OD = OB=HC

Donc, le second arc, tangent au point C, passera par le point D; de plus les deux arcs Se raccorderont au point D, puisque si Ton menait en ce point une perpendiculaire surOD, rayon de BD, elle serait aussi perpendiculaire sur DI rayon de CD; d'où il suit que les deux arcs auraient au point D une tangente commune, et que par conséquent ils se toucheraient en ce point.

On aurait pu commencer par décrire Parc CD. (Géométrie, n° 347.)

La question précédente est indéterminée, et la forme

de la courbe dépend du point que l'on aura choisi pour premier rentre.

986. On peut remplacer la courbe à deux centres que nous venons de construire par une courbe du second degré.

Soient, par exemple, les deux tangentesUN,NC (fig-6), on construira la perpendiculaire GP et l'horizontale NQ. On fera QV parallèle à CN, et Ton tracera VP ; enfin, on construira NO parallèle à VP, ce qui déterminera le point O pour le centre d'une ellipse ayant son sommet en U et touchant la droite NC au point C.

Connaissant Taxe OU et le point C, il sera facile de construire la courbe.

Cette solution n'ayant ici qu'un intérêt secondaire, je n'en donnerai pas la démonstration que Ton trouvera dans mon Traité de coupe des pierres, art. 237.

987. Si l'on avait CQ « QP {fig. Ik), le point O serait à l'infini, et la courbe demandée serait une parabole.

988. Lorsque CQ est plus grand que QP {fig. 15), le point O est situé à gauche du |;oint U et la courbe devient un arc d'hyperbole.

989. Enfin, lorsque UN = NC,/%. 28, la courbe demandée est un arc de cercle, c'est le cas de \afig* 32.

Dans ce cas, il est évident que la construction la plus simple sera d'employer le moyen géométrique connu, c'est-à-dire que le centre sera déterminé par l'intersection des perpendiculaires élevées par les points 16 et n sur les •droites 16 — m et mn.

990. Mais, le plus ordinairement, le centre sera trop éloigné pour que Ton puisse en faire usage, et l'on pourra dans ce cas opérer de la manière suivante.

Soient (Jig. 31 ) les deux droites AB et AC qui doivent toucher l'arc de cercle demandé aux points B et C.

On sait (Géom.) que ces deux points doivent être à égale dislance du point A, d'où il résulte que la corde fiC sera perpendiculaire sur la droite AD bissectrice de l'angle BAC.

On partagera l'angle ABC en deux parties égales par une droite BU, dont l'intersection avecDA déterminera le point U appartenant à l'angle demandé.

En effet, on a par construction l'angle

SBU = UBD, mais

UBD = SUB

comme alternes-internes.

Ajoutant les deux équations et réduisant , on obtient : SBU = SUB;

donc le triangle SUB sera isocèle, et l'arc de cercle tangent au point B sera également tangent en U.

En continuant de la même manière, on aura autant de points que l'on voudra.

Ainsi, en partageant 1 un des angles SUB^SBU en deux parties égales, on obtiendra le point I sur la droite SI bissectrice de l'angle BSU.

La droite KH, perpendiculaire sur SI, sera tangente au

cercle demandé , caria ligne SI doil passer parle centre puisqu'elle partage l'angle USB en deux parties égales.

991. On peut encore (Jîg. 23) remplacer l'arc de cercle tangent aux deux droites données o — 5 par une courbe 5 — u — 5 que Ton obtiendrait de I» manière suivante.

On porterait sur les droites données un certain nombre de parties égales à partir du sommet 0, puis traçant les droites h — 1, 3—2,2—3, t— fc.

On aura une suite de tangentes qui déterminent la courbe demandée avec autant d'exactitude que l'on voudra.

En augmentant ou diminuant les grandeurs des parties portées sur Tune des lignes données ou sur toutes les deux, on pourra changer à volonté la forme ou la grandeur de la courbe.

Escaliers à rampes droites avec paliers.

992. La PL 46 contient lous lt s détails nécessaires à la construction d'un grand escalier à rampes droites et paliers.

Lajig. 2b est le plan sur lequel la projection de la marche palière est indiquée par une teinte de points.

Cette marche forme la huitième de P escalier.

Les dix-huitième et vingt-quatrième marches sont formées par des paliers de repos ou demi-paliers (880).

Les numéros d'ordre des marches indiquent le chemin que l'on suit en montant.

Patin et rampe,

993. Lorsque Ton fait, comme nous Pavons supposé ici» un escalier à marches pleines , le limon est limité en dessus par une face continue sur laquelle sont assemblés les barreaux de la rampe comme on le \o\l fig. 25.

Dans ce cas , la partie du limon qui aboutit au pied dé l'escalier est terminée par un enroulement ou volute que l'on nomme patin et qui est indiqué en projection horizontale sur les fig. 24- et V7, et en projection verticale sur la ./%. 23.

99b. La forme que Ton doit donner à ce patin est tout à fait sans importance pour la solidité de l'escalier et dépend du goût de l'architecte. C'est donc uniquement comme exercice que j'indiquerai la construction suivante, donnée par Rondelet.

La première marche , qui est toujours en pierre, est indiquée sur la fig. Vf par une teinte plus claire.

On s'est proposé ici de former le contour de cette première marche et l'arête intérieure du limon par deux courbes à plusieurs centres tangentes à la droite aS.

Pour construire la courbe unxja , on fera d'abord ao=aut et du point o comme centre on décrira les deux arcs un et act égaux chacun à 60 degrés. On partagera oc en six parties égales, et Ton prendra chacune d'elles pour côté d'un petit hexagone régulier qui est indiqué sur la figure par des hachures plus foncées.

Les sommets de cet hexagone seront les centres des deux courbes unxya et aczo, qui seront partout à égale distance Tune de l'autre. <•

472 ESCALIERS. PL. i&

995. Pour construire la courbe HVGI on décrira d'aborl du point m, comme centre, lare HV=30°, de sorte que la droite mV coïncide avec l'un des côtés du petit hexagone dont nous venons de parler.

On fera VB égal à Ka , on partagera niB en onze parties égales et l'on prendra deux de ces parties pour le côté d'un second hexagone mp dont les sommets seront les centres de la courbe HVGI qui touchera la droite Sa »u point I.

996. Si Ton veut obtenir une courbe à quatre centres! on tracera la droite KH perpendiculaire sur HR.

On fera HD égal à aK et Ton partagera KD en quatre parties égales; chacune de ces parties sera le côté d'un quarré qui est indiqué sur la figure par une teinte de points.

Les commets de ce carré seront les centres de la courbe HEFa qui touchera la droite aS au point a.

997. Au lieu de prolonger les courbrs du limon jusqu'aux points a et o, on peut lui donner la forme indiquée sur la fig. 2b , ce qui est beaucoup plus commode pour l'établissement de la rampe qui est assemblée sur le limon comme on peut le voir sur la fig. 25.

998. Au s tir plue, dans la plupart des escaliers modernes on emploie des limons taillés en crémaillères comme nous l'avons dit aux h0* 914, 936, etc. ; et dans ce cas, la rampe est placée en dehors ainsi qu'on peut le voir par les/%. 29, 30, 23, 27, 28, 31 et 32,