On a vu ( Int. n**. 25 ) que

e*= 1 ^ \ + + etc.

et il suit de cette formule que

du .

li -duK du'' A* du^ A'

dx I dx^ I . dx^ 1.2.3

7x ^duh dt^ A* du*^ A*

dx i dx* 1.2 dx^ 2.3

Si maintenant on transporte les exposans des puissances de du

à la caractéristique d^ le second membre de l'équation précédente

deviendra

du h d^u A* d^u A'

dx I dx* 1.2 dx^ 1.2.3

et sera la même chose que àu\ on aura donc

du

pourvu que dans le développement du second membre on transporte à la caractéristique d les exposans des puissances de du.

14 C H. L D u Ca L C U L

D'après ce résukat Lagrange a remarqué le premier qu'on avbît

du ,

en général a"i< = \ « ^ — i / ,

en observant toujours de transporter à la caractéristique d les exposans des puissances dedu} et voici comment Laplace a démontré cette proposition.

II est évident par ce qui a été dit dans les n""* 860 et 863 ^ que , quelle que soit l'expression de A"i/, on doit avoir

d^u d*^*u z^"*"*tt

^> A^', etc. désignant des coefficiens qui ne dépendent que de n. Cette équation devant subsister pour toutes les formes que peut prendre la fonction u ^ conviendra néc^sairement au cas oîi i£=e' ; mais alors

du d^u (Pu

Substituant cette valeur d^ ûJ'u , dans le premier membre de l'équation

du d*u posée plus haut , et celles de -r- , -t— , etc. dans le second^ il viendra

dx d X

(«*— 1 )•= ii»+^Â"t' + ^A*+*+ etc.

d'oh il suit que les coeffi(!iens A\ A"^ etc. doivent être les mêmi^s que ceux du développement de (^— i )*, puisque l'accroissement A doit demeurer indéterminé ; il ne peut d'ailleurs exister aucune difficulté à regard des coefHciens différentiels de « ^ qui se déduisent tous des puissances de du par le changement indiqué dans . les exposans.

865. La même felation entre les puissances et les différences s^ retrouve dans les fonctions d'un nombre quelconque de variables , et pour la mettre hors de doute ^ il suffira de considérer le cas où u dépendroit en même tems de çc et de y. Si l'on conçoit que ces deux variables deviennent respectivement ^4-* ^^,y + *> 1^ fonç* tion u se changera en

i> Ë s Différences. 15

î ( du , ^^ A