PI

Largeurs

Numéros d'ordre.

en lies

de certimétM.

eeittaécres.

Sommes.

Ainsi , la somme 268 des nouvelles marche* eat égale à celle des anciennes , et la progression s'arrête exactement au moment où l'on arrive à la première des marches droites, qui forme alors le dernier terme de la progression.

981. Cette solution , quelque satisfaisante qu'elle paraisse au premier ft&ord , est cependant défectueuse parce qu'elle ne permet pas de déterminer à priori le minimum de largeur de la plus petite marche , ce qui me parait cependant la condition la plus impartante.

982. 2e solution- Reprenons la question précédente, et proposons «nous de donner à la première marche, à compter du point 16, une largeur égale à 20 centimètres , c'est-àdire à peu près les deux tiers de la largeur d'une marche

droite. Dans ce cas on ne connaît plus le nombre des termes, ni par conséquent la somme des termes : mais, en exprimant cette somme par S, on aura

S=fcxlt + 32(/i— fc) = M+32/i— 128 = 32n— 8fr.

De plus, la formule

devient dans le cas actuel

exprimant l'égalité qui existe entre les deux valeurs dq S, on obtient :

32 n — 8*.**26n, d'où

6 n « 8* , et par conséquent

c'est-à-dire que le balancement se prolongera jusqu'il la quatorzième marche, qui mt» la -dernière 4e \n progression.

Le nombre des termes delà progression étant connu, on obtiendra la différence par la formate u*=a-\-d(n — 1), qui dans le cas actuel devient

32«*20+ I8rf, d'où

d~ 13 13 12XÎ3

Ainsi , les largeurs de marche, à compter du point 16,

seront données par le tableau suivant, dans lequel la seconde colonne exprime des treizièmes de centimètre.

Largeurs

Numéros d'ordre.

en ts*

de centimètre.

centimètres.

Sommes.

Ainsi , la somme 364 est égale à quatorze marches , savoir : quatre petites plus dix grandes, ce qui donne

Cette dernière solution permet de donner à la plus petite marche une largeur déterminée ; mais on ne peut pas choisir d'avance le point où Ton veut arrêter le balancement, tandis que la solution précédente satisfait il est vrai à la dernière condition ; mais on ne peut plus alors fixera volonté la largeur de la plus petite marche.

•S'il fallait cependant donner la préférence à l'une de ces deux méthodes , je n'hésiterais pas à choisir la dernière, parce que la condition la plufe essentielle est d'éviter le danger qui résulte d'une pente trop rapide vers le noyau.

Au surplus, nous allons tâcher d'arriver par d'autres moyens à la solution du problème.

983. Troisième solution. La plupart des constructeurs ne se préoccupent dans la question actuelle que des moyens de faire disparaître Pangle ou jarret 16 — 12 — 8 {fig. 33) , afin, comme ils le disent, de donner plus de grâce aux courbes du limon.

Dans ce cas, ils se contentent de remplacer dans le développement^. 32 les droites 16 — 12 et 12 — 8 par une courbe qui leur est tangente aux points où doit commencer et finir le balancement.

En opérant ainsi on négligerait évidemment la condition la plus essentielle.

Pour résoudre la question d'une manière complète , on commencera d'abord par construire le développement 16—12-6/^. 32.

On prolongera ensuite l'horizontale du point 15 jusqu'à ce que la droite 15" — 15* soit égale h la largeur que fon veut donner à la plus petite inarche, et l'on tracera la droite 16 — 15T qui rencontre la ligne 12 — 6 au point m.

Or, il est évident que si l'on prend la ligne brisée 16 — /n— 6 pour le développement du nouveau limon , on aura résolu la partie la plus importante du problème, qui consiste à donner à la plus petite marche une largeur déterminée, 15" — 15'.

11 est vrai que le nouveau limon contiendra encore au point m, un angle ou jarret 16 — wit— 6 moins aigu que celui qui existait au point 12-, mais on fera disparaître complètement ce dernier défaut en remplaçant la ligne brisée 16 — m — 6 par un arc de cercle tangent aux points 16 et n qui indiquent le commencement et la fin du balancement des marches.

La rencontre de Tare 16 — 11' — n par les horizontales des points 16, 15, 14, etc., détermine la position, et par conséquent la largeur des marches sur le développement du nouveau limon.

Les distances 15—15', U — 14.', 13 — 13', etc., étant reportées sur lajig. 1 , à partir des points 15, 14, 13, etc., les arêtes des marches pourront être facilement tracées sur cette projection.

984. On peut rendre le tracé de l'épure plus régulier en construisant les deux courbes ac, ae tangentes aux droites qui forment les prolongements des arêtes des marches.

Ces courbes serviront encore à déterminer les positions vu du rectangle générateur du limon , lequel rectangle doit successivement coïncider avec les divers plans verticaux tangents aux courbes ac, ae, les deux angles extérieurs de ce rectangle devant en outre se mouvoir sur les courbes 16 — 11' — n et zx de \*fig. 32.

985. Si quelque raison s'opposait à ce que les deux points de tangeiice 16 et n (jig. 32) fussent à égale distance du point m, on pourrait remplacer Tare de cer-

cle 16 — m — n par une courbe à deux centres que l'on obtiendrait de la manière suivante.

Soient données les deux droites AB, hC(fig% 24), on veut construire une courbe à deux centres qui touche la première droite au point B, et la seconde au point C. On tracera d abord les deux droites BO, CI, perpendiculaires aux deux tangentes données ; puis on décrira un premier arc BD, en prenant pour centre un point O situé où L'on voudra sur là droite BO; on portera le rayon BO de C en H sur la droite CI, puis on joindra le point O avec le point H par la droite OH sur le milieu de laquelle on élèvera la perpendiculaire SI. L'intersection de la perpendiculaire SI avec CI déterminera le point I qui sera le centre du second arc de cercle, Le point de raccordement sera déterminé en prolongeant la droite 10 jusqu'en D.

En effet, on a IH=IO, et par conséquent

IH+HC = 10 + 0D, puisque