CHAPITRE III
842. Les principes que nous avons exposé dans les deux, chapitres qui précèdent, sont appliqués à chaque instant pour l'exécution des pièces courbes qui entrent dans la construction des escaliers. Ainsi, par exemple,
843. La planche 42. aura pour objet le6 détails nécessaires à l'exécution de Tune des pièces qui composeraient la courbe rampante représentée par la fig. 15 de la PI. 7 (Introduction).
844. La pièce. courbe dont il s'agit et dont une partie est projetée sur la fig. 1 , peut être considérée comme engendrée par le rectangle vertical A, que Ton ferait mouvoir de manière que chacun de ses angles 8, 9, 10, 11, décrirait une hélice (149, Introduction). Ces quatre hélices, de même pas, seraient situées sur les surfaces de deux cylindres concentriques ayant pour rayons les droites O—o et O— a (fig. 2).
Il résulte de là que les surfaces courbes de la pièce dont il s'agit, sont au nombre de quatre , savoir : les deux cylindres verticaux engendrés par le mouvement des côtés 8 — 9 et 10 — 11 du rectangle générateur, et les deux surfaces hélicoïdes engendrées par les côtés horizontaux 9 — 10 et 8—11.
845. Lorsque les hélices qui forment les arêtes de la pièce demandée sont presque horizontales comme on le voit sur la fig. 6, on peut déduire cette pièce de la courbe plane dont nous avons déjà parlé au ri° 310.
Les surfaces courbes de la pièce seront déterminées par la projection horizontale de la courbe hélicoïde que Ton veut tailler; c'est-à-dire que les arcs de cercle ou seront j égaux à la trace ou section droite du cylindre engendré par le côté extérieur 8 — 9 du rectangle générateur À (fig. 1), tandis que les deux arcs de cercle ac seront égaux à la trace du cylindre intérieur.
PL. 4#* COUHBE RAMPANTE. â0»
La hauteur aa (fig. 6) devra étte égale à là différence des hauteurs des points Ml et n.
La courbe plané étatit taillée , on tracera les génératrices des surfaces tylitidriqùes intérieure et extérieure , et l'on dételminerei sur ces lignes lés hauteurs des points 1 — 1, 2—2, 3 — 3, etc., qui doivent déterminer les différentes positions de la règle génératrice des surfaces réglées engendrées parles côtés 9 — 10 et 8 - 11 du rectangle A (fig. 1) ; puis , en abattant le bois comme on le voit (fig. 4), il sera facile de tailler ces deux surfaces.
646. Lorsque les hélices qui forment les arêtes de la pièce demandée seront presque verticales comme celles de la fig. 7, et que Ton pourra se procurer un arbre capable de contenir le plus grand des deux cylindres concentriques entre lesquels la pièce doit être comprise , on pourra commencer par tailler ces deux surfaces au moyen de leurs sections droites ou directrices mcnf vou ; et lorsque ces deux surfaces seront taillées , on, y tracera les génératrices sur lesquelles on établira comme précédemment les points de repère 1 — 1—1, 2—2—2.
Ce qui déterminera les différentes positions de la règle génératrice des deux surfaces réglées hélicoïdes.
84*7. Les méthodes que nous venons d'indiquer pour la taille d'une courbe rampante hélicoïde ne peuvent être employées, comme nous l'avons déjà dit, que dans le cas où les hélices seraient presque horizontales, comme sur la fig. G, ou presque verticales , comme on le voit (fig . 7).
Mais si la pièce que l'on veut tailler devait être inclinée suivant un angle peu différent de 45°, comme cela est in-
diqué sur la fig. 18 , les méthodes précédentes ne conviendraient plus par les motifs suivants.
1° Il serait presque toujours impossible de trouver un arbre qui eût un diamètre assez' grand pour que l'on pût en déduire la courbe plane vuac vuac, dont Taféte vu doit coïncider avec la section droite du cylindre extérieur. *
2° Le déchet qui est suffisamment indiqué sur la fig. 18 par les parties A et B serait considérable.
3° Enfin, et cette troisième raison que nous avons déjà énoncée bien des fois, c'est que la force de la pièce serait considérablement diminuée par le peu de longueur des fibres, qui seraient horizontales dans le cas où Ton emploierait la méthode indiquée sur la fig. 6, et verticales si Ton opérait comme sur la fig. 7.
848. Or si Ton peut en quelque sorte faire abstraction de la force d'une pièce qui forme l'arête de pénétration de deux combles, il n'en est pas de même lorsqu'il s'agit des pièces importantes qni entrent dans la composition des escaliers, et dans ce cas , il faut nécessairement employer des méthodes qui permettent de déduire la pièce que Ton veut tailler {fig. 18) d'un arbre ou d'une pièce équarrie, inclinée comme la courbe que l'on veut en déduire. De sorte que les fibres de la pièce droite primitive étant, autant que possible , parallèles à la plus grande dimension de la pièce courbe, il en résultera que ces fibres, conservant plus de longueur, auront entre elles une plus grande adhérence, et la pièce obtenue sera d'autant plus forte.
849. Avant de commencer l'épure principale, je rappellerai quelques-unes des opérations nécessaires pour
déterminer les projections des hélices qui doivent former les arêtes de la pièce demandée.
850. Soient (fig. 2), les traces horizontales des deux cylindres circulaires et concentriques , entre lesquels se trouve comprise la courbe rampante hélicoïde engendrée parle rectangle vertical A (fig. 1).
On construira les projections verticales de toutes les hélices en opérant comme nous l'avons dit aux n°° 178 et 182 de l'introduction.
Toutes ces hélices ont le même pas qui est égal à deux fois la hauteur du point 8 au-dessus de l'horizontale du point 0.
Cette hauteur étant partagée en huit parties égales , on tracera ],es, horizontales correspondantes , et l'on déterminera les hélices engendrées par les points 8 et 1 1 du rectangle A en employant la méthode du n° 178 , tandis que les hélices engendrées parles points 9 et 10 seront déterminées en opérant comme nous l'avons dit au n° 182.
851. Section droite. Le point m', milieu delà distance verticale 12—4 (fig. l)et le point m, milieu de l'horizontale c — 4 , sont les deux projections d'un point appartenant à l'hélice parcourue par le centre du rectangle générateur A. *
Cette courbe , projetée sur le plan horizontal par le demi-cercle xmz, se nomme hélice moyenne; or, si l'on fait la verticale nid égale à quatre fois la huitième partie de la distance qui existe entre les horizontales des points 0 et 8 , et que l'on porte sur l'horizontale id quatre fois la
huitième partie de la demi -circonférence xmz, l'hypoténuse tni sera la tangente au point mm' de l'hélice moyenne, dont il n'est pas nécessaire de construire la projection verticale ( 183 infrod. ).
Le plan pq, perpendiculaire à k tangcntç J'mVsera p&i; conséquent perpendiculaire à l'hélice du point mm', et la section de la pièce de bois par le plan pq sera très-près d'être perpendiculaire sur chacune des quatre arêtes hélicoïdes engendrées parles sommets- du quadrilatère A» t
852. Si l'on voulait obtenir la section perpendiculaire à; l'une » quelconque i de ces quatre hélices | ht celle par exemple qui* est engendrée par le >poin*«9: ahi (quadrilatère A, on construirait par le point 12 une tangente à cette hélice , et le plan perpendiculaire à cette tangente satisferai* £la éotodititm détatodé#; teàis^e ptaii €ou£eriflt àldtt les hélice» dès pbinti 10 j » et- 1 1 sUMdut / %*ivant des angles d'autant plus aigus que ces hélices seraient plus éloignées du point par lequel on aurait fait passer le plan coupant, et l'on conçoit par dohséqtiettt JkJtirqiïéir il est convenable , si Ton veut éviter les aàgléé titôp aigus sur les arêtes, de couper la pièce de bois par un plan pq perpendiculaire à Yhêliéê moyenne"
853. Si l'on abaisse des perpendiculaires par les points suivant lesquels le plan pq rencontre toutes les hélices projetées sur la* fig. 1, on obtiendra sur la fig. 2 le quadrilatère nuot? pour projection horizontale de la section deiftandée. *■<-- ••-' "f,f ■■•'.■ .-"<•.•.,!...: ; t
854. Pour obtenir la section droite, passant par. un autre point BB\ on pourrait opérer de la même manière , après avoir toutefois projeté toutes les hélices sur un nou-
PL. 42- COURBE RAMPANTE. jitâ
veau plan vertical perpendiculaire au rayon 0 — 6 de la
Mais on évitera cette projection auxiliaire en faisant d'abord tourner la projection horizontale nuvo jusqu'à ce que le point m soit venu se placer en B, d'où l'on déduira en B' la projection verticale de la nouvelle section.
855. On n'a conservé sur l'épure que les hélices engendrées par les quatre sommets du quadrilatère A, mais il est évident que les côtés du quadrilatère muuo (fig. 2) *ont des lignes courbes.
Ces lignes, par suite de leur peu d'étendue , ont trèspeu de courbure , et datos la pratique on peutfaire abstraction de cette propriété ; mais dans les épures d'étude , il <est toujours utile, comme nous l'avons déjà dit bien des fois, de mettre en évidence la nature de la courbe et le -sens de sa courbure, ce que l'on pourra toujours faire en déterminant des points intermédiaires.
Or, on atteindra ce but en construisant sur \&fig. 1 le& hélices engendrées par les milieux des côtés du rectangle générateur A.
Les intersections de ces hélices par le plan pq détermineront un point intermédiaire sur chacun des côtés du «quadrilatère o/zw* , et si l'on veut obtenir quelques points éloignés des mêmes courbes, on projettera les hélices qui seraient engendrées par les points pris à volonté sur les prolongements des côtés des rectangle A.
U56. On pourra remarquer que les côtés ou et nu dé. quadrilatère no vu font partie des ellipses suivant lesquelles le plan jpq coupe les deux cylindres concentriques eetre
lesquels In pièce de bois doit être comprise, el que les cAtés no et vu appartiennent aux courbes suivant lesquelles le même plan pq coupe les deux surfaces réglées hélicoïdes engendrées par les côtés 9 — 10 et 8—1 1 du rectangle A.
857. Les Jig. 11 , 12, 13, Ifr , 15 et 18 contiennent tons les détails d'épuré nécessaires pour tracer le bois et tailler les surfaces de la courbe rampante.
La/?£. ik contient la projection horizontale , et la Jig. 1 1 est la projection verticale que Ton construira en opérant comme nous l'avons dit précédemment.
858. La circonférence CB étant la projection horizontale de l'hélice moyenne, on choisira sur cette courbe les points par lesquels on veut faire passer les plans qui doivent former les faces extrêmes de la pièce demandée. 11 ne fattt pas que cette pièce soit trop longue; d'abord, par économie, puisque Ton perd tout ce qui résulte de la taille des deux surfaces cylindriques entre lesquelles la courbe doit être comprise; mais surtout parce que vers les extrémités, les fibres seraient d'autant plus courtes que la pièce aurait une plus grande longueur.
859. Le plan vertical de projection (fig. 11 ) doit être perpendiculaire au rayon qui passe par le milieu de la projection horizontale CB de l'hélice moyenne.
Celte disposition dépure étant adoptée et toutes les hélices étant projetées sur )ajig. 11, on construira le triangle rectangle irid'l', en faisant, comme nous l'avons déjà dit, m!d! égal à deux ou trois parties du pas, et d't' égale à autant de parties correspondantes prises sur la projection horizontale CB de l'hélice moyenne.
PL. 42* QOURBE RAMPANTE. 40$
* L'hypoténuse tm' sera la projection verticale de la tangente a» point mm' de l'hélice parcourue par le centre du rectangle générateur A ; on tracera le plan pq , perpendiculaire à cette tangente , et Ton projettera sur le plan horizontal , le quadrilatère curviligne nom qui résulte de la section de la pièce par le plan pç.
On obtiendra deux points intermédiaires ou situes sur les prolongements des côtés du quadrilatère novu en opérant comme nous l'avons dit au n° 855.
860. Si nous supposons que le quadrilatère onvu se . meut en glissant sur l'hélice moyenne et restant toujours perpendiculaire à cette hélice , on l'amènera successivement dans les positions B et C ; puis élevant des perpendiculaires par tous les points essentiels , on construira les projections verticales B' et C des deux faces planes qui terminent la pièce demandée dont les deux projections seront alors complètes»
861. Pour tailler cette pièce , on peut employer plusieurs méthodes.
862. lr* solution. On déduira la pièce demandée d'un parallélipipède rectangle dont les faces seraient :
1° (/îjjf. 14) deux plans verticaux ayant pour traces horizontales les droites et, et;
2° (fig. 11) deux plans ac,e\ perpendiculaires au plan vertical de projection, et par conséquent aux deux premiers plans ; .
3° Enfin, deux plans ce, ai perpendiculaires aux quatre premiers et au plan vertical de projection.
Ce parallélipipède que Ton taillera, sera la première des formes successives que doit prendre la pièce de bois demandée.
DibUlardemint.
863. Les génératrices verticales des deux cylindres concentriques entre lesquels la pièce se trouve comprise , étant prolongées jusqu'aux deux plans ae,ei (fig. 11), on construira les ellipses provenant de leur intersection avec ces plans en prenant sur la fig. 14 les distances de chaque point au plan vertical et, et l'on rabattra ces courbes comme on le voit (fig. 12 et 13).
On construira pareillement et l'on rabattra (fig. 15 et 16) les courbes suivant lesquelles les surfaces cylindriques et hélicoïdes de la pièce demandée traversent les plans w, ai (fig. 1 1) ; puis , appliquant les quatre figures ou patrons D,E,F,G sur les^faces correspondantes du parailélipipède acei> leurs contours (fig. 3) seront les directrices des deux surfaces cylindriques entre lesquelles la pièce demandée doit être comprise.
Ainsi , la pièce de bois sera dèbilîardée (735) lorsque Ton aura taillé les deux surfaces cylindriques qui doivent contenir les bélices engendrées par les quatre sommets du rectangle A (fig. 11).
La fig. 3 représente la pièce dont on n'a taillé encore que la surface cylindrique intérieure.
Cette surface étant taillée , on y tracera les génératrices dont les positions seront déterminées par les points correspondants des panneaux ou patrons D et E ; puis après avoir marqué sur ces génératrices les points correspon-
dants des hélices qui forment les arêtes intérieures de la pièce demandée , on tracera ces lignes avec une règle flexible à laquelle on fera prendre la courbure du cylindre (710).
On opérera de la même manière pour tracer sur le cylindre extérieur les hélices engendrées par les sommets n et u du rectangle À.
864. Lorsque les quatre hélices formant les arêtes de la pièce seront tracées dans les surfaces des deux cylindres concentriques y on prendra ces courbes pour directrices des deux surfaces réglées hélicoïdes engendrées par les côtés on et vu du rectangle A.
U sera facile de tailler ces deux surfaces en abattant le bois comme on le voit sur \ajlg. h , de manière à découvrirtoutes les positions successivement occupées par fa rote d'une règle mobile dont la direction passerait à chaque instant par les points, suivant lesquels les deux hélices directrices sont coupées par les génératrices verticales des deux cylindres.
865. Quand les surfaces hélicoïdes et cylindriques seront taillées , on marquera sur les quatre hélices les soinmets des deux quadrilatères B' et G {Jig. 11), et Toc taillera les deux faces planes qui terminent la courbe.
866. On remarquera que les Aeu\jig. 12 et 13 sont identiques, ainsi que lesj%. 15 et 16, ce qui provient d'abord de ce que les deux cylindres qui comprennent entre eux la pièce demandée sont circulaires; ensuite , de ce que les plans ac,ce,ei,ai sont deux à deux à égale distance des points correspondants de la pièce dont ils formen t en quelque sorte l'enveloppe.
Cette régularité de position permettra de ne construire que deux de ces panneaux que Ton retournerait pour tracer les faees opposées; mais dans ce cas, il ne faudrait pas oublier de changer les numéros des points de repères.
867. 2e solution. Au lieu de tirer la pièce de bois d un parallélipipède rectangle , on pourrait la déduire d'un prisme trapézoïdal , dont deux faces ci, ci (Jig. 22) , seraient comme précédemment perpendiculaires au plan horizontal. Deux autres faces ca,ei {Jig. 19) seraient perpendiculaires au plan vertical de projection; enfin, les deux dernières faces ccee,aaii seraient les plans mêmes qui doivent contenir les faces extrêmes de la pièce de bois lorsqu'elle sera complètement taillée.
Les projections verticales et horizontales de toutes les hélices étant construites comme dans l'exemple précédent, on tracera (fi g. 22) la droite mt% tangente au cercle CB qui est la projection horizontale de Fhélice moyenne, et Ton déterminera la projection verticale mY de cette même tangente, en opérant comme nous l'avons dit au n° 713.
On tracera le plan pqy perpendiculaire sur tW, et Ton déterminera la projection horizontale de la section que Ton amènera successivement dans les positions B et Cr d'où l'on déduira les projections verticales Br et C.
Par suite de ce mouvement la tangente tm viendra se placer successivement en tV et tmmw (Jig. 22).
On construira , sur \ajig. 19, les projections verticales correspondantes t"mly et tYmY, en remarquantque les différences de hauteur qui doivent exister entre les points m", m' et m* dépendent de la quantité dont le point rçim'a
dû monter ou descendre pour venir se placer successivement en myi ou en m\
Cela étant fait, on élèvera des perpendiculaires par les points rn et 5", suivant lesquelles l'horizontale du point m" {Jig* 22) perce les deux faces verticales du solide enveloppe, ce qui fera connaître (fig* 19) les points r** etsly par lesquels on construira les deux côtés ce>ce, perpendiculaires sur la projection verticale tiymn de la tangente tuml\ et l'on aura par ce moyen le quadrilatère ccee qui résulte de la section du solide enveloppe par le plan qui contient l'extrémité inférieure de la pièce de bois.
On construira de la même manière le quadrilatère aaii qui contient l'autre face extrême, puis on fera glisser ces deux quadrilatères sur l'hélice moyenne, l'un en montant l'autre en descendant, jusqu'à ce que leurs plans contiennent le point mm1 et coïncident avec le plan pq perpendiculaire à l'hélice moyenne et au plan vertical de projection.
Pour exprimer sur l'épure le double mouvement que nous venons de supposer, il suffira de faire tourner sur la fig. 22 les quadrilatères ponctués cece,aiai de la quantité qui séparait le point m des deux points m" et m"\ de sorte qu'après ce mouvement les deux quadrilatères dont il s'agit doivent être placés par rapport à la droite rs comme ils étaient placés auparavant par rapport à la même droite rVr,rr,V'' lorsqu'ils occupaient leurs positions primitives B et C.
Lorsque les deux quadrilatères aaii,cceçde \*fig. 22 auront été ramenés jusqu'au point m, on projettera tous leurs angles sur la trace du plan pqy d'où on les rabattra (Jig. 23 et 2b) en faisant tourner le premier autour de
l'horizontale projetante du point k , et le second autour de rhorizonlale du point h.
lies panneaux ou patrons D et E (fig. 20 et 31) se construiront comme dans l'exemple du n° 863.
868. La méthode précédente doit être principalement considérée comme étude et comme exercice de géométrie descriptive; mais dans la pratique, il sera préférable d'opérer comme cela est indiqué sur \esjig. il, 12, 13, 11, 15 et 16. En effet, comme on peut dans ce cas faire passer les plans extrêmes par les points n et m, il est évident que le parallélipipède capable de contenir la pièce demandée sera moins long que celui dont il faudrait déduire le prisme trapézoïdale de la^îgf. 19 , puisque la plus grande dimension ac de ce solide est évidemment beaucoup plus grande que la longueur de la pièce courbe que l'on en veut retirer, et cette considération est quelquefois très-importante dans la pratique.
Il est vrai que dans la méthode du n° 862 les faces B' et Gr de la courbe rampante ne coïncidant pas avec les faces extrêmes du solide primitif, il s'ensuit que Ton a deux faces de plus à tailler; mais ces faces, étant planes, ne présentent aucune difficulté et ne peuvent pas être considérées comme une augmentation de la maind'œuvre.
869. Il y a dans les travaux deux sortes d'économie ; ainsi quelquefois, on préférera augmenter un peu le travail de l'ouvrier afiif d'économiser la matière et de pouvoir employer une pièce de bois d'une bonne qualité, mais qui n'aurait que les dimensions rigoureusement nécessaires pour contenir la courbe que Ton veut en déduire, tandis
que, dans d'autres occasions , on pourra simplifier le travail de l'épure et de la taille en faisant servir une pièce de bois plus longue , mais dont les extrémités auraient peu de valeur et pourraient être sacrifiées sans inconvénient. Ainsi , par exemple , les charpentiers commencent presque toujours par donner à la pièce qu'ils veulent tailler la forme indiquée (fig. 5), c'est-à-dire qu'ils conservent provisoirement pour faces extrêmes les deux rectangles verticaux 1—2 — 3 — 4 , etc.
Leur but, en agissant ainsi, est de pouvoir tracer entièrement sur les panneaux (fig. 12 et 13) les directrices elliptiques des deux cylindres concentriques entre lesquels la pièce demandée doit être comprise. Il n'est plus nécessaire alors de tracer (fig* 15 et 16) une partie de ces directrices sur les panneaux F et G dont la construction devient par conséquent inutile.
870. La courbe rampante que nous venons d'étudier peut être regardée comme le solide élémentaire d'où l'on peut déduire un très-grand nombre de pièces hélicoïdes que l'on a souvent l'occasion d'employer dans la construction des escaliers.
871. Ainsi, pour construire une de ces pièces que l'on nomme main courante, parce qu'elles servent d'appui à la main lorsque l'on monte ou que l'on descend l'escalier , on taillera d'abord la courbe rampante qui aurait pour section droite le rectangle 1—2 — 3 — 4 (fig. 9) , puis on abattra toutes les parties qui sont indiquées par des bacbures plus foncées , de manière que l'on puisse faire glisser sur la courbe le calibre en fer ou en bois dur qui est représenté stlï les fig. 10 et 25. On aura soin de maintenir le plan de ce calibre dans une position constamment perpendiculaire à
412 DOUBLE COURBURE. JPL. 42
la direction de la courbe , sur laquelle on aura tracé comme directrices les hélices des points 5, 6, 7, 8 et 9 (/ig. 9),
&72. On opérera de la même manière pour tailler toute espèce de courbe rampante hélicoïde dont la section droite serait un cercle (fig, 17 et 26), ou enfin un polygone quelconque (fig. 8).
873. Les moyens que nous venons d'indiquer permettent de conserver dans toutes leurs longueurs une partie des fibres de la pièce droite primitive. Il est cependant évident qu'un assez grand nombre de ces fibres seront tranchées. On diminuera , il est vrai , ce dernier inconvénient en donnant moins de longueur aux divers parties qui doivent composer la courbe rampante (fig. 15, PL 7 de Vintroduction) , mais alors on augmentera le nombre des assemblages , et Ton perdra d'un côté ce que Ton aura gagné de l'autre.
On fera donc bien , toutes les fois que cela sera possible , d'employer des bois naturellement courbes dans le sens des arcs elliptiques tracés sur les panneaux D et E (fig. 12, 13, 20 et 21) de la planche 42.
874. On pourrait aussi employer des madriers droits ramollis par la vapeur, auxquels on ferait prendre la courbure hélicoïde en les roulant sur un cylindre dont le diamètre serait déterminé par la question à résoudre; mais ce moyen, nous l'avons déjà dit, ferait perdre aux fibres une partie de leur force.
875. Ce qu'il y aurait de mieux à faire dans quelques cas exceptionnels , où l'importance de la pièce à exécuter permettrait de négliger les considérations de dépense
et de temps, serait de faire rechercher dans les forêts un arbre qui eût naturellement la double courbure demandée.
Après s'être assuré que cet arbre a partout une grosseur suffisante» on le placera dans la même position que la pièce qui doit en être tirée {fig. 18), puis au moyen de deux calibres horizontaux formés avec des planches cintrées suivant les courbes vu et ac9 on pourrait déterminer à l'aide d'un plomb les profondeurs des entailles verticales (321) qu'il faudrait faire pour régler le mouvement de la génératrice des deux surfaces cylindriques vu et ac; la pièce serait alors débillardée , et les hélices tracées dans les deux cylindres permettraient de tailler les surfaces hélicoïdes en opérant comme on le voit sur la/%, k.
