La fig. 13 représente un des boulons au moyen

desquels on |>eiit attacher les deux parties consécutives d'un limon.

L'un des bouts a est percé par un trou destiné à recevoir la clavette c (fig. 15); les deux rondelles r,r dont l'une est projetée {fig- 14) contiennent au centre une ouverture circulaire dont le diamètre est égal à celui du boulon.

967. Pour réunir les deux pièces A et B (fig. 42) , on perce avec une tarière les trous qui doivent être occupés par le boulon ; on creuse également deux petites cavités m et n.

Cela étant fait, on place une rondelle dans chacune de ces deux cavités, en ayant soin que l'ouverture circulaire de chaque rondelle soit bien exactement dans la direction des trous percés pour le passage du boulon.

On fait alors pénétrer le boulon dans les trous et l'on rapproche les deux pièces de bois jusqu'à ce que Ton voie les extrémités du boulon pénétrer dans les cavités m et n après avoir traversé les ouvertures des rondelles.

On place la clavette dans la tête a du boulon auquel on fait faire un quart de révolution pour que la clavette ne puisse plus sortir de la cavité n (fig. 42 et 43).

On place ensuite un écrou hexagone ou octogone (fig. 16) à l'extrémité e du boulon qui est taraudé en pas de vis (fig.iS et 43).

Puis, à laide d'une clef à fourchette, on fait tourner Técrou jusqu'à ce que les deux morceaux du limon soient entièrement rapprochés.

L'une des rondelles a pour but d'empêcher la clavette d'entrer dans le bois qu'elle pourrait faire éclater, et la deuxième rondelle empêche que le frottement sur le bois ne s'oppose au mouvement de l'écrou. {Jîg. 16).

Limon dont la courbure est variable.

968. Les méthodes indiquées précédemment pour tailler les différentes courbes rampantes d'un limon doivent être nécessairement modifiées lorsque la projection horizontale n'est pas circulaire. En effet , il est évident qu'il faudra dans ce cas une projection particulière pour chaque assemblage et pour chacune des pièces qui doivent composer l'ensemble du limon.

La planche 45 indiquera de quelle manière on peut disposer toutes les parties du travail. Nous supposerons dans cet exemple que les projections horizontales des arêtes des marches coïncident avec les directions des tangentes à un cercle décrit du point O comme centre, de sorte que les projections horizontales des courbes du limon seront des développantes du cercle.

Cette condition, cependant, n'est vrai qu'à partir des points B et D en deçà desquels la courbure du limon est déterminé par les deux arcs de cercle BA et DO qui ont pour centre le point U.

969. Il résulte de ce qui précède que les projections horizontales des arêtes du limon seront composées d'une suite d'arcs de cercles qui se raccorderont et que Ton pourra tracer avec le compas, en prenant pour centres, à partir du point U, les divers points de rencontre d'un

certain nombre de tangentes successives que l'on pourra mener d'abord par des points à égale distance sur la circonférence du cercle AU. Ces tangentes n'ont pas été conservées.

On tracera de la même manière la ligne de foulée 1 — 2 — 3 — h — 5 — 6 , ainsi que la courbe aczve, qui est la projection horizontale de la ligne parcourue par le centre du rectangle générateur du limon. .

970. Les arêtes des marches seront déterminées , en portant sur la ligne de foulée les quantités 1 — 2 , 2 — 3, etc., égales chacune à la largeur d'une marche.

L'épure étant disposée comme nous venons de le dire , il ne reste plus qu'à déterminer les assemblages.

i** opération. Le point u (Jig. 20 ) étant choisi pour l'emplacement du premier joint , on construira (fig. 30 ) les projections des courbes engendrées par les quatre sommets du rectangle générateur R.

U suffira de construire seulement une partie de ces courbes en deçà et au delà du point i*' ; ce point u\ milieu de la droite rs , sera situé sur la courbe parcourue par le centre du rectangle générateur.

La droite u'n , tangente à celte courbe, pourra être considérée comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle vlmn , dont le côté vertical mu! serait égal à deux fois la hauteur d'une marche, et dont le côté horizontal mn serait le développement de l'arc vz {Jig. 20).

Cette construction, suffisante pour la pratique, n'est cependant qu'une approximation.

4fiO ESCALIERS. PL. 45.

Ea effet, les largeurs des marches étant égales sûr la ligne de foulée 1 — 2 — $— *, etc., il n'en est pas de même des parties correspondantes sur la courbe aczve, parcourue par le centre du rectangle générateur du limoo.

Mais la différence qui existe entre les deux parties vu et uz de cette courbe étant très-petite , on peut la considérer comme une portion d'hélice dont la tangente sera par conséquent obtenue par la construction indiquée au n°71S.

La tangente urn étant déterminée sur \*fig~ 30, on tracera les faces d'assemblage en opérant comme nous l'avons dit au n° 959.

L'assemblage adopté dans l'exemple actuel est celui que nous avons indiqué au n* 953.

Les parties indiquées sur la fig. 20 par des hachures de points , sont les faces dee joints et des tenons qui sont perpendiculaires à la direction de la tangente u*n (fig. 30).

2e opération. On déterminera sur lajig. 20 la longueur de la partie de limon qui peut être contenue dans le bloc de bois que l'on possède, et l'on construira (Jig. 17 ) la projection verticale de l'assemblage supérieur.

Cette seconde projection s'obtiendra en opérant exactement comme pour la/g. 30.

3e opération. On construira sur \*fîg- 20 les traces EF GH des deux plans verticaux entre lesquels la pièce demandée doit être comprise, et Ton projettera cette

pièce (fig. 26 ) sur an plan parallèle a ut deux plans EF ci GHL

Les tenons et les mortaises qui terminent cette pièce se déduiront de leurs projections horizontales (fig. 20) , et les hauteurs des différents points seront données par les fig. 30 et 17, c'est-à-dire que pour le tenon, on prendra sur \ajig* 30 la hauteur de chaque point au-dessus de l'horizontale 7* — 7*, et l'on portera cette hauteur au-dessus de la même horizontale 7f'~ 7" (fig. 26 ) sur la perpendiculaire élevée par le point correspondant de la projection horizontale (fig* 20) ; et pour la mortaise, la hauteur de chaque point au-dessus de l'horizontale 13" — 13" (fig. 26) sera égale à la hauteur du même point au-dessus de l'horizontale 13f— 1 3' {fig. 17 )•

Quand la projection 26 sera terminée , on tracera le rectangle drcon$crit bdpq , et Ton construira tes quatre panneaux 25, 27,29 et 22«

Ces panneaux ou patrons (862) contiennent les courbes suivant lesquelles les faces du parallélipipëdé sont traversées par les deux cylindres engendrés par les côtés verticaux du rectangle générateur R (fig. 30).

Les courbes des panneaux 25 et 27 s'obtiendront en opérant comme nous l'avons dit au n° 863.

Ainsi les points 13"' des fig. 25 et 27 se déduiront de leurs projections sur les courbes ABC,ODI {fig. 20) et de leurs distances au plan vertical EF.

971. Si Ton a de la place sur Pépure , on fera bien de construire Iqs ellipses O' et Q'\ suivant lesquelles les faces bp et dg du parcdlélipipède enveloppe coupent le cylindre circulaire qui a pour base le cercle AU (.fig- 30 )•

455 ESCALIERS, PL. 4g.

Les tangentes à ces deux ellipses détermineront arec une grande exactitude les directions des droites suivant lesquelles les plans des fig. 25 et 27 sont coupés par les plans projetants des arêtes des marches sur lay%. 20.

Les panneaux 29 et 22 s'obtiendront en opérant comme pour les Jig. 25 et 27; ainsi, par exemple , pour obtenir les points 16" de \* fig. 22, on élèvera des perpendiculaires par les points correspondants de la fig- 20 , et les distances horizontales de ces points au plan vertical EF, seront portées {fig 22) sur les perpendiculaires correspondantes, à partir de la droi te KL, suivant laquelle le plan EH de la fig. 20 est coupé par le plan bd de \afig* 26. Les droites telles que 16"— 16" de \afig. 22 et les droites telles que 8" — 8" de la fig. 29 seraient tangentes aux ellipses , suivant lesquelles le cylindre vertical projetant du cercle AU (Jig, 20 ) serait coupé par les plans bd etpq de la fig. 26.

Ces ellipses n'ont pas été conservées sur répure.

972. Lorsque les, fig. 25, 27, 22 et 29 seront terminées, on taillera les surfaces cylindriques et réglées de la courbe rampante en opérant comme nous l'avons dit aux nM 863 et 86b.

Ce qui reste à faire pour tailler les autres parties du limon n'est plus que la répétition des opérations qui précèdent : ainsi ,

h* opération. On tracera la Jig. 7 , et lorsqu'on aura déterminé les faces de joint et le tenon, on construira sur la fig. 20 la projection horizontale correspondante.

5e opération. On projettera sur \&fig. k la pièce comprise entre les joints des fig. 17 et 7, et Ton construira les quatre panneaux ou patrons (Jig. 3, 5, 18 et 19).

Le panneau 18 est situé dans le plan p'q', et le panneau 19 appartient au plan b'J*

6e opération. Oo construira le jointes 21 et la projection horizontale correspondante^-. 20^

7e opération. On projettera sur la fig. 12 la pièce comprise entre les joints des/%. 7 et 21 , et l'on construira les quatre panneaux rabattus/%. 11, 13, 8 et 9.

Le panneau 8 appartient au plan p"qn9 et le panneau 9 est situé dans le plan b1l<T.

On continuera de la même manière jusqu'à ce que Ton ait obtenu toutes les parties du limon.

973. Les opérations précédentes ne se rapportent qu'à l'exécution des courbes rampantes qui doivent contenir les diverses parties du limon ; mais lorsque ces courbes seront taillées, il restera encore à tracer les joints d'assemblage et les encastrements des marches.

Pour cela, on pourra construire le développement de la surface du limon, dans laquelle les marches doivent être assemblées.

Ce développement (fig. 2 ) se construira par le principe du n° 69k; ainsi, après avoir tracé les horizontales qui déterminent les hauteurs des marches, on prendra les largeurs (Jig. 20) sur la courbe ABC, qui est la section droite du cylindre que l'on veut développer. Les hauteurs des points 30, 31, 32, 33, 3b, 35, 36 et 37, au-dessus des horizontales 7 et 13 (/%>. 2 ), seront égales aux hauteurs des mêmes points, au-dessus des horizontales correspondantes 7' — 7' et 13'— 13'sur les/%. 30 et 17.

La fig. 2 ne contient que le développement des surfaces cylindriques convexes des deux premières parties du limon.

La fig. 10 contient le développement de la face cylindrique convexe de la pièce projetée (fig- &), et l'\/%. 16 est le développement d'une partie de fa face analogue de la pièce projetée (fig. 12).

On n'a marqué sur \esfig. 2, 10 et 16 aucuns points des tenons et mortaises :

1° Parce que ces points n'appartiennent pas aux surfaces cylindriques que Ton a développées ;

2° Parce que les faces des tenons étant perpendiculaires ou parallèles aux faces de joints 80—31 et 32—33 {fis* 30 ) , il est facile de les tracer sur le bois sans qu'il soit nécessaire de les établir sur l'épure.

1)7 k. Au surplus , cm peut facilement, cowne nous l'a-* vons déjà dit (930) , éviter la construction des patrons de développement fig. 2, 10 et 16.

Ainsi , les génératrices des deux cylindres verticaux, entre lesquels toutes les parties du limon doivent être comprises, étant déterminées par les points de repère marqués sur les panneaux 27, 28 , 29, 29, 3, 5, etc., on pourra tracer ces génératrices sur le bois lorsque le cylindre convexe sera taillé ; et puisque ces génératrices coïncident sur la^îg*. 20 avec les arêtes verticales des marches, on pourra déterminer sur ces droites les hauteurs correspondantes; puis, avec une règle flexible, on tracera les courbes horizontales suivant lesquelles la surface cylindrique du limon est rencontrée par la face plane et horizontale de la marcher

975. On pourra tracer également sur les deux surfaces cylindriques de la courbe rampante les verticales des points les plus essentiels des joints d'assemblage.

Les distances de ces droites aux génératrices les plus voisines des deux cylindres seront données par la Jfcf. 20 , et les hauteurs des points correspondants seront déduites de leurs projections sur \esjlg. 30, 17, 7 et 21.

976, On n'a pas construit de projection verticale pour le morceau du limon qui contient le patin AUBD , parce que cette pièce peut être déduite d'un parallélipipède vertical dont la base serait le rectangle 38 — 39 — kO et 11.

En faisant le premier joint plus près du sol , il sera toujours possible de donner h ce parallélipipède des dimentions qui n'excèdent pas les limites du bloc dont on peut disposer.

Ces limites seront déterminées par la projection horicontale 38—39 — 40—41 , et par la hauteur verticale du morceau de limon que l'on veut tailler.

Cette pièce est posée sur la face supérieure de la première marche avec laquelle nous supposerons qu'elle est assemblée par un tenon à faces verticales.

La projection horizontale du tenon est indiquée sur l'épure par des hachures ponctuées.

La hauteur du prisme capable de contenir la pièce de* mandée se composera donc de la longueur des faces verticales du tenon , et de la distance du point 30 de \afig. 30 au plan horizontal qui forme la face supérieure de la pre* mière marche.

Ce parallélipipède étant parfaitement équarri, on appliquera sur se» deux bases un panneau , ou patron découpé , sur le contour de la projection horizontale (flg. 20 ).

Les courbes formant le contour de ce patron seront les directrices des cylindres qui forment les faces verticales du patin et du morceau de limon qui lui est attaché.

Lorsque ces cylindres seront taillés on y tracera les génératrices verticales, sur lesquelles on marquera les hauteurs des points correspondants des marches ; puis on marquera également sur les génératrices des cylindres les différents points des arêtes intérieures et extérieures du limon.

Les hauteurs de ces points dépendront de la distance verticale que l'on veut avoir entre les arêtes du limon et les courbes passant par les angles saillants des marches.

Les points que l'on aura ainsi marqués sur les arêtes du limon serviront à déterminer pour chaque instant la position de la règle génératrice des surfaces réglées formant les faces supérieure et inférieure du limon.

Pour que la règle génératrice soit constamment horizontale, on aura le soin de placer à la même hauteur les points qui doivent déterminer chacune des positions de cette règle.

La place des génératrices qui contiennent ces points est indéterminée et dépend de la forme que l'on veut donner à la face supérieure du limon.

Pour toute la partie qui est au-dessus des points B et D, la surface réglée qui forme la face supérieure du limon devra élre engendrée suivant la même loi que la

surface réglée qui contiendrait les arêtes saillantes des marches, c'est-à-dire que la génératrice horizontale devra toujours être tangente au cylindre vertical projetant du cercle AU.

Par la même raison, dans la partie de surface qui au* rait pour directrices les hélices circulaires projetées sur la fig. 20 par les deux arcs de cercle fiA, DO, la génératrice horizontale devra constamment rencontrer la verticale projetante du point U.

Dans ce cas, la surface réglée hélicoïde, dont la projection horizontale est comprise entre les deux arcs de cercle BA, DO, rencontrera la surface supérieure du patin, suivant la droite AO, et ces deux surfaces feront entre elles un angle que Ton peut éviter en opérant de la manière suivante.

On remplacera l'hélice qui aurait pour développement la droite BA {fig. 2), par une courbe qui toucherait au point &2 la droite BA, et au point &3 l'horizontale AU qui sur la fig. 2 représente le développement de l'arête supérieure du cylindre AU fig. 20.

La courbe &2 — 43 reportée sur la surface du cylindre convexe qui contient l'arête extérieure du limon, servira de directrice à une surface réglée dont la génératrice horizontale rencontrerait constamment la verticale projetante du point U.

Celte surfacese raccorderait suivant la droite &2 — m avec la surface supérieure du limon , et suivant la droite &3 — n avec la face horizontale AU du patin {fig. 2 et 20).

4M ESCALIERS. Pi 45

Balancement*

977. Nous avons déjà parlé, au n° 896, de l'inconvénient très-grave qui a lieu toutes les fois que les marches d'un escalier tournent autour d'une colonne verticale formant noyau , ou bien autour d'un limon dont le rayon de courbure est très -petit Qfig. t, pi. 45). |

En effet, si l'on voulait que les arêtes des marches fus- |

sent partout perpendiculaires à la courbe du limon, il

faudrait que les projections de ces arêtes coïncidassent avec

les lignes ponctuées de l* jig. 1 , et dans ce cas la partie j

de l'escalier qui est auprès du noyau serait beaucoup trop

rapide, comme on peut le voir par le développement de

cette partie (jig. 33). ,

De plus, l'angle d'inclinaison de l'escalier changeant brusquement au moment où l'on passe de la partie circulaire à la partie droite, ou réciproquement, il en résulterait dans lelimoo un angle on jarret d'un effet désagréable et qui d'ailleurs offrirait peu de sécurité , puisque les fibres du bois, parallèles ou à peu près à la plus grande longueur, seraient évidemment tranchées dans le voisinage de l'angle formé par les deux parties du limon.

Le problème qui a pour but de faire disparaître ces défauts a reçu le nom de balancement. Il consiste principalement à augmenter la largeur des marches trop étroites aux dépens de celles qui le sont moins.

Plusieurs méthodes peuvent être employées pour atteindre ce but.