I dx^ 1.2 rf:*:^ 1.1.3
d'où ^
. dàu h d^ù^u h^ J^Lu h? • ^«= -j +-7-: +-7-3 7 + etc.
dx I dx^ .1.2 ^JC^ 1.2.3
on trouvera de même
db.^u A d^ù.^u A»
A-'^^s + + etc.
dx I tfjf* 1.2
, dù^u h
A^u=: — 1- etc.
dx
etc.
sans cela. Les signes du Gilcul diflFérenHel ne sont dans ancun de ces cas : tout ce dont Lagrange a enrichi l'Analyse , dans sa Théorie des Fonctions et dans son traité De la Résolution des Equations numériques , peut être exprimé avec autant de simplicité que d'élégance par les caractères usités « Les deux premiers volumes de l'ouvrage que j'offre au public , en fournirolent la preuve s'il étoit nécessaire » et on la trouvera encore dans ce dernier , pour lequel j'ai profité avec empressement de plusieurs remarques importantes insérées dans les excellens écrits que je viens de citer. Il y a plus , f ai la persuasion que le Calcul des fonctions ne, sauroit atteindre à rien que le grand Géomètre , qui en est l'inventeur , ne puisse déduire du Gilcul différentiel , et j'ajouterai , en invoquant ici le témoignage de tous ceux qui , connoissant ce dernier Calcul , ont lu la Théorie des Foncdons , qu'ils n'ont pu s'empêcher de traduire ( au moins mentalement ) , dans les signes généralement adoptés, les résultats qu'il contient » pour s'en .faire une idée vraiment nette. On ne saurcnt d'ailleurs contester que le passage de l'Algèbre au Calcul différentiel , ce dernier étant présenté , comme l'a fait Lagrange dans les Mémoires de l'Académie de Berlin , pour l'année 1772, ou, comme je l'ai h\t d'après lui , ne soit aussi simple que le passage de l'Algèbre au Calcul des fonctions. Enfin , je crois qu'avant d'adopter de nouveaux signes , il faut penser à l'embarras qu'éprouve roient ceux qui étudient les mathématiques, d'avoir à rapprocher' sans cesse des formules et des opérations analogues rendues par des caractères différens ; et c'est la crainte de voir ouvrir cette nouvelle source de difficultés , qui m'a engagé à entrer dans des détails dont la longueur sera justifiée par l'influence que ne peut manquer d'exercer l'homme célèbre qui projette une révolution à cet égard.
i> E s Différences. 13
En effectuant les développemens successifs indiqués ci*dessus/ il
viendra ,
d^u A» - iPu h^ Su h^
A*u=z j 1 u etc.
dx* 1 dx^ 2 dx^ z,3
d'u h' d^u k^ + -7-3 +-T-7 + etc.
dx^ X dx^ i^z
+ ^7-1 + etc.
dx^ 2.3
Il scroît facile de trouver la loi que suivent les termes de cette expression , niais nous y parviendrons d'une manière plus générale , au moyen de l'analogie qui existe entre la différentiation des quantités et leur élévation aux puissances, analogie dont nous avons déjà fait ren^arquer quelques traits dans les n""'. 3l*39.
