CHAPITRE IV

Des équations aux Différences mêlées.

tî u?*de"r*^I 1140.^ OU S avons montré suffisamment dans ce qui précède tions aox difië- que le Calcul différentiel et le Calcul aux différences pou voient rcncc$mê)écse, s'appliquer Tun à l'autre; mais nous n'avons considéré qu'isolément les questions où il s'agit de déterminer une fonction par la connoissance de ses relations avec ses coefficiens différentiels , ou avec ses différences» Pour compléter le tableau des^ divers points de vue y sous lesquels on peut être conduit à la recherche d'une fonction au moyen des circonstances que présentent les chan* gemens dont elle est susceptible , il nous reste à examiner le cas oii la condition qui doit la déterminer mène à une équation contenant en même tems des coefficiens différentiels et des dîffé- ' renées^ et que nous appellerons équation aux diffirmcts méUts^r Ce genre d'équations > dont Condorcet et La place se sont oc^ cupés les premiers , n'est pas une simple combinaison de formules analytiques» il répond dans la Théorie des courbes à des questions aussi difficiles que variées,. et quelques-unes de ces questions s'étoient déjà offertes aux Géomètres dès l'origine du Calcul différentiel et du Calcul intégraU

dy L'équation a— -^-h Ly^^cyss^m

est une des plus simples de celles qu'on peut se proposer entre les coefficiens différentiels et* les différences ; elle n'est que du premier degrér et du premier ordre , tant par rapport au coefficient différentiel , qu'à l'égard de la fonction et de la différence. Si Ton suppose A :r = I , on y pourra faire ^ = Ce"* : elle se changera en tf 01 + ^ ( e'^— i) + c = o; et toute détermination de m qni satisfera à cette, dernière équation , donnera une valeur de y renfermant une . constante arbitraire.

AUX Différences mêlées. 531

On satisferoit encore par la supposition de y^Ce"*^ à Téquation

d ày dy . ^

dx a Xi

qui difïère de la précédente pat le terme a -r^ , dans lequel les ca*

ractéristiques i et A se trouvent combinées ; on auroit dans l'hypothèse établie

et pour détermiaer m , on trouveroit l'équatîoa

A ne conrîderer que les équations qui déterminent m ^ on ne soupçonneroit pas que les deux équations aux différences mêlées ^ que nous venons de Rapporter , pussent ne pas admettre deux intégrales ile la même généralité ; mais si Ton* fait attention que la seconde contient des termes a&ctés en même tems des deux caractéristiques d et A 9 il sera facile de reconnoitre que tandis que la première peut être envisagée comme le résultat de l'élimination de deux cons* tantes arbitraires entre trois équations de la forme

r = o, dVzrio; ù.yz=:o ,.(i),

là seconde en suppose quatre de la forme

entre lesquelles on peut éliminer trois quantités.

Le dernier système d'équations offre aussi la possibilité d'éliminer entre les équations V=^o et Af^rso 9 une fonction arbitraire du genre de celles qui complètent les intégrales dès équations aux différences ( n\ 998 ) ; nommant f^zso le résultat , on aura encore à éliminer une constante entre les équations

r=o. ir=o .(j).

Les équations qui sont le produit de cette dernière génération ^ sont toujours telles qu'en y regardant A^ comme une nouvelle variable^ elles satisfont aux conditions relatives à Tintégrabilité des équa« ti ons diffêrentielles à trois variables^ et se distinguait par-là de celles

Xxx %

53^ Ch. -IV. Des àiiUATtoKS

qui résultent des équations (t) ou des équations (i)« En considérant les équations

jr=o, et Urzrzo (4);

^ans lesquelles J i^ représente une fonction différentielle quelconque

du premier ordre et à deux variables 9 on obtiendroit des équations aux différences mêlées qui pourroient être mises sous la forme d'équai

dy tîon aux différences contenant les trois variables :i: , ^ et — • Biot i

dans un Mémoire qu'il a présenté à llnstitut , et dont nous avons

tiré une grande partie de ce Chapitre ^ désigne sous le nom dV^iM-

tions aux différences successives celles que donnent les systèmes (3)

et (4) , parce qu'elles résultent immédiatement ou d'une différence

succédant à une différentiation » ou d'une différentiation effectuée

sur une différence.

1141. Toute équation aux diâSirences successives doit êtresusceptible de deux intégrations (fistinctes , l'une par rapport à la ca* raçtéristique A et l'autre par rapport à la cyactéristique di mais il n'est pas indifférent de commencer par la première ou par la seconde de ces intégrations. Lorsque celle d^^|ifférentielles peut s'ef« fectuer la première , le résultat que l'on obtient d'abord contient une constante arbitraire 9 et l'intégration aux différences introduit ensuite une fonction arbitraire; mais si l'on intègre d'abord par rapport aux différences , on sera souvent obligé de particulariser I la fonction arbitraire ^ pour effectuer l'intégration aux différentielles»

Soit pour exemple

i dx d» a\ dx/

Cette équation ne renfermant que les variables x^ttùf que nous représenterons par { , peut être considérée , sous la forme

à^ \ di^

comme une différentielle à deux variables ; elle rentre alors dans la classe de celles qui s'intègrent après une^ différentiation ( n% 573).

AUX Différences mêlées, 53)

On a ii=ax—-^a*f d'où il résulte

y = la(x^'-^x)-^^a*x+9(s\n'TXj coswat).

En commençant par considérer Téquation proposée comme une différence • on lui donnera la forme

dans laquelle /7 = -^ ; et pour l'intégrer , il sera commode d*en

prendre d'abord la différence ( V. 1009 ) ; on trouvera par cette méthode

ce qui donne les deux facteurs

aV = o, X — iii^p + A^p) = o:

en intégrant le premier , qui est le plus simple ^ on obtiendra àp^^a^ et de là pz=iax — ^a*.

Cette dernière équation est intégrable , mais elle ne le seroît plus en général , si l'on remplaçoit la constante a par la fonction ^{sin'jrx, cosrx)^ qui est aussi constante par rapport aux différences.

Il est à propos de . remarquer que le second facteur x — ii^^P + A*p) = o , est relatif à l'intégrale indirecte de l'équation aux .différences ( n*. 1 009 ).

Il n'est pas possible ^ dans l'état actuel de l'Analyse , de donner des procédés généraux pour l'intégration des équations aux différences mêlées ; nous nous bornerons à observer qu'on petit les transformer en équations différentielles d'un ordre indéfini i en y substi-

tuant au lieu de Ay et de a •— , les séries

dy h dy j^ dy Â»

dx i ds^i.% dx^ 1.1.3

d^y h éPy A*^ - +^r3

+ etc.

dx'

dx^ I • X

+ CtC

11 restera ensuite à satisfaire à ces dernières équations de la manière la plus générale y ce qui sera souvent très-difficile ( n"*. 999 )»

534 Ch. IV. De$ é q^u a t I 0 îf s

II 41. La détermination de 1 étendue des intégrales des diverses espèces d'équations aux différences mâiées ^ est susceptible de discussions très-délîcates , comme celle de l'étendue des intégrales des équations différentielles partielles , par rapport aux fonctions arbi«traires qui peuvent y entrer ( n*. 761 ) , et Ton y appliqueroit les considérations^ employées dans les n*'. 7^64 » 765 , 804.

On prouveroit par les considérations développées dans les n^. 1005 et 1006, que les équations aux différences mêlées ont aussi leurs intigfoUs indirectes , qui répondent aux solutions particulières des équations différentielles, et qui se déduisent également de l'intégrale dirccu par U variation de^ constantes arbitraires qu'elle contient , en assujettissant la fonction donnée par cette int^rale , à satis&ire encore , dans ce nouvel état , à féquation aux ^fférences mêlées. Cette condition établit entre les arbitraires des relations qui sont exprimées par une nouvelle équation aux différences mêlées. Lorsqu'on détermine les arbitraires par son moyen , on obtient une seconde équation primitive qui ^ satisfaisant à Féquation proposée , représente des courbes ayant à chaque point même tangente que queU qu'une de celles qui sont comprises dans l'intégrale proposée , et même sécante pour deux points dont les ordonnées sont éloignées d'une quan* tité égale à la différence de l'abscisse. Voilà ce qui arrive lorsque l'équation proposée ne renferme point les caractéristiques a et ^ appliquées l'une sur l'autre : si le contraire avoit lieu , l'intégrale directe et l'intégrale indirecte devroient s'accorder non-seulement dans les va-*

dy dy

Itatsiey^-^f ^y^ mais encore dans celles de a-j^; et alors ^ dx dx

en déterminant convenablement la constante arbitraire , il seroit possible de faire passer par deux points dont les ordonnées soient éloignées d'une quantité égale à la différence de l'abscisse^ deux courbes données , l'une par l'intégrale directe , l'autre par l'intégrale indirecte , qui auroient à chacun des points dont il s'agit même tangente y et entre ces deux points même sécante. Ces résultats étant très-analogues à ceux qu'on trouve dans les n'*'. cités ^ il n'a pas pam nécessaire de les exposer en détail.

jux Différences MÈLÈEi. 535^

1143. Cest principalement par la nature des questions géomé- ^^l^^'^!^f^^ triques qu'elles peuvent exprimer , que les équations aux différences féreoces mêlées, à mêlées doivent intéresser ceux qui cultivent les Mathématiques. La ^^^^^"^^^"^ première dfe ces questions est le problême des trajectoires réciproques qui a beaucoup occupé Jean BernouUi et Euler y qui l'ont résolu Tun et l'autre par des moyens fort ingénieux et fort élégans , mais indirects y quand on les compare à celui qui résulte de l'emploi des différences mêlées. Voici l'énoncé de ce problême*

Trouver une courbe M'C M , fig. 6 ^ uUe quen la faisant tourrur ^IG. 6. sur un de ses points , autour d*un axe donné AC , pour la placer dans une situation contraire à la première y comme on le voit en N'CN y et la faisant mouvoir ensuite paralliUment à elle-même le long de cet axe y elle coupe par^tout la première M'CM sous un angle donné.

Si le point C désigne celui sur lequel la courbe M' CM a to.nrné autour de l'axe ACy pour passer à une situation inverse N'CN y l'angle MCN sera double de l'angle M'CA » et sera d'ailleurs égal par l'hypothèse à l'angle MM O (*). Maintenant , menons par le point M l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AB ; l'angle OMP sera égal à QNPy à cause du parallélisme supposé dans le mouvement de la courbe N'CN; et parce que cette courbe est placée dans une situation contraire à celle de M CM, l'angle QNP doit être le même que l'angle ^'iH'P', formé par cette dernière et Tordonnée P^M', prise de l'autre côté àtACy à une distance A'P' égale à AP. Il suit de là que l'angle M'MOy composé de CMP et de OMP ou de QNP y est égal à CMP^^ Q'M'Fz telle est en dernière analyse la condition du problême , et c'est ainsi que l'envisageoit Jean Bernoullî.

Enfaisant^P=Ar, PM=yy AF=x\ P'M=y,V9n^eM'CM=ic,

on aura tang CMP = — > tang Q'M'F= — > } et posant pour abr^er ^ =/» , -j^ =/»', il viendra

angI.(tang = -) + angl.(taog=sî4-) = *« .

(^) Il £siut se rappeler que les angles formés par les courbes^ sont les mêmes qiae ceux de leurs tangentes.

f3^ C H* IV. Des i q;i/at i o n s

Voilà les équations de la question écrites en différences mêlées. Il £iut bien remarquer que la dernière équation exprime la loi de la variation de jc , et que chacune des équations ne doit pas avoir lieu par elle-même , mais seulement que Tune étant posée , l'autre en tst une suite nécessaire.

Ces équations sont faciles à intégrer : en effectuant d'abord , suivant le procédé du n*". 988 ^ l'int^rarion relative aux différences, on trouvera

angl^tang =±: ') = c + 5( — I )

S et t étant des fonctions arbitraires de sincr^ et de cos^ri. La variable { s'élimine facilement; en faisant — = C^ il vient

arc^tang = -^=c+C;r , ou - = tang { c+Cx) ,

d'où l'on conclut

ï I— -tangctàngCjkr

'^'^ tang(c + Cjf) tangc + tangC^ip On peut mettre cette valeur sous la forme

I -{^cosxc— -sin ictangCjc sin 2 i; 4- ( I + cos 2c) tang C4:

- tang Cx

Cùii^ i ) sinic

sirnc swacj i+cosic

I A : tangC:ir

smic

et en observant que la constante C doit être regardée comme un« fonction arbitraire , qui ne change point lorsque l'on y met —x, au

heu de a: , on fera — ■ . ■ > ■ tangCii:=-S:x, en désignant par Jl

simc

une fonction quelconque de x assujettie seulement à demeurer cons-

tante quand on passe de +x k — xt on aura ainsi

0 = COtli:+ - — ^) ïT" f 9

résultat

AUX :i\(iUA\T^r p ffj M Éi Jt È£ a, f J7 fésuhat semblable à c^ <iu'a trouyé Eukr pac, une vole tr^s-

difiereiite.

dy .

Si Pon y remet y-^ ^^ lî^u àt p^ on en tirera

1 ^, fi+X*l . sinxi:' Il — Xx)

Lorsqu'on prend X^=:0 $ on trouye d'abord la ligne droite 9 qui doit en effet satisfaire è la question prQpqsée ; posant ensuite Jir=:4;'% il Tient *

v=sjrcotic—

sin

ezpresûon qui ne dépend que de Fintégration de la fraction ra-

tionnelle —-3- — r-.

Bernottlli et Euler ne se sont pas bornés à résoudre généralement te problême des trajectoires réciproques , ils ont eu spécialement pour but de chercher parmi ces courbes celles ,qui pouvoient être algé» briques , et sous ce point de vue tous leurs travaux rentrent dans le Calcul intégral indiurmifU ( n^*. 531 et suiv« )•

1144. Parmi le nombre assez grand de questions qu'Euler a '

résolues sur ce sujets nous choisirons encore la suivante qui est peu connue.

Trouver tonus Us courbes telles qiien menant pat chacun de leurs points deux droites Â M , M M', fig. 7 ^ faisant 'le même angU avec 1^1^- 7la tangente TM , lapremîire étant dirigée à un point fixe A, la seconde terminée à la courbe en IM^ la ligne M'A fasse avec la tangenu M't U mime angle que MM' (f).

(*) Ceux qui connoîssent les loîz de la réflexion de It lumière , Terront que le njon parti dn pointyl , et dirigé suivant AM^ seroit réfléchi deux fois par la courbe cherchée, la première de M en M', la seconde de M tnA^ et retoumeroit par conséquent au point d'où il est émané» Ce problème a été proposé ^^Vi% les aeta emditomm , ann« 1745 ( en septembre }•

Jppeadiu. ^ , Y y y

538 C n. ly. D ES É Q^U A T îô If 3

Les conditions de ce problême soot Contenues dans les deux équations

angles JJf T= angle MMe^, angte^ iliV=anglc MM'T^ dont une doit donner fa loi des variations de x. Soit

JP=x, PM=y, AP^x^, FM^/, à:Lp ', ^^p\ ^=i^

dx dx Ax

en menant M' Q , parallèle à Taxe j4B^ Aesx^ et prolongeant MP jusqu'au point Q , on aiirà •• '^'' '

. ^ Ip. "

eç n'ayant point égard au signe de y qu^on peut supposer négatif dans la figure citée. Cela posé » si Ton observe que le» angles MM'Q^ MOT y MOT\ sont égaux , et que Ton considère les angles extérieurs des triangles OMT^ AMT , on trouvera

tang JVf'iWr =tang (P TjW + iM Ai'Q ) == .^î=^

. tang^iMr=tang(P^Af— PTiW)=^^ =^ /"" i

X ^^ la première condition à remplir donnera l'équation

La rektioades al^glès des triangles OW T et AMT conduit de même à

tangilfilf'r=— tangCPT'JM'-l-iWiW'Q) =a^ fJ-Tp ^ tang^JMY=^ tang ( i"^. Af + P'T'iM' ) = y-^-^P^SJ'

d'oh l'on conclut povr la seconde comlitioa

A V X D t FF é REMUES MÊLÉES. ÇJJ^

Tirons maintenant des équalions (i) et (i) , les valeurs de P; nous ' obtiendrons