INCONNUES

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57. 1" Problème. Étant donnés a,b,c, trouver A,B,C. On placera les trois faces données à côté les unes des autres, comme on le voit (fig. 11), et Ton prendra une distance quelconque srri=8m", que Ton portera à droite et à gauche du point $, sur les deux côtés extérieurs des faces a et c.

Si maintenant, on fait tourner la face a autour de l'arête sv, pour la ramener à la position qu'elle doit occuper dans l'espace, le point m' décrira un cercle dont le plan sera perpendiculaire à l'arête sv7 et dont la projection sur le plan de la face 6 sera représentée par la droite m'm; si l'on fait tourner pareillement la face â autour de l'arête su, le point m" décrira un cercle qui aura pour projection la droite tn"m. Or, quand les deux faces a et c seront revenues à leur place, le point m' et le point m", qui sont à égale distance du point *, ne feront qu'un seul et même point, et ce point devant être en même temps dans les deux plans m'm^mvm9 fera partie de leur intersection , qui , étant perpendiculaire au plan de la face 6, se projettera sur cette face par le point m.

L'angle trièdre étant reformé, l'angle G, qui exprime l'inclinaison des faces a et 6, aura son sommet en h, et sera projeté sur le plan de la face b par la ligne hm qui sera l'un de ses côtés. Pour avoir la grandeur de cet angle, il suffira de le faire tourner autour de hm pour le rabattre sur le plan de la face b, dans la position mhm'". La perpendiculaire qui contient le point m prendra, datis ce rabattement, la position mm,n\ on déterminera le point m'" en décrivant du point ft, comme centre, un cercle dont le rayon hrri", égal à la ligne hmr, sera le second côté de l'angle C. Une construction analogue donnera l'angle À rabattu sur le même plan, dans la position mkm™.

Pour obtenir l'angle B, on concevra par le point dont là projection est m, un plan perpendiculaire à l'arête sm. Ce plan , qui contiendra l'angle B, coupera la face a suivant une droite perpendiculaire à sm, et représentée par m'v dans le rabattement de la face A ; ce même plan coupera la face c, suivant la ligne rft"w, perpendiculaire sur sm", et la face 6 suivant vu; de sorte (Jue les trois droites m'v,vuym"u, seront les trois côtés du

PL. 9. GÉOMÉTRIE ftÊSCRItTIVB. 27

triangle au sommet duquel se trouve l'angle B, que l'on connaîtra en construisant le triangle vuz.

58. Si la face 6 était égale à la somme des deux autres, le point m serait sur l'arc de cercle m'om", les angles A et C seraient nuls et l'angle B vaudrait deux angles droits. Si la face b était pins grande que la somme des faces a et c , le point m se trouverait hors du cercle m'om", et Ton aurait ml£>mlh; ce qui serait absurde, puisque l'angle trièdre étant reformé, mh est la projection de rh'h; enfin , s'il y avait dans les données quelque condition d'impossibilité, elle se manifesterait toujours par la construction de l'épure. J'engage le lecteur à changer les données de manière à reconnaître ce qui arriverait dans toutes les hypothèses. Il fera bien aussi de résoudre la même question en supposant que quelques-uns des angles donnés ou tous les trois sont obtus.

59. Si du point m, comme centre , avec un rayon égal à mm,n, on décrit un arc de cercle, cet arc doit passer parle point m1*; car il résulte de ce qui précède , que les deux droites mm'" et mmn représentant le rabattement de la même ligne. Enfin , les deux angles shm,shn étant droits, leurs sommets doivent se trouver sur la circonférence qui aurait sm pour diamètre.

60. 2e Problème. Étant donné* a,b,C , trouver c,À,B, on placera d'abord les deux angles a,6, à côté l'un de l'autre {fig. 11), et Ton prendrale point fn' à volonté. La perpendicu-* taire abaissée du point ni' sur l'arête $0, donnera eri h le sommet de l'angle C, et comme la valeur de cet angle est donnée par la question ; que, de plus, on sait que W doit être égal à hm\ on pourra construire le triangle rectangle mhm", ce qui déterminera le point m. On abaissera de ce point la ligne mm" perpendiculaire sur l'arête su, et décrivant Tare niorrl\ on aura le point m", et la face c sera connue. Les angles À et B s'obtiendront comme dans le problème précédent , qui ne diffère de celui-ci que par l'ordre des opérations.

61. 3e Problème. Étant donnés a,A,C, trouver b,c,B. Oti construira d'abord l'angle a {fig. 13), et l'on prendra le point m1 à volonté. La perpendiculaire abaissée de ce point sur l'arête sv donnera en h le sommet de l'angle C. On construira le triangle

rectangle mhm"1, dont on connaît l'angle aigu C, donné par la question et l'hypoténuse km'" égale à hm! ; le point m sera connu. Pour obtenir le point #, qui appartient à l'arête su, on se rappellera (60) que ce point doit être situé sur la circonférence d'un cercle qui aurait «m pour diamètre. Décrivant cette circonférence, il n'y aura plus qu'à trouver la distance du point k au point m; ce qui sera facile, puisque cette distance est un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle, dans lequel on connaît un angle aigu A, donné parla question, et le côté opposé mm" égal à mm"' (figAl). Construisantdonc ce triangle mkm'" (figAS), il n'y aura plus qu'à ramener le point k en k! sur la circonférence shmk', et la face b sera connue. En opérant comme dans l'épure précédente, on obtiendra c et B.

62. Si au lieu de ramener le point kenk' à droite du point m, on l'avait ramené à gauche en &", on aurait encore satisfait aux conditions demandées; au lieu de la face b on anrait obtenu l'angle vsu\ la face c serait remplacée par u'sm? , et l'angle B par vzu' ; les faces c et u'smv seraient égales dans les deux solutions et ne différeraient que par leur position dans l'espace; il faut cependant remarquer que dans ce cas , l'angle donné A serait à l'extérieur du trièdre au lieu d'être tourné vers Tintérieur comme dans les exemples qui précèdent.

Ces trois problèmes suffisent pour le but que nous nous proposons ici. On trouvera la solution des trois derniers dans le volume qui contient les exercices et questions diverses.

63. Problème. On peut désirer connaître l'angle que l'une des arêtes fait avec la face opposée. Supposons, par exemple, que l'on veuille obtenir (fig. 12) l'angle myism que l'intersection des faces a et c fait avec la face 6. On rabattra cet angle autour delà droite sm> en remarquant qu'il appartient à un triangle rectangle ayant pour l'un des côtés de l'angle droit la droite sm, et pour second côté de l'angle droit, la droite mmvl=mm'" {fig. 11). On obtiendrait de la même manière les angles que les autres arêtes font avec les faces opposées.