V exemple de Vintmection des cylindres. Il est presque

toujours possible d'éviter la plus grande partie . des opérations précédentes en faisant usage de. plans de projection plus favorablement disposés par rapport aux deux cylindres dont on veut construire la pénétration. Dans ce but, on placera (fig. 43 et 44) l'un des cylindres A perpendiculairement à l'un des plans de projection que nous supposerons ici être le plan horizontal , et Ton prendra le second plan de projection parallèle en même temps aux deux cylindres. Par suite de cette disposition d'épuré, le système de plans coupants auxiliaires sera parallèle au plan vertical. Chacun de ces plans coupera le cylindre A suivant deux droites verticales, et le cylindre B suivant deux génératrices. Les intersections de ces lignes détermineront, comme précédemment, tous les points cherchés. Les fig. B" et B"' forment le développement du cylindre B, et A" est le développepement de la partie du cylindre À qui a pour directrice la courbe aco.

205. Quand les deux cylindres proposés seront circulaires , la trace du cylindre A sera une circonférence de cercle , et celte courbe servira en même temps de section droite au cylindre; quant au cylindre B, il aurait pour trace une ellipse, mais on pourra, comme nous l'avons dit au n° 194, éviter la construction de cette courbe en employant, comme dilectrlce , la circonférence vu"' qui sera la base v'u' rabattue sur le plan horizontal v'u".

206. II n'est pas toujours possible d'adopter entièrement la disposition d'épuré qui précède. Ainsi, dans la construction des voûtes en descente {fig. 52, 50, 53), on peut bien prendre un plan vertical de projection perpendiculaire au cylindre principal AA', mais les voûtes inclinées BB' et CC devant conserver leur position, le second plan de projection qui, pour satisfaire aux conditions de l'équilibre, doit rester horizontal , ne sera pas parallèle aux axes des . cylindres , mais cela n'augmente pas la difficulté pour la recherche de la ligne de pénétration , que l'on obtiendra en coupafit les cylindres donnés par des plans perpendiculaires au plan vertical de projection.

Pour obtenir les points de la courbe 1—2—1 suivant laquelle

PL. 8. CÉOMÉTHIE DESCRIPTIVE. 77

la voûte principale AA' est pénétrée par la voûte inclinée BB', on coupera les cylindres par un plan roV, perpendiculaire au plan verticafde projection (fig. 50). Ce plan coupera le cylindre A, suivant la génératrice aa et le cylindre B suivant deux droites 6, b. Les intersections de ces lignes détermineront les deux points mym qui auront le point m' pour projection verticale commune. Cette opération recommencée fera connaître autant de points que Ton voudra de la courbe 1 — 2 — 1. On opérera* de la même manière pour déterminer les points de la courbe 3—4 — 3 suivant laquelle le cylindre AA' est pénétré par le cylindre CC. La voûte CCf est ce que l'on nomme une descente droite, tandis que le cylindre BB' est une descente biaise.

207. On développera le cylindre CC en opérant comme nous l'avons dit au n° 189, c'est-à-dire que Ton construira le plan vu, perpendiculaires la direction du cylindre CC; on obtiendra par ce moyen la section droite CM rabattue sur le plan horizontal vu\ on rectifiera la section droite t?"t*V (fig. 55), et Ton construira le développement C" auquel on a joint ici les deux triangles D égaux à leurs projections D' sur la fig. 53.

208. Pour développer le cylindre Bff, on construira : 1° la fig. B", qui est une projection du cylindre B sur le plan vertical A'Z', parallèle à sa direction (190); 2° la section droite zx rabattue en B" sur le plan horizontal xz' \ 3° la section droite rectifiée x'z'W {fig. 48) ; 4° le développement B,v, auquel on a joint ici les deux triangles rectangles E, E projetés dans leur véritable grandeur sur la fig. 49.

La fig. 47 est le développement du cylindre horizontal AA'.

209. Dans l'exemple qui est représenté sur les fig. 34 et 35, les deux- cylindres proposés étant perpendiculaires aux plans de projection, sont les deux surfaces projetantes de la courbe de pénétration. Il n'y aura donc aucune opération à faire pour obtenir cette ligne, dont les projections se confondent avec les tracés des deux cylindres ; lesquelles traces seront en même temps les sections droites , ce qui permettra de construire trèsfacilement les développements A" et V ' (fig. 36 et 37). En général, lorsqu'on cherche la ligne de pénétration de deux sur-

78 imioiiuGuoN. ». 9.

fooea, il fout prendre, autant que possible, un des plana de projection perpendiculaire à Tune des deux surfaces données, parce que cette surface déviant alors l'une de» deux surfaces projetante* de la courbe demandée. Or celle disposition d'épuré pourra toujours être obtenue, lorsque l'une des deux surfaces données ewe un plan, un priera» ou uneyiindfe.

iXQ. Surfàm cernons». Noua avons étudié précédemment quelques-unes des propriétés du cône circuimire ois de révolution (68, 70, etc.) ; mais il est souvent utile de considérer les aurfeea* coniques sous un point de vue plus général. Une merfeux conique eel le lieu de l'espaça qui contient toutes Isa positions d'une ligne droite asstqettie, dans son mouvement, à passer toujours par un point immobile que Ton nomme sommet du cône. La droite mobile se nomme gémèrmtricô du cône* on suppose ordinairement qu'elle doit a'appuver sur une courbe que l'oa nomme directrice* Lorsqu'un cône aura pour directrice me courbe du second degré, le cône sera lui-même du setond degré. Si la directrice est une ellipse, le cône sera elliptique (fit. U pi. »).

211. Projection An c4ne. La directrice d'un eône étant donnée, on prendra sur oefite ligne autant de points que Fon voudra , paie on fera paeser une génératrice par chacun de ces pointa et par le sommet du cône» Pour construire les trtum du côoe, on prolongera les génératrices jusqu'aux plans de projection. On peut prendre pour directrice d'an cône une ligne quelconque qui serait coupée par toutes les génératrices. Mais pour simplifier le travail graphique, on prend souvent pour directrice une courbe plane parallèle à l'un dss plana de projection ou située dans ce plan* Si la directrice du eône est une courbe fermée, les projections de ce cône seront contenues entre certaines limites que l'on doit déterminer» Supposons, par exemple (fig* 1) , un cône qui aurait pour directrice In courbe 1—2—3—4—5».... située dans le plan horizontal ; les deux tangentes *~4, «~*8 seront les limites de la projection horizontale du cône, et lea deux droites s*-~2', J-~7' seront prises pour limites de la projection verticale.

loppe la surface du oôoe en opérant comme pour une pyramide oblique qui aurait un grand nombre de faoes. Ainsi , en prenant sur la trace du eéne des points assez rapprochés, on pourra, saas erreur sensible, remplacer, par on triangle plan , la petite portion 4e surface conique comprise entre deux points consécutifs de la trace et les génératrices correspondantes. Tous ces triangles , construits dans leur véritable grandeur et placés à côté les uns dea autres , formeront le développement s' — 1"'— 6"' — 1" du cône projeté [fig. 1). Pour obtenir les génératrices dans leur véritable grandeur , on les fera tourner autour de la verticale projetante du sommet jusqu'à ce qu'elles soient parallèles au plan vertical >de projection.

£13. Pour construire dans le développement un point mm' appartenant à la surface du oéne, on le rabattra en m" sur la génératrice correspondante , et de là en m'" dans le développement de la surface. En recommençant cette opération pour tous les pointa d'une ooarfbe quelconque qui serait située sur kt surface du cône , on obtiendrait tous les points de cette courbe dans ladéveloppement

214. Projeetkma ékHUgaam dn oéne eireolfldM. Lorsqu'un coee circulaire , terminé par une base perpendiculaire à «on axe , est projeté sur un plan parallèle à cet axe , la projee- *ioû (fi§- 3) est nu triangle isocèle sW. Pour compléter la projection sur l'autre plan , il faudrait obtenir la trace du cène eu la projection de sa base. Mais où pourra souvent éviter la eonstraelKMi de ces courbes, en employant pour directrice de la surface du cône la section par un plan p incliné , de manière que la projection de cette courbe soit une circonférence de cercle.

£15. Pour déterminer l'inclinaison de la section aV, de manière (que In projection borizoatale de cette eourbe soit une circonférence de cercle, on prendra sur l'axe du cône un point quelconque ayant pour projections les deux points od. Du point o', comme centre, on décrira une circonférence tangente aux deux droites sV,sV, qui forment les limites de la projection verticale du cône. La circonférence dont nous venons de parler sera évidemment la projection d'une sphère qui serait inscrite dans fecône proposé. On tracera les deux perpendrcu-

laires t?t?', qui couperont les lignes s'c' aux quatre points a',a',e\e'. Enfin, les droites da', cV, diagonales du quadrilatère a'a'e'e', seront les projections verticales des deux ellipses, dont les projections horizontales se confondront avec la circonférence zxxx décrite du point o comme centre avec o'z' comme rayon. Les deux tangentes sx,sx seront les limites de la projection horizontale du cône. Les points de tangence x,x seront déterminés par le moyen géométrique connu, ou par la perpendiculaire x'x abaissée du pointa' suivant lequel se. rencontrent les traces des plans p et p'.

216. Pour construire un point appartenant à la surface du cône et qui serait donné par sa projection verticale m', on tracera la génératrice s'm'. Le point n', suivant lequel cette génératrice rencontre la directrice a'a' , se projettera sur le plan horizontal par l'un des deux points n,n , ce qui donnera les projections horizontales des deux génératrices $n9sn, qui ont s'n pour projection verticale commune. Enfin , -la perpendiculaire m'm déterminer^ les deux points m^tn qui se projettent tous deux par le point m'. La base c'c' du cône étant un cercle incliné , sa projection horizontale sera une ellipse que Ton pourra construire pas ses axes. Le centre O étant déterminé, on fera OU égal à. OV, ce qui donnera le grand axe UU de l'ellipse demandée. Les extrémités c,c du petit axe seront déterminées par les perpendiculaires c'c, c'c.

217. Dans' l'exemple proposé ici comme sujet d'exercice, la trace du cône doit être une ellipse (114). Les génératrices s'c', s'c' percent le plan horizontal en deux points GG qui sont les extrémités du grand axe de l'ellipse cherchée. Le point I, milieu de la droite CG, sera le centre de cette courbe, et le petit axe EE, projeté sur la ligne ÀZ par un seul point I'„ doit être égal au double de la ligne l'E'. En efiet, l'axe EE , perpendiculaire au plan vertical de projection , est une corde commune à l'ellipse GEGE et au cercle provenant de la section dn cône par le plan BD perpendiculaire à son axe. Si donc on rabat cette dernière section sur le plan vertical, Tune des extrémités de la corde EE viendra se placer en E' sur la circonférence décrite du point B comme centre avec le rayon BD, ce qui déter-

>t. 9. GÉOMÉTRIE MêGRIPTIVB. 81

minera la longueur de VE' Moitié de EE, second axe de l'ellipse CECE.

218. Si du point I, comme centre, on décrit Tare de cercle CX* et ai l'on détermine lé point X" Suivant lequel cet arc sérail touché par la tangente *— X", l'ordonnée X"X' détertnifiéi'a les points X,X* et par conséquent tes deux tangentes **-X qui ooffiplétéot la projection htoisostale du cône. Ces drôtes doivent être tangentes à la éif conférence imzxn. Enfin ou rematqiiei** ponr troisième vérification, que les points X",X*X,X', doivent être tous sur la tfttée horîa&ntale.du plan yX'X* qui ftffltlefit t'fntméctidn sa! des plan* p et p\ On obtiendra les foyers «b epéftmt eotnme fions l'avons dît où u° 87.

219. intersection detf MftéS et des cylindres. Pout tmtm- f# ôourbe prwmn*t dé r%nt#-*ectiôn d'un cylindre et fftm *6në [fa 1 et 8), on pfaééfa lé cylindre péfpéndfcûlàfféttéttt à rtib dés plans dé pMjéétiôn ; la trace du tyliftdfé sur <* plan détféttt atot* la ptojéëtfou dé la éourbé, et il né reste pins qtf* nteftêr deé péfpondiétf aiféé p«r lés pointé suivant desquels cette tracé est renetmtrëé par les préjééttatoé des généirâtose du 6tatf »

tt& Si te (M»é est éfrôfltairë (/ty. 5), on pôuwà employer potsr dteeétfiéé sa bwé «V ttbattaé éfi étf ', ou (a st&tiôn êlliptiqué qtrt a peut pwjééfîon ftorteôntàle la àmûtemtèaà, que l'on déterminera en opérai CôttMé ttéUfe l'avoué dit au n* ÉÏ5. Les /lp. A" et B" sttBf les développements du éyliudre et du cône* 9» te f^ufe 9 on n'a construit que lé développement du tiôna

Mi mur mwttt a* twfte fmmmt êé VM#9è<Atoh de

dMètêhè* OftéUttSirtlifll (/fy. g) la droite (âW, sue) qui jôibt tostâftliiéfsiléidtifttitafes, pils par édtte droite on fera pasëer (tes plané (168> Gtarcun de ces pfaas ééntéuant tes dent sortime» éèupéfe te* étoes suivant des lignes droites qui , pa* tews Sâtéflfèdtléiis» doimeroH< les points dé ta courbé demandée. Ainsi, par exemple, le plan p <5§ttpO le éôtté (A, A') suivant débf géôéwariéSS {*,*) (M1)» * ** oôttér (B,!T) suivant les détffc lignes (MO (*,*). €és qaatre lignés don tient, pat leur* htfltfgftfièns , lés quatre poih» («>«*'... ).

222. Si Ton ne pouvait pas obtenir sur l'épure la trace de l'un des deux cônes donnés, il faudrait opérer de la manière suivante.

Supposons que l'on veuille construire la courbe de pénétration des deux cônes circulaires AA' et BV (fig. 14 et 15)* On prendra l'un des deux plans de projection , perpendiculaire à Taxe de l'un des deux cônes B,B' dont la trace sera une circonférence de cercle. Le second plan de projection devra être choisi perpendiculaire au plan DIK , qui contient la base du cône AA', de sorte que les deux projections de cette base seront la droite riv' et l'ellipse nv. Là droite so,sor, qui contient les sommets des deux cônes , percera le plan DIK en un point dont les deux projections seront </,c.

223. Si par la droite *o,s'o' on conçoit un plan quelconque dont l'intersection avec le plan DIK serait la droite cm, ce plan coupera le cône AA' suivant deux génératrices dont les pieds a,a seront déterminés par la rencontre de la droite cm avec l'ellipse nv. Ce même plan p couperait le cône BB' suivant deux génératrices ob%ob dont les pieds bjb seraient déterminés par la rencontre de la trace mn du plan p avec la circonférence du cône Bff , et les intersections des deux génératrices *ay$a par les deux génératrices ob,ob détermineront les quatre points u,u>u,u, dont les projections vf,u\u',u! seront situées sur les projections verticales des mômes génératrices. %

224. Si l'on n'a pas sur l'épure le point suivant lequel la droite sojo' rencontrerait le plan horizontal de projection, on concevra par le point m' un plan FGH parallèle au plan DIK, et perpendiculaire par conséquent au plan vertical de projection. Les intersections des deux plans D1K,FGH, par le plan p, seront deux droites parallèles cm,sn, et les points m et n suivant lesquels ces deux lignes percent le plan horizontal de projection, détermineront la trace horizontale mn du plan p. On déterminera de même les traces de tous les plans que l'on fera passer par les sommets des deux cônes.

225. Si Ton ne veut pas construire l'ellipse nv, ou si les intersections de cette courbe par la droite cm se font trop obliquement, on rabattra le plan J>IK sur le plan horizontal de projec-

lion (fig. 16). Par suite de ce mouvement, la base nv%riv* du cône AÀ' sera la circonférence n V, le point ce' se rabattra en c" et la droite cvm coupera la circonférence nV suivant les deux points d\a" qui, ramenés en «,a sur la droite cm, détermineront les deux génératrices sa^sa du cône AA'. On peut aussi, comme vérification , rabattre le plan FGH, de sorte que le point *,* ' viendra se placer en *", et la droite t"n, parallèle à c"m, déterminera le point n sur la trace horizontale du plan FGH.

226. Pour obtenir les points a/,x' suivant lesquels les courbes de péaétration u'oda1 sont touchées par les génératrices fié du cône AA', on construira {fig. 15} les traces m"n", m'" ri", etc., de quelques-uns des plans qui contiennent la droite «o, s'o'9 de manière que deux ou trois de ces plans ne rencontrent pas la circonférence qui forme la trace du cône BB'. On abaissera du point o une perpendiculaire sur chacune des traces m», m V, m'V, etc., etc., et Ton tracera la courbe dr qui contient les pieds de ces perpendiculaires. L'intersection de la courbe dr avec la trace circulaire du cône BB' donnera le point z par lequel en tracera la tangente m'n'. Cette droite sera la trace du plan qui contient les points xx*9 xx*7 que Ton déterminera en opérant comme on Ta fait pour les points u, u'.

227. Si les axes des deux cônes se rencontrent comme dans le cas actuel , le plan vertical se? qui contient les deux sommets sera un plan de symétrie , ce qui simplifiera beaucoup les opérations. Ainsi , par exemple, en traçant (fig. 15) la droite mnnn symétrique de m», on déterminera sur le cône BBr les deux génératrices qui contiennent les points symétriques des quatre points u, u, u, «i, et dont les projections verticales se confondent avec tes points u',u'....

228. intersection des sphères, cylindres et cônes. Trouver la courbe provenant de l'intersection d'une sphère et fun cylindre- Pour obtenir l'intersection de la sphère (A* A') et du cylindre (B,B', fig. 18), on construira un plan vertical p parallèle aux génératrices du cylindre; ce plan .coupera le cylindre suivant deux droites (b, b'\ La section dans la sphère sera le cercle aa\ et les intersections de ce cercle par les droites {b,V) donneront quatre points (ti, u'). En recommençant cette con-

84 iimuuwciio*, H» 9.

straetion , on obtiendra autant de pointa que l'on vouds*. Pan» lf exemple que noua avons chpisi , il y a deux courbes, ce qui ferme une pénétration dans la sphère. Los deu* fi§» Bf; et B'" sont le* 44f eteppernente des partie* du cylindre RB' qui sont extér rieurs à la sphère.

829. Construire la courbe provenant de l'intersection d'un* sphêra et d'un sont- Soient {/ty* 21) la sphère A, A' al la cane donné B, B', on construira par le sommet du cône un plan vertical jpjce plan coupent le cône suivant deu* lignes droites (6, b\ h"), que l'on rabattre an lea faisant tourner autour dç la verdie projetante du sommet La section da la ephè/e par ee mm plan sera le cercla «", et lea quatre points (4*",u"„,..) feront partie de la courbe cherchée} en ramenant le plan p à sa plane , las pointa u", u'\ u'\ u" viendront se projeter en (u9u, t*.,.)» d'où il sera facile de déduire lenra projections ver* ticelee (uf, #\ u'..,), et ainsi de suite. Les ftg. B" et B" sont les développements dea parties des cônes qui sont en dehors de la sphère 5 ces développements s'obtiendront en opérant comme SU n* 312,

230, Si lia trace du cône était un cercle , on pourrait employer comme surfaces çeupsotes, des plans parallèles au plan de projection* Dans ce cas {fa 13), les sections Aws le cône et dans la spbàrê jperiMent des cercles parallèles au pian horizontal de projection, On devrait aussi faire usage de plana parallèles aux ptona de projeetious si le sommet du cône n'était pas aur l'épure ; alors on obtiendrait pour section dans le cône, des courbes psr&Uèlee et semblables à aa trace, et la coastruotioa de $?s courbes ne présenterait aucune difficulté. Cette inétbode pourra encore être adoptée (fig. 9) pour obtenir le courbe dHeterssGtion d'une sphère aree un cylindre eircubnre «pis l'on peu* considérer nomme un cône dont le sommet serait infiniment éloigné,

931. Pour construire la courbe provenant de l'intoreeofon ûê dm$ ephêm* on projettera les deux sphères donnée* AAr et BB' (fig, 17) aur un plan parallèle à la ligne des centres co/o'. La projection verticale de la section se*a le droite u'n', la projection horisootale aura pour grand axe aasvu'n', et pour petit a*e un, projection horizontale de u'n'.

I*. 0. GÉOMÉTiU* ffgftltlPTIVE. tf$

>3îf ffurfoces 4* révPlPttpp. Iflisqn'on w* ox^atfcr un splidç 4c révolution, il faut le projeter de la manière la plus simple, et Top doit *lors prendre uo plan de projection perpendiculaire À 99U «e, Mais lorsqu'il est nécessaire de projeter le corps dans une position inclinée, les opération* deviennent plus difficile?- Dans ce cas, on peut concevoir (fa 4) nn0 suit? de sphères qui auraient lew* centres sur l'a?* de la surface donnée et qpi toucheraient nne section ojéridienne oc, Que) que soit le plan stp lequel toutes ces sphères seront projetées, la courbe tangent & leurs projections sera, te lifnito de la prpjsptjon de la surface, On peut encore supposer (fig,19) la, snrôuo coupée par m certain npntfw de plané perpendiculaires & son axe. Cbatjue section circulaire a poor projection une ellipse, et la courbe tangente a toutes ces ellipse* forme |e contour de la projection.

233. Cette manière d'opérer convient évidemment pour les arêtes circulaires de la surface 5 maie pour les autres parties, elle ne donne le contour de la projection que d'une onoière *P<proxupfttiye, et laissa de l'incertitude $ur la position do en*tains points singuliers, tels que a, <», 0, 0, Pour obtenir une grande pwtitude, nn conçoit une suite de plans tangents perpendiculaires an plan sur lequel on veut projeter la surface, ou, ce qui revient au ujême, parallèle h une droite pp' perpendiculaire an plan de projection ê 09 détermine le point do tangoon* pour pbaquo plan tangent , çt r?n projette la courbe qni contient tous ces points do tienne, Qu trouvère dans le traité de Géométrie descriptive tew les détail? relatif* à wtf* opération, qui d'niWenrs n'est pw nécessaire ponr résoudre te* questions Suivantes,

234. Intersection des surfaces de révolution «m fc wOnélm W fatum, *tç, ftyr cçueiiwe ce* lignes, on pewt toujours appliquer le principe général 4e n° l W, et couper le* deu* surfaces p*r do? plans f niais lorsque la sprface de révolution *w? son *w perpendiculaire à l'un des plans de projection , l'opfératipn deviendra trèMrçple. Eneflnt, lorsque l'on emploie des pJnns perpendiculaires à l'axe d'une surface de ré* volution, on a l'avwtygP de eoiiper cette surface suivant des

cercles qui se projettent par des cercles; de sorte qu'il n'y a plus qu'à construire les lignes suivant lesquelles ces mêmes plans coupent la seconde surface. Dans le cas de l'intersection avec une sphère, des plans perpendiculaires à l'axe de la surface de révolution couperont les deux surfaces suivant des cercles. Il en serait de même s'il s'agissait de deux surfaces de révolution dont les axes seraient parallèles.

235. Pour construire la courbe d'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes ne se rencontrent pas, on prendra l'un des plans de projection perpendiculaire à l'axe de l'une des deux surfaces données , et le second plan de projection parallèle aux deux axes. Supposons, par exemple (fig. 10, 11 s et 12), que la surface AA' soit perpendiculaire au plan horizontal , la projection de cette surface sera limitée par celle de son plus grand parallèle, et sa projection verticale sera une section méridienne.

L'axe de la surface inclinée BB' étant également parallèle au plan vertical , sa projection , sur ce plan , se composera d'une section méridienne , et pour construire la projection horizontale,, on emploiera l'un des moyens indiqués aux n°* 232 et 233.

Cela étant fait, on coupera les deux surfaces par un plan pp que nous supposons ici parallèle au plan vertical de projection. La section de la surface AA' par le plan pp sera une courbe osas; la section de la surface BB' par le plan p se composera des deux courbes zvz, et les intersectious de ces dernière»

lignes par la courbe osas donneront les quatre points u,u\

qui devront faire partie des courbes de pénétration demandées (164). La section des deux surfaces par un second plan déternera quatre autres points. Un troisième plan en donnera encore quatre , et ainsi de suite.

236. Avant d'aller plus loin, il est nécessaire d'entrer dan» quelques détails sur la construction des courbes asa$9zvz. La première de ces deux lignes ne présentera aucune difficulté, puisqu'il suffira d'élever des perpendiculaires à la ligne AZ, par les points suivant lesquels la trace pp du plan coupant rencontre les projections horizontales des parallèles que l'on aura dû établir d'avance sur la surface AA'. Pour faciliter la construction

des deux courbes zvzy il faudra également établir un certain nombre de parallèles sur la projection verticale de la surface BB\ Mais pour éviter la construction des ellipses qui représenteraient les projections horizontales de toutes ces circonférences de cercles, on les projettera sur le plan auxiliaire DHK, perpendiculaire à l'axe de la surface inclinée BB', puis on rabattra cette nouvelle projection B" en la faisant tourner autour de la trace horizontale du plan DHK , ou de toute autre droite horizontale prise à volonté dans ce plan. Les parallèles de la surface BB' seront représentées sur la nouvelle projection B" par des cercles concentriques , et les intersections de ces circonférences par la trace du plan pp feront partie de la courbe cherchée. Il ne restera donc plus qu'à faire revenir tous ces points à leur place. Pour y parvenir on les projettera d'abord sur le plan horizontal IVH que Ton fera revenir dans la position DH, d'où chacun des points cherchés devra être ramené par une perpendiculaire au plan DHK, sur le parallèle auquel il doit appartenir. Ainsi, par exemple, le point o, projeté en o', viendra se placer en o", d'où l'on déduira sa projection verticale om.

237. Pour plus d'ordre on fera bien de numéroter les parallèles sur les deux projections B'et B", et Ton diminuera le travail en choisissant de préférence ceux qui ont des rayons égaux, afin qu'ils aient une projection commune sur la fig. B". On devra aussi choisir la position des plans coupants auxiliaires, de manière i obtenir les points les plus essentiels des deux courbes de pénétration. Ainsi, par exemple, si l'on veut obtenir les points suivant lesquels ces courbes touchent le méridien principal deMa surface A Ar, on coupera les deux surfaces par le plan vertical p'p qui contient l'axe de cette surface. Le plan p"p" déterminera les points situés sur la section méridienne principale de la surface BB'.

Dans le cas où l'on n'aurait pas d'autre but que d'obtenir la ligne de pénétration des deux surfaces proposées, on pourrait se dispenser de construire la projection horizontale de la surface inclinée, les projections B' et B" de cette surface suffisant, avec celles de la surface A, pour déterminer complètement la courbe demandée.

238. surfaces réglée*. PoUf Vintértoction Suite surface réglée par Une autre totfâcè, je itie éontefltétei encore de rappelé* quêlques-ute des prtodpes établie dahs la Géomètre descriptive. Aiiisi, pour tfbtètti* Yîiiimëéliàtl d'une éurface réglée et d'an cylindre, oïi coupefà les Amx surfaces par déë plans parallèles au cylindre et contenait les génératrtces de là surface féglée.

239. fctar YinteTÈtctiôfi dW Mit fade réglée àM uH édnè , on emploiera des pl&tis pàâ&nt par lé feototoël du cône et dont chacun contiendrait une des génératrices de la surface donhée.

240. Pour Yintersectlott dbèc une surface de rêvolutiori, oti ètàploietàdes plàris perpetidictilàites à l'axe de la surface.

241. Enfin pouf l'intersection dé deuûc turfaées réglées (fi0. 22), on construira un plan projetant j>, contenant là génératrice ûù9a'tf ; ce plan coupera la seconde surface réglée, suivant une gourbë do,cV, facile à Construire, et ridtérsection de dette conrbe avec la droite â,a! détértïiiflera un poiilt u,U\ coffitnUù aut deux surfaces. On tfeeoinifièneëfà dette construction qui déterminera tous le* poîbfô de la courbe demandée tfU,t)'ti\