CHAPITRE II

Hurfnee* «fe# corps ci courbe* de section.

64. On sait que les polyèdres sont des corps terminés par des faces planes. Il résulte de là , que les dimensions d'un polyèdre seront parfaitement connues , dès que Ton connaîtra la position de ses sommets; car la position des sommets déterminera celle des arêtes, et les arêtes détermineront les faces. Par conséquent, pour projeter un polyèdre, il suffira de projeter ses sommets. Supposons qu'il s'agisse d'un tétraèdre placé d'une manière quelconque dans l'espace. On déterminera (fig. 1, pi. 4) les projections horizontales et verticales des quatre sommets, et les droites qui joindront ces points, deux à deux, seront les projections des six arêtes du solide. •

Pour rendre plus facile à concevoir les projections des corps solides, on est convenu que l'on regarderait certaines lignes comme vues , et d'autres comme étant cachées, et que pour les distinguer on tracerait entièrement les lignes vues, tandis que l'on ponctuerait les lignes cachées. Pour cela on suppose, lorsqu'on regarde la projection horizontale d'un corps, que l'œil est placé au-dessus de ce corps à une distance infiniment grande, et lorsqu'on regarde la projection verticale, on est censé être placé devant le plan vertical de projection, et infiniment loin de ce plan.

Cette convention une fois adoptée, nous dirons qu'une ligne est vae, lorsqu'un point quelconque partant de cette ligne peut s'éloigner infiniment du plan de projection, en suivant une perpendiculaire à ce plan, sans rencontrer la masse d'aucun corps solide, et dans le cas contraire la ligne est cachée. Ainsi, par exemple, les deux lignes (1— 3,1'— i 3') (2— 4,2'— 4') (fig. 1) étant deux arêtes d'un même polyèdre, la première serait cachée sur

30 umtoppcTioN. . pl. 4-

la projection verticale. En effet, si Ton trace l'horizontale projetante du point m , il est évident qu'elle coupera les deux droites dont il s'agit, aux points m\m". Or, le dernier de ces deux points appartenant à la droite (2— 4,2'— 4'), on en conclut que cette ligne passe devant la droite (J-^3,1'— 3'), que, par conséquent, cette dernière ligne doit être tracée en points sur la projection verticale. Par un raisonnement analogue, on reconnaîtrait que la projection borizontale de la ligne (3 — 4,3' — 4') doit être ponctuée.

65. Lorsqu'on veut décrire un objet qui n'existe encore que dans l'imagination, et dont les projections sont destinées à diriger le travail des ouvriers, on doit prévoir le moment où il faudra obtenir, d'après le dessin , les véritables grandeurs des diverses parties de ce corps pour les transporter sur la matière dont il doit être composé ; il faut donc ehoisir le systèoae de plans de projection le plus propre à atteindre ce but. Ainsi, par exemple, s'il s'agit d'un prisme, on placera (fig. 2) une de ses bases abcde dans le plan horizontal, et Ton prendra pour second plan de projection un plan vertical parallèle aux arêtes; puis, après avoir construit la projection horizontale de la base supérieure , on élèvera , par chacun des sommets de cette projection, des perpendiculaires jusqu'à ce qu'elles rencontrent le plan horizontal mn, dont la position est déterminée parla hauteur que l'on veut donner au prisme que l'on projette. On voit qu'au moyen de la précaution que l'on a prise de placer le prisme parallèle au plan vertical de projection , toutes les arêtes de ce corps seront projetées sur l'un ou l'autre plan de projection dans leur véritable grancjeur.

66* 11 est encore plus simple, lorsque cela peut s'accorder avec la nature de la question , de placer le prisme que l'on projette dans une position perpendiculaire à l'un des plans de projection. C'est ce que Ton a fait (fig. 5) pour le cylindre circulaire, que l'on peut considérer comme un prisme droit dont le nombre des fyces serait infini. La figure 3 contient les deux projections d'un cône circulaire. Enfin, lorsqu'on veut projeter une surface de révolution (fig. 6j, on choisit ordinairement u" des plans de projection perpendiculaire ù Taxe de la surface

donnée. La seconde projection de cette surface est alors une section méridienne que Ton nomme méridien principal , parce que son plan pq est parallèle au second plan de projections. La courbe abcd est la section méridienne principale.

Seciion*.

67. Problème. Construire la section d'un polyèdre par un plan. La figure demandée se compose évidemment de toutes les lignes suivant lesquelles le plan donné coupe les différentes faces du polyèdre. On pourrait donc chercher les traces de toutes ces faces, et la question reviendrait alors à faire, plusieurs fois, les opérations que nous avons indiquées au n° 34, pour construire l'intersection de deux plans ; mais au lieu de chercher les intersections au plan donné avec les faces, il est presque toujours plus simple de déterminer les points suivant lesquels le plan coupant rencontre les arêtes du solide. Pour faciliter la recherche de ces points, on prend ordinairement un plan de projection perpendiculaire au plan donné, qui devient alors le plan projetant de la ligne de section. L'une des projections de cette ligne se réduit, ppr conséquent, à une droite qui se confond avec la trace du plan coupant , de sorte qu'il ne reste plus qu'à déterminer la seconde projection de la figure demandée.

68. Supposons, par exemple, que l'on veut obtenir la section du tétraèdre projeté (fig. 1) par un plan c'p , perpendiculaire au plan vertical de projection. Oq abaissera des perpendiculaires à la ligne AZ, par les points i/,o,V,?', suivant lesquels le plan p coupe les arêtes du polyèdre donné: on obtiendra, par ce moyen, les sommets du quadrilatère vozu qui est la pror jeotioa horizontale de la section. Si l'on veut obtenir cette figure <fens sa véritable grandeur , on la fera tourner autour d'une droite telle .que (€,<?') perpendiculaire au plan vertical 4e projection et située dans le plan p. Lorsque ce pjan sera dans la position horizontale c'p', on aura le quadrilatère v "o"z V pour la section rabattue dans sa véritable grandeur.