P=^ L UL

ce qui nous donnera l'équation

de laquelle il résulte que la fonction^ ' =^ ne change point

lorsque x derieuf x'. f ^fo est tYïypotïést dans laquelle il faut intégrer Téquation (3) ^ qui répond alors à -^ == const^ tt donne

y:=:x'X const + ^ ( const) ; nous aurons donc

l /?*Jir— 2/y— AT J l />*JC-— 2/>y— v^ J V

La caractéristique f désignant une fonction arbitraire , donne à ce résultat une très-^railde généralité , mais au^sî on ne sauroit dans cet état l'intégrer par rapport aux différentielle^;

Il est intéressant de connoître ce qu'exprime la fonction

^ =- ^-^ i c est à quoi on parvient en la mettant sous la forme

p^x — %py — X

\x\'py/

y ****^ X et en observant que /^ = tang PTM , --r~ == tang AMT.

^ + py elle S« change alors M ^ tanfg {jtM T^PTM)^ et mOmre que la différence des angles AiiTet PTH^ né dtit pas varier dans le passage évt point M atf peint ifif, ce déat il est encore facile dé s'assurer

lU|lllCtlIBil>lll^*« L pit? tvy ■WliJMJWiUHMIlJ gVVtUvfVA«|MV9«

BtOf , dont liotts sutyons ià le laénoire , donne à la foncdcta f

Yyy »

Jijp ' C H. IV. P BS é q^U Â T^l 0 N S

plusieurs formes desquelles U résulte ^uccessivîement un cercle^ limite d'une infinité d'ellipses , et l'assemblage de deux droites , limite d'une infinité d'hyperboles : nous ne rapporterons «point les, calculs qui mènent à ces résultats y et dans4esquek îl ne s'agit que d'intégrer une équation différentielle du premier ordre ; nous ditons seulement

qu'il faut*V pour arriver au cercle , prênàfe V (^ — - — lJl\ = o >

et faire y pour obtenir l'dlipse et l'hyperbole^

Si on prend les limites des équations (3) et (5) dans la supposition oti X devient infini ^.y ^pttP demeurant finis , ce qui place le potnt'^ià une distance infinie de la courba (*)., on obtiendra

d*oii l'on conclura

— ^- ) == o • on aura seulement

y = ^^ , d'oii x^py = V^^y% ce qui revient à

— ■ ^ ^ -^ z=zdx, et donne V x^+ y^i=LX -f C Vx*+y*

Cette dernière équation appartient à une parabole.

L'équation -yf- — -— —2- — =^ o ^ nous apprend que toutes les

courbes qui résolvent ce cas de la quesâon proposée ^ ont , aux points M et JM^^ des tangentes parallèles ou perpendiculaires. En ' eifet y eu réduisant ses deux membres au même dénominateur , et passant tous les termes dans un seul , on lui donnera la forme

et l'on en tirera par conséquent p'p' +1 = 0,^ /— Z' = ^

(^) Oani ce cas du problêffie le rayon lomiocux vient parallèlement à Taxe AB.

AV X Différences mêlées. J41

1145. Les deux questions que nous venons de résoudre st Rapportent aux différences successives ; en voici une très^simple qui mène à une équation aux différences mêlées proprement dites.

Trouver Us courbes dans lesquelles la soutangente AT, fig. 3 y soit à Fig. 3: la sousecante AS^ dans un rapport constant ^ tn supposant que la seconde ordonnée k'V soit éloignée de la première AB d*une quantité AA' égaUâ h.

U est facile de voir que ce problème conduit à une équation de la

forme •^= ^ -r"*

dx h

Si Ton met dans cette équation , à la place de Ay ^ son développement en série , on aura l'équation différentielle d^un ordre indéfini ' * .dy d^y h iPy A*

^ dst dx^i dx^z.y '

à laquelle on satisfait en prenant y zmA ^^ pourvu que m soit déterminée par Téquation

. (4— i)»ï + tf h^ +ctc. = o;

S6h Ton conclut d'abord x« = o ^ puis

4—1 m h m^hf m^h^

+ + A + CtC.=sO. /

Si on désigne par m\ m^, m'\ etc. les valeurs données par cette dernière, il viendra

y:=^A +^^"'"+^V*+etc.

expression dans laquelle on pourra faire entrer autant de termes qu*on aura trouvé de valeurs distinctes pour m. On s'assurera par le retour des suites qu'il en existe au moins une réelle , dont on peut

obtenir le développement ordonné suivant les puissances de y

et Ton aura y pour résoudre la question proposée, l'équation

renfermant deux constantes arbitraires» ^

Feu Charles ( de l'Académie des Sciences } a transformé l'équation aux différences mêlées qui nous occupe , en une autre oit la variable Mtre comme exposant de diffi^rentiatipn ou d'intégration» Pour 7

54^ Ch. IV. Dr s è<iuatjons

parvenir , nous ferons - =^ , ce qui changera l'équation proposée m nous en tirerons succesâvcaent

etc.

Il est facUe de conclure de là et même de s'assurer ^ i priori , que

r.^j'+WW^^+WW^^ +WW*'^^

Le second membre de cette équation étant multiplié et divisé par c^^

son numérateur deviendra le développement de ^ — ^^-^ ^ et

l'on aura par conséquent

Si l'on avoit cherché les rakurs antécédentes i y cm correspon* llaatc* à des indice» négatifs , on aaroit eu

Ces résultats ne paroissent pas ptoprer à faire connoitre Téquation prîmitire de la courbe cherchée , mais ils conduisent à mte construction dticoninuei analogue à cette que nous avons donnée dans le sT. 1003 , pour tes éqoafkiM a«x dil^rencesw En tfkx ^ |

on 7 peoot firppoier jr=:t(«) 1 » désignant une fonciiofci arbt-

AV X Différences mêxees. 543

traire I pt déduire de cette fonction d'après la loi établie ^ les Taleurs des ordonnées y,^ y^^ y^^ etc. correspondantes aux abscisses jr4- A ^ x-^ih, ^+3^» ^c. Il est évident que cela revient à prendre sur la courbe représentée par Téquation yz=:^{x)^ une portion BB\ dans laquelle le rapport de ^T et ^«f soit conforme aux données. de la question ,' et à se servir des peints intermédiaires pour obtenir des portions de courbes antérieures et postérieures à la partie BB', en calculant les ordonnées de ces portions par le moyen de leurs différences avec celles de la portion BB^^ ainsi qu'on Ta indiqué dans le n^. cité. Si Ton vouloit rapporter les ordonnées j^. çt ^^ à leur; abscisses , il faudroit prendre pour première^ abscisse x-r-nhy et x+nh\ on auroit alors

J-^==-^r d:^ > y^n^-^rdx^9(.^ + nh). t bu *

1146. Le Calcul aux différences mêlées trouve aussi son applî- ^cation dans des recherches purement analytiques ; Français de Colmar a montré , dès Tan 5, l'usage qu'on peut en faire , pour arriver à l'expression immédiate d'une transformée quelconque de l'équation différeaiielle partielle

4udv du dv

traitée par la méthode du n*. 771 (*). En efict , pour peu qu'on ait réfléchi sur cette méthode , on voit bien qu'il doit entrer dans l'expression des coefEciens P^ , Q» 9 ^n 9 des différences ou des valeurs successives de l'indice n , avec des différentielles prises relativement aux variables x et y. Il faut se rappeler aussi que la détermination des fonctions arbitraires qui entrent d'une manière trans- \ cendante dans les intégrales des équations différentielles partielles ^ dépend d'une équation aux différences mêlées ( n"". 993 )•

(*) Le Mémoire oti se trouvent ces recherches m'a écé envoyé le i5 nîyâse an 6 , et î1 étoit connu d' Arbogast avant «e ten)s. Il en avoit eu des estais que \^l vus entre ses maîns en Tan i.

J44 Ch. IV. Des équATtom aux difv. mêlées.

Je terminerai ici la longue tâche que je me suis imposée ^ en observant que la durée de Timpresâon a été assez considérable pour que la science ait fait pendant cet intervalle des progrès que l'ignore ; qu'il a même été publié quelques ouvrages dont Textrsut n'a pu entrer à la place que )6 lui aurois assignée dans le corps du mien ^ s'ils m'eussent été connus à tems ; tels^ont : les Disquisieionu anafytica dt}A. Pfaff, qui contiennent des recherches très-étendues; sur la sommation des suites d'arcs de cercles dont les tangentes forment des progressions données et sur l'équation diffiirentieUe

traitée n"*. 644 , enfin sur le retour des suites ; l'Analyse des té* fractions de Kramp , et d'autres écrits dont on trouvera l'indication dans la table. Tavois annoncé aussi le dessein de traiter à part la Théorie algébrique des séries ricurrenus y mais ayant publié de« puis les principes de cette même Théorie^ dans le CompUmetu dis Elémcns iAlf^hrt à tusagt de C Ecole ^centrale des Quatre^Nations ^ l'ai cru pouvoir la supprimer ici, puisqu'on y suppléera parfaitement en ajoutant à ce que j'ai dit dans l'ouvrage cité , ce qu'on trouve dans celui-ci sur la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples n*\ 368-371 , et ce que contiennent les A""*, 1043 9 I044*