lien d'un point mobile, sections par un plan. Une

courbe est plane i lorsque tous les points sont situés dans un même plan. Une courbe plane peut être engendrée par un point qui se meut dans un plan, suivant certaines conditions. Hais on peut encore obtenir une courbe plane en coupant une surface courbe quelconque par un plan.

81. Lorsqu'une courbe provient de la section d'une surface par un plan, elle possède des propriétés qui dépendent de la nature de la surface coupée.

Ainsi en coupant les surfaces projetées sur les figures 3, 5, 6 et 7, par des plans horizontaux, on obtiendra toujours pour sections des cercles , tandis que si l'on incline le plan coupant, les courbes de sections seront modifiées suivant l'inclinaison du plan et la nature de la surface coupée.

82. Courbes dn deuxième degré. Les plus remarquables des courbes planes sont les courbes du second degré (pi. 3), ainsi nommées, parce que toutes leurs propriétés peuvent être exprimées par une équation du second degré. Les courbes du second degré sont au nombre de trois, savoir : Y ellipse {fig. 1....6}, la parabole (fig. 7, 8 et 9), et Yhyperbole {fig. 10, 11 et 12).

83. Ellipse. L'ellipse est une courbe telle que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes pris dans son plan, et que Von nomme foyers, est une quantité constante.

On exprime ordinairement cette quantité par 2a. Soient (fig. 1) F et F' les deux foyers. Le point A, milieu de FF' se nomme % centre de l'ellipse; toute ligne droite passant par ce point est un diamètre partagé par le centre en deux parties égales. Le plus grand de tous les diamètres est celui qui contient les foyers ; on lui donne le nom de grand axe. Le plus petit, que l'on nomme pela axe, est toujours perpendiculaire au grand. Il est facile de voir que le grand axe est égal à 2a, car pour le point X, extrémiléde ce grand axe? on doitavoir, comme pour tout autre point de la courbe XF+XF'= 2a ,• mais comme XF = X'F', il en résulte X'F' + FX=2a, ou enfin XX'=2a. Les distances Fil, F'u, d'un point de la courbe aux foyers, se nomment rayons vecteurs, et la distance ku se nomme simplement rayon. On voit que dans l'ellipse tous les rayons ne sont pas QgftU*. Le phœ §*tad est AX, moitié do grand axe, et le plus petit rayon AY est la moitié du petit axe.

84. Le cercle est une ellipse dont les deux axes sont égaux et dans laquelle le centre et les foyers se confondent en un seul point. En combinant les propriétés du cercle avec celles de l'ellipse, on en déduit que si un cercle et une ellipse (fig. 2) ont un axe commun X'X, et que Von prenne sur cet axe une abscisse Ap, on aura toujours : l'ordonnée du cercle est à l'ordonnée correspondante de V ellipse comme le grand axe est au petit axe.

De là résultent plusieurs moyens de construire l'ellipse, lorsque l'on connaît les deux axes.

85. Construction de l'ellipse. De tous les moyens de construire les ellipses, le plus commode est celui que nous allons indiquer. Après avoir tracé les deux axes AXcsa, AY = 6 (fig. 3), on prend un morceau de carte que Ton taille bien droit en forme de petite règle; puis, après avoir marqué sur cette carte et à partir de l'extrémité o, deux grandeurs om = a, on =6, on la fait mouvoir de manière que le point m ne quitte pas l'axe AY, et que le point n ne quitte pas l'axe AX. Dans ce mouvement, le point o décrira l'ellipse, de sorte qu'il suffira de marquer avec un crayon un certain nombre des points successivement occupés par le point o. Cette manière de décrire l'ellipse résulte du principe énoncé (84) ; car si du point m, comme

centre avec un rayon mof on décrivait an cercle en prenant pour abscisse mp = A*, on pourrait considérer op comme l'ordonnée du cercle, et os comme celle de l'ellipse, d'où l'on aurait

op : os :: om: on :: a : 6.

86. On peut encore construire une ellipse lorsque l'on connaît un de ses axes et un point. Soit donné, par exemple, AX égal àla moitié du grand axe, et le point o appartenant à la courbe, on construira AY perpendiculaire sur AX. On prendra une ouverture de compas égale à AX, et du point o, comme centre, on décrira l'arc ce, dont l'intersection avec AY donnera le point m, puis traçant om, le point n sera déterminé, et la construction se fera comme précédemment

87. Gant», foyers, directrice. Une ellipse étant construite, on peut se proposer de retrouver son centre, ses axes et ses foyers. Pour cela (fig. 1), on mènera deux cordes parallèles t>t, pq, et la droite mn passant par les milieux de ces cordes sera un diamètre. Le milieu A de ce diamètre sera le centre de la courbe. Du point A, comme centre, ou décrira un cercle de manière à couper la courbe en quatre points qui seront toujours symétriquement placés; puis, abaissant du centre des perpendiculaires sur les cordes qui joignent oes points deux à deux, on aura les axes de l'ellipse. Enfin, du. point Y, comme centre, avec un rayon égal à la moitié du grand axe, on décrira un arc de cercle FftF', qui par son intersection avec le grand axe déterminera les deux foyers.

88. Diamètres conjugués. Lorsque deux diamètres XX', YY' (fig A ) sont tels que les tangentes aux extrémités de l'un d'eux sont parallèles à l'autre, on les nomme diamètres conjugués, et si on les prend pour axes des abscisses et ordonnées, on dit que l'ellipse est rapportée à ses diamètres conjugués.

89. Pour construire une ellipse, lorsque Von connaît ses diamètres conjugués, on pourra opérer de la manière suivante. Sur l'un d'eux, comme diamètre, on décrira la circonférence XmXW, et l'on construira le triangle AmY dont les éléments sont donnés ; puis, sur une ordonnée quelconque du cercle , on fera un triangle npq semblable et parallèle à mAY : le point q appar-

tiendra à l'ellipse. En recommençant, on obtiendra autant de points delà courbe que Ton voudra. Cette construction provient de ce que la propriété énoncée (84) convient aussi à l'ellipse construite sur ses diamètres conjugués. Si Ton voulait retrouver le grand axe, il suffirait de joindre le centre avec le milieu de Tare cX.

90. Tangentes et normales. Construire une tangente à l'ellipse far un point donné sur la courbe. Première méthode.

Le point m étant donné sur la courbe (/*</. 5), on décrira du point A, comme centre, avec un rayon AX' égale à la moitié du grand axe, l'arc de cercle X'n, qui coupera en n l'ordonnée passant par le point m; on construira (Géom.) la droite pn tangente à cet arc en nj et le point p, où cette tangente ira rencontrer le prolongement du diamètre XX' appartiendra à la droite pm, qui est la tangente demandée. Cette construction vient de ce que, si plusieurs ellipses ont un axe commun, et que par tous les points situés sur la même ordonnée on construise des tangentes, toutes ces lignes doivent concourir en un même point sur le prolongement de Taxe commun. Or le cercle pouvant être considéré comme une ellipse, la tangente au cercle détermine le point où doit aboutir celle de l'ellipse.

91. Deuxième méthode. Si en un point m" de la courbe on conçoit une tangente et les deux rayons vecteurs (83), la tangente fera des angles égaux avec ces deux droites, d'où résulte la construction suivante. Après avoir déterminé les foyers F, F", on construira les deux rayons vecteurs Fm", FW; on partagera l'angle Fm'F' en deux parties égales , et la ligne qm"9 perpendiculaire à la bissectrice, sera la tangente.

92. La droite km" perpendiculaire sur la tangente est ce que l'on nomme une normale.

93. Construire une tangente à l'ellipse parallèlement à une droite donnée. Soit os la droite donnée. On mènera d'abord une corde cX parallèle à la droite os, puis le rayon km' passant par le milieu de la corde cX déterminera le point de tangence, et par conséquent la tangente, qu'il sera facile de construire, puisque sa direction est donnée.