Pour obtenir les arêtes de la courbe , il suffira

PL 41-B PÉNÉTRATIONS. 3»i

d'appliquer quatre foi» le principe énoncé au n* 229 de l'introduction ; mais daps le cas actuel , l'application de ce principe sera très-simple , ce qui provient çurtout de ce que le sommet SS' des deux cène? est situé sur la verticale qui contient le centre de la sphère ; de sorte qu'en faisant tourner les plans projetants verticaux des génératrices des cônes autour de cette verticale , les grands cercles suivant lesquels ces plans coupent la sphère se rabattront tous sur le méridien principal.

832. Ainsi , par exemple , si Pon veut avoir les points suivant lesquels la génératrice Su, Su' du cône intérieur perce les surfaces des deux sphères concentriques, on pourra opérer de la manière suivante :

1° La génératrice sur laquelle on veut obtenir deux points étant donnée par sa projection verticale SV , on rabattra v! en w" (fig. 8) , et la projection horizontale u sera déterminée par la rencontre de la droite u"u parallèle a A'Z' avec la perpendiculaire u'u abaissée de u'.

$° Les deux projections u,uf étant connues , on concevra le plan vertical P qui contient la génératrice Su, SV, et Ton fera tourner ce plan autour de la verticale SO,S'0', jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan vertical P,

3° Par suite de ce mouvement, la génératrice Su,SV vient se rabattre en SV" (fig. 4), et les points n'" et m'" suivant lesquels cette droite ainsi rabattue coupe les méridiens des deux sphères concentriques , appartiennent aux arêtes intérieures de la pièce de bois que Ton veut tailler. 4° Lés points n"' et ro'" étant obtenus sur la génératrice rabattue SV", on les projettera sur la trace horizontale CC" du plan P4 d'où on les fera revenir sur la généra^ trice Su , en les faisant tourner une seconde fois autour de la verticale SO,S'0\

393 PÉNÉTRATIONS. PL. 41HB-

5° Les arcs de cercles décrits dans ce deuxième mouvement par les points demandés , se projetteront sur le plan vertical A'Z' par les droites horizontales ni"m! et n'V , et sur le plan horizontal (fig. 5) par des arcs de cercles décrits du point S comme centre.

6° Si Ton a bien opéré , les droites m'm et n'n doivent être perpendiculaires à la ligne A'Z'.

833. Pour ne pas embarrasser l'épure , on n'a conservé que les opérations nécessaires pour obtenir les points qui sont situés sur la génératrice Su,SV du cône intérieur, mais il est évident qu'en opérant de la même manière on obtiendra deux points sur chacune des génératrices des deux cônes.

834. Lorsque les quatre arêtes de la pièce courbe seront déterminées , on choisira la place des assemblages , et Ton déterminera les faces de joints.

Supposons , par exemple , que l'on veut construire la courbe en quatre parties désignées sur la fig. 5 par M,N,V,U.

Chacune de ces parties sera comprise dans l'un des quatre angles dièdres formés (fig. 8) par les deux plans P, et P, qui se coupent à angles droits , suivant l'axe commun des deux cônes.

Les faces d'assemblages sont indiquées , sur les fig, 4 et 5 , par des teintes de points.

835. Pour construire les différentes parties de la lunette., on pourra opérer de plusieurs manières.

836. Première méthode. Lapartie de courbe désignée par la lettre M sur les fig. 5 et 4, peut être déduite d'un prisme

qui aurait pour base le trapèze aida! al (fig. 4) , et pour longueur la droite horizontale xx de la fig. 5.

Les faces dd%oioi du prisme enveloppant (fig. 4) étant perpendiculaires sur. Taxe commun SC,S'C des deux cônes , couperont ces deux surfaces suivant des arcs de cercles. .

Ces faces ont été projetées sur le plan A" A'", et rabattues de là sur le plan horizontal A'"Z'" (fig. 2) en tournant autour de l'horizontale projetante du point A".

Ainsi , on appliquera le rectangle a"' — a!" de la fig. 2 ' sur la face a' a' du prismeprojeté fig. 4 et le rectangles/" — x'n de la fig. 2 sur la face x'x' de la fig. 4. Les arcs de cercle compris dans chacun des rectangles a!" — a"', a/" — xm fig. 2 seront les directrices des faces coniques de la pièce que Ton Teut tailler.

837. Lorsque le morceau de bois sera débillardé, c'està-dire lorsque l'on aura taillé les deux surfaces coniques, on y appliquera les parties correspondantes des développements de la fig. 1 .

Pour ménager la platce , ces deux figures sont superposées , et ne contiennent chacune que la moitié du cône correspondant ; ce qui suffît à cause de la symétrie, qui permet de les retourner lorsque l'on aura tracé la première moitié de la lunette.

Ces développements ont été construits par le principe énoncé au n° 79 de l'introduction. Chaque point, en tournant autour de Taxe commun des deux cônes , a été rabattu sur Tune des droites S'B ou S'D , puis , de là , sur la génératrice correspondante du développement (fig. 1) par un arc de cercle décrit du point S' comme centre. L'opération n'a été conservée que pour quelques points.

3W RÉNÉTRATIQM8. IU..41-B

838. Lorsque le» courbes tracées sur les développement* de la fig. 1 auront été reportées sur les faces débilltrdées du morceau de bois , on taillera successivement les deux faces sphéricjues en présentant sur le bois Tune ou l'autre de? deux cerces K et H découpées chacune suivant la courbure d'un grand cercle de la sphère correspondante. 11 suffira de maintenir à vue d'oeil le plan de chaque cerce perpendiculaire à la surface de la sphère que l'on voudra tailler, et de faire passer la courbe génératrice par les points de repères déterminés sur les courbes directrices par les plans qui contiennent Taxe commun des deux cônes. Ces points de repères seront pour cela marqués sur les courbes de là fig. 1 par des numéros correspondants.

On pourra opérer de la même manière pour tailler la partie de courbe désignée par la lettre N sur les fig. 5 et 4.

Cette pièce sera déduite du prisme qui aurait pour base ou pour section droite le trapèze cWV (/5g. 4), et pour longueur la droite horizontale ce de la fig. 5.

Les faces «V ,*V projetées sur le plan A" A"' et rabattues sur le plan horizontal A'"Z'" fig. S, contiennent les arcs de cercles qui, tracés sur les plans a' a! et sY de la fig. 4, détermineront les surfaces coniques sur lesquelles on appliquera les parties correspondantes des développements fig- 1.

839. Deuxième méthode. La méthode précédente exigerait trop de bois si l'on voulait l'appliquer à la taille delà partie de courbe désignée par la lettre V sur les fig . 5 et 4 ; on trouverait difficilement un morceau de bois assez épais s'il fallait que deux de ses faces fussent perpendiculaires à l'axe commun des cônes.

Dans ce cas , on pourra déduire cette pièce d'un parallélipipède qui aurait pour face le rectangle oVtfV, fig- 4, et pour épaisseur la distance oo ou in? des deux plans.ver-

ticanx entre lesquels est comprise la projection horizontale 4e la pièce demandée.

'Alors , il faudra déterminer et rabattre les ellipses D\B' et D",B" suivant lesquelles les faces o'o' et v'v' du prisme enveloppant, fig. 4 , seront traversées par les surfaces des deux cônes D et B.

Ces courbes, appliquées sur les faces oV et xfxf du parallélipipède enveloppe, serviront de directrices pour le débillajrdement , et lorsque les surfaces coniques seront taillées , on y appliquera les parties correspondantes des développements fig. 1, et l'on agira pour le reste comme dans tous les exemples qui précèdent.

840. Troisième méthode. S'il s'agissait de construire la partie de courbe L comprise dans l'angle dièdre GC'Q formé par les plans P< et P4 de la fig. 8, il faudrait opérer de la manière suivante :

1° On remarquera que les génératrices S— 1 et S — 2 du cône intérieur sont dans un même plan, puisqu'elles se coupent au sommet commun SS' des deux cônes ;

2° On déterminera la trace horizontale q de la génératrice S — 1 , et la (race horizontale g de la génératrice S — 2 .

3° La droite qg qui contient lès deux points que nous venons de déterminer sera la trace horizontale du plan qui contient les deux génératrices S — 1 et S— 2.

On pourra vérifier la direction de cette trace enjoignant le point 2 de la fig. 5 avec le point 6, suivant lequel la génératrice S' — 1 fig* 4 est coupée par le plan horizontal P8

4° On prendra un plan auxiliaire de projection AIVZIV vertical et perpendiculaire à la trace horizontale gq du plan qui contient les génératrices S — 1 et S — 2 ;

5° La nouvelle projection que l'on obtiendra, fig. 7, se

construira en traçant une perpendiculaire à AWZ1T par chacun des points de la projection horizontale fig. 5, et portant sur cette perpendiculaire à partir de ÀITZ" la hauteur du point correspondant au-dessus de A'Z';

6° On remarquera que les points 2,4,1,3 sont projetés en ligne droite sur la fig. 7, ce qui provient de ce que le nouveau plan de projection A"ZIT est perpendiculaire au plan Pê des deux génératrices S — 1 et S — 2 ;

7° On pourra remarquer aussi que, par les mêmes raisons , la nouvelle trace 2— Z' de ce plan doit passer par le point SIT qui est la projection sur le plan A*Z,T du sommet commun des deux cônes.

On obtiendra cette projection S" en faisant SITXIV égale à S'O'.

8° Lorsque la projection, fig. 7, sera complète et vérifiée , on rabattra le plan P6 autour de sa nouvelle trace verticale Z' — 2 et Ton construira , fig. 6, la projection de la pièce dont ilws'agit sur ce nouveau plan.

Cette projection s'obtiendra en traçant 1ine perpendiculaire à la droite Z' — 2, par chacun des points de la fig. 7, et portant sur cette perpendiculaire à partir de Z' — 2 la distance du point correspondant à la droite A^Z" fig. 5.

9* Lorsque les deux projections, fig. 7 et 6, seront terminées , on pourra préparer un morceau de bois compris entre les quatre plans projetants du rectangle eerr, fig. 6, et le plan P7 tangent au cône extérieur et perpendiculaire au plan A^Z" de la projection fig. 7.

Les sections D",B"' et DIT,BW des deux cônes par les faces ee,rr du solide ainsi déterminé, seront les directrices du débillar dément .

Pour construire ces courbes, on projettera le sommet SSr des deux cônes sur le plan P6 rabattu.

PL. 4 i— B- COURBE RAMPANTE. 397

^ Cette projection S' s'obtiendra en faisant ST — SIT de la fig. 6 égale à SXIT de la fig. 5.

Les points de section des deux cônes par le plan projetant de ee, fig. 6, seront projetés, fig. 7, sur les génératrices correspondantes , puis rabattus , fig. 6 , autour de la droite ee en prenant sur la fig. 7 leur distance à la droite Z' — 2, ainsi on obtiendra le point $w delà fig. 6, en faisant la distance syC égale à la distance $,T*IT de la fig. 7.

11 est évident que l'on peut remplacer le plan PT par un plan P8 parallèle à P6 et dans ce cas le parallélipipède enveloppe sera rectangulaire; c'est donc comme étude et comme recherche du solide minimum que j'ai indiqué la méthode précédente.

841. Les exemples que nous venons d'étudier suffisent pour faire comprendre comment on peut tailler toute espèce de pièce à double courbure, et par conséquent toutes lès courbes arétières, quelles que soient les surfaces extérieure ou intérieure des combles dont elles forment les pénétrations.