Pour construire la section d'une surface courbe par tin

plan , il suffit do construire la suite des points suivant lesquels le plan donné coupe un système de lignes tracées sur la surface. 11 n'y a plus, dans chaque cas particulier, qu'à choisir les lignes les plus simples. Ainsi, par exemple, pour obtenir la courbe qui provient de la section du cône circulaire projeté (fig. 3), par le plan pa'p, perpendiculaire au plan vertical de projections, on établira sur la surface du cône un certain nombre de génératrices, et la courbe de section devra contenir tous les points suivant lesquels ces lignes sont coupées par le plan donné.

Pour construire la projection horizontale de cette courbe , on abaissera des perpendiculaires à la ligne AZ , par chacun des points suivant lesquels la trace verticale du plan donné coupe les projections verticales des génératrices du cône. On peut vérifier les projections de ces points en les faisant tourner autour de la verticale projetante du sommet, jusqu'à ce qu'ils soient arrivés dans le plan 8 — 4 , parallèle au plan vertical de projections. Ainsi, le point uu' rabattu en u", sera projeté de là en v!n sur la droite s — 8, d'où on le ramènera en u. La courbe 8" — 4" est la section que l'on a rabattue, en la faisant tourner autour de l'horizontale projetante du point c\

70 La figure ô contient les deux projections de la courbe qui résulte de la section d'un cylindre circulaire, par le plan dp, perpendiculaire au plan vertical de projection. Par suite de la disposition adoptée pour celte épure, le plan donné et le cylindre sont les deux surfaces projetantes de la courbe demandée, qui a la droite 2'— 6' pour l'une de ses projections, et pour seconde projection la circonférence 2— 4— 6— 8. La courbe 2" — 4"— 6" — 8'' est la section que Ton a rabattue dans sa véritable grandeur, en la faisant tourner autour de l'horizontale projetante du point a'.

71. Sur la figure 6, on a projeté et rabattu la section d'un ellipsoïde de révolution par le plan/). Cette courbe est facilement déterminée en projetant les points suivant lesquels le plan p coupe les cercles horizontaux et parallèles de la surface. Enfin la figure 7 contient la section de la sphère par le plan vertical p. Cette courbe est un cercle dont on évite presque toujours la projection par un rabattement.

72. Problème. Trouver les points suivant lesquels une W~ gne droite perce la surface d'un corps. Pour trouver l'intersection d'uae surface donnée par une ligne quelconque, il faut faire passer par cette ligne une surface auxiliaire qui contiendra par conséquent les points demandés. Ces points devant appartenir à la surface donnée, sont nécessairement situés sur l'intersection des deux surfaces, et sur la ligne donnée. La question étant ainsi résolue d'une manière générale , il n'y a plus qu'à choisir, pour chaque cas particulier, la surface auxiliaire la plus commode. On emploie souvent, comme surface auxiliaire, Tune des deux surfaces projetantes de la ligne donnée.

73. Ainsi, par exemple, si l'on veut obtenir les points suivant lesquels la surface du tétraèdre projeté ( fig. 1 ) est percée par la droite aa'y on concevra, par cette droite, le plan projetant dp, perpendiculaire au plan vertical de projection. On construira le quadrilatère vuzo, provenant de la section du tétraèdre donné par le plan coupant c'p, et les points (x9xf) (n,wf) seront les projections des intersections demandées.

Au lieu de construire la projection horizontale du polygone vuzo , provenant de la section du polyèdre donné par le plan auxiliaire c'p, on préfère souvent rabattre ce plan , et construire le polygone rabattu v"u"z'Jo". Dans ce cas, il faut aussi rabattre la droite dennée. Or, cette droite étant suffisamment prolongée, rencontre la charnière du rabattement en un point s qui ne doit pas changer de place , et par conséquent , si l'on fait tourner un autre quelconque dé ses points (e,d) , par exemple , jusqu'à ce qu'il soit projeté en e" , la droite donnée , rabattue en sd1, rencontrera la quadrilatère v' 't* W en deux points x" et n", qui , ramenés dans le plan c'p' et de là dans le plan c'p, donneront les points (£,#0 (n,ri) pour les projections des intersections demandées. Si le point s ne se trouvait pas sur l'épure, ou rabattrait un autre point quelconque de la droite donnée.

jDéretoppe*ne»$*.

74. Problème. Construire le développement de la surface d'un corps. Pour exécuter un corps quelconque , il faut tracer

sur la pierre , le bois ou le métal dont ce corps doit être composé, toutes les lignes qui doivent diriger le travail de l'ouvrier. Ces lignes se déduisent de leurs projections, par des rabattements si elles sont planes, et par des développements si elles font partie de surfaces courbes. Quelques-uns de ces développements peuvent être construits d'une manière rigoureuse ; d'autres ne peuvent être obtenus que par approximation , parce toutes les surfaces ne sont pas développables.

75* On dit , en général , qu'une surface est dèveloppable, lorsque cette surface peut être étendue tout entière sur un plan sans qu'aucune de ses parties soit déchirée ni doublée. Il résulte évidemment de là que les surfaces de tous les polyèdres pourront se développer ; car il sera toujours possible de construire toutes les faces à côté les unes des autres et dans leurs véritables grandeurs.

76. Si Ton voulait, par exemple, développer la surface du tétraèdre projeté (/Sgf. 1)* on chercherait la véritable grandeur de chacune des arêtes (37) , et l'on pourrait alors construire les quatre faces triangulaires du solide. Si quelques-unes des faces du polyèdre donné étaient quadrangulaïres ou pentagonales* on les décomposerait en triangles dont on chercherait les côtés, et que l'on construirait ensuite pour recomposer toutes les faces dont l'ensemble formerait le développement du solide.

77» Lorsqu'il y a dans le polyèdre que l'on veut développer quelques relations de régularité ou de symétrie, on doit en profiter pour donner plus d'exaotitude au résultat. Supposons , par exemple , que l'on veut développer la surface d'un prisme pentagonal {fig. 2). On projettera ce corps sur un plan parallèle à ses arêtes , afin de ne pas être forcé de rabattre toutes ces lignes pour obtenir leurs véritables longueurs. Le plan pa'py perpendiculaire à la direction du prisme , contiendra la section droite dont la projection verticale sefa a'— 3'.

Il serait facile de construire la projection horizontale de ce polygone , en abaissant des perpendiculaires par tous les points suivant lesquels la trace verticale du plan a'p est rencontrée par les projections verticales des génératrices du prisme. Mais cette projection horizontale de la section droite serait tout à fait inutile

pour le but que nous proposons ici. Ce qui est beaucoup plus essentiel, c'est d'obtenir la section a'— y dans sa véritable grandeur. Pour y parvenir, on fera mouvoir le plan pa'p, parallèlement à lui-même , jusqu'à ce qu'il soit parvenu dans la position pt'c^p" * puis on lô fera tourner autour de sa trace horizontale, ce qui donnera le polygone d" — 1—2 — 3 — 4, rabattu sur le plan horizontal de projection. On aurait pu rabattre le plan de section droite, sans le faire avancer jusqu'à ce qu'il soit arrivé en d'$ mais cela aurait embarrassé l'épure, et c'est ce ce qu'il faut toujours éviter.

La véritable grandeur de la section droite étant obtenue, on portera tous ses côtés à la suite les uns des autres, et autant que possible, dans le prolongement de la trace verticale du plan pa'p, ce qui donnera la droite a,rûy pour la section droite rectifiée. Enfin, par les points a", 1",2*,3",4" et af où tracera des droites parallèles et égales aux arêtes du prisme, et l'on aura le développement de la surface latérale. Sur la figure 2 , on n'a conservé que le développement de la partie de surface comprise entre la base inférieure du prisme et la section, par un plan]?'" perpeûdi* culaire au plan vertical de projection. Pour plus d'ordre, on fera bien de numéroter les arêtes sdr toutes les projections , ainsi que sur le développement du prisme*

78. Pour appliquer le principe qui précède au développement de la surface convexe du cylindre, il suffit de considérer ce corps comme un prisme qni aurait un très-grand nombre de faces. Cette hypothèse n'est pas rigoureusement exacte, mais elle suffit presque toujours dans la pratique. On peut d'ailleurs s'approcher autant que l'on veut de l'exactitude absolue, en traçant un plus grand nombre de génératrices sur les parties de la surface dont la courbure est plus prononcée. Enfin, quand la section droite est un cercle; ce qui est le cas le plus' fréquent, on peut mesurer le rayon avec beaucoup de soin , et prendre une longueur égale à 2tcR pour le développement de la circonférence , après quoi , on établit sur cette ligne rectifiée , les point par lesquels on veut faire passer les génératrices nécessaires pour la solution du problème. La figure 4 est le développement du cylindre projeté figure 5, la ligne 8'"— 4rv— 8r" est la section

droite rectifiée; enfin, la courbe 8IT— 4"— 8IY est le développement de la section du cylindre par le plan a'p perpendiculaire au plan vertical de projection.

79. Pour développer la surface d'un cône circulaire ou de révolution (/Sgr. 3), on peut opérer de la manière suivante. Supposons que la base du cône projeté soit partagée en un grand nombre de parties égales , si l'on conçoit une génératrice par chacun des points de division de cette ligne, la surface convexe du cône se composera d'une suite de triangles isocèles égaux entre eux. Tous ces triangles, placés à côté les uns des autres, formeront évidemment un secteur de cercle *' — 8"' — 4'" — 8r" et la seule condition nécessaire pour que ce secteur, représente le développement du cône, c'est que l'arc 8'" — 4"' — 8'" soit égal à la circonférence du cercle 2—4 — 6 — 8.

Or, si nous exprimons l'angle 8"' — *' — 8"' par x, l'arc 8"' — 4'" — 8"' psr y, le côté sf— 8"' par R, et le rayons— 8 par r, nous aurons la proportion

d'où a?x2*R=360y,

mais on doit avoir y = 2rcr .

Multipliant et réduisant, on obtient

R# = 360r, d'où a?=— — .

Ce qui donne l'angle du secteur.

Supposons, par exemple, que l'on ait R= lm,5etr=0m,4

la formule précédente donnera :

x = — = 24 x 4 = 96 degrés.

Ainsi, en décrivant un secteur de 96 degrés, avec un rayon de 15 décimètres, on aura le développement d'un cône dont le rayon de la base serait 0m,4 et le côté lm,5.

La courbe 8'— £IV — 8IV,est le développement de la section du cône par le plan pa'p. Pour construire celte ligne, on a fait tourner toutes les génératrices autour de la verticale projetante

du sommet. Par ce mouvement, chaque point de la courbe est venu se placer sur la génératrice s' — 8"', d'où on Ta fait arriver sur la génératrice correspondante du développement, en lui faisant parcourir un arc de cercle décrit du point «* comme centre.