Quelques auteurs, par exemple, ont proposé de

faire croître la longueur des marches suivant une proportion par différence. Ainsi, M. Émy donne la solution suivante ;

Il fait la somme de toutes les marches entre lesquelles doivent se répartir les changements de direction, il en retranche la somme que Von aurait si toutes ces marches étaient égales à la plus petite d'entre elles, et il prend la différence obtenue pour la somme des termes d'une progression dont les termes croîtraient comme la suite des nombres naturels , et dont chaque terme représenterait l'accroissement de la marche correspondante.

Cette solution ne satisfait à aucune des conditions du problème :

1° Parce qu'elle n'augmente pas la largeur de la plus petite marche , ce qui est la condition la plus essentielle.

2° Parce que le dernier terme de la progression n'étant pas égal à la largeur d'une marche droite, il s'ensuit que l'accroissement régulier qu* Ton a établi entre les marches soumises à la condition du balancement est brusquement interrompu après la dernière de ces marches qui peut différer beaucoup de la marche droite qui suit immédiatement.

Il peut même arriver que la dernière des marches balancées soit plus grande que la première des marches droites suivantes, ce qui serait très-dangereux par suite de l'habitude acquise par tout le monde , de rencontrer sous les pieds , des marches égales , ou dont les largeurs varient d'une manière insensible.

Les inconvénients que je viens de reprocher à la solu*

lion précédente , proviennent surtout, de ce qu'en fixant ainsi d'avance le point de l'escalier où doit s'arrêter le balancement, on donne la somme des termes , le premier terme et le nombre des termes , de sorte qu'il n'est plus possible de terminer la progression à la première des marches droites qui ne sont pas soumises au balancement.

979. On peut satisfaire à cette dernière condition de deux manières :

1° En considérant comme inconnue la plus petite des marches, et dans ce cas, on pourra déterminer celle des grandes marches à laquelle doit s'arrêter le balancement.

2° En laissant au contraire parmi les inconnus le nombre des marches soumises au balancement, ce qui permettra de fixer, à priori, la largeur minimum de la plus petite marche.

980. Première solution. Supposons que dans l'escalier projeté [fig. 1 ), la largeur de chacune des petites marches auprès du limon soit égale à 11 centimètres , et que chacune des grandes marches ait 32 centimètres de largeur.

Supposons en outre que Ton veut satisfaire à cette condition, que le balancement s'arrête à la onzième marche à compter du point 16 (fig. 1), c'est-à-dire que la marche A de la fig. 1 serait le dernier terme de la progression. II s'ensuit que Ton connaît ce dernier terme , qui vaut 3% centimètres, et que nous nommerons u.

On connaît également le nombre des termes n = 11.

De plus , la somme des termes se composera : 1* de quatre fois la largeur 11 d'une petite marche, plus de sept fois la largeur 32 d'une grande $ ainsi on aura :

S=4xll+7x32 = M+22*=268.

Le premier terme de la progression sera donné par la formule

qui dans le cas actuel devient

flflû (a + 32)ll 268= 2 »

d'où

La formule u = a -j-rf (n — 1) devient

d'où l'on obtient :

32=^ + 10rf,