Pour première appïiçfttWp 4* &% <?WFb§*> wm
suppo*erp** OÎjr, 6) qre J'en wt flonitroif o mut w^ertore conique dans le pm 4e j^s iroti&f d'iw «qwMêj
On iuQomm Yépvrç tomme w*r h fif- 8. ftert-^rdiff que sur & jty. 0, la plan *ertipd d* p*PJasiH>P ô©r* p*^ peqdiculftjre au plan 4& comble donné. *
Les combes pic pénétraticm dij cane à travers les plans des deux latfis serpnt des ellipses, dont les projections horizontales et lç rabattement se construiront en opérant comme nous l'avons dit aux ii^ll6y\16eiil7 (introd.).
La lunette' conique sera comme cette de la fig. 2 , composée de quatre pièces de bois; savoir, deux traverses borizoBtalos dtogfW* $ur fe fig, fl par 4f$ fciçfe|ir$3 plus fp»aé«s, $t de*** wgptwte fotàam p?ajpt& <m* yr^s grandeurs aup I# /ty, l?f
Pour qow tfw e miie flg«r§ m pf (Jj^t6» tes* ï#* p^ipM mmfaU «r le pla© w, qm J'pp mn^rn dœs Ja p^itic* M at qm rp» rebâtis» m U i^mni twmwmfauftte <$ trace feoriapptaU!,
Le» dea* plans qui sswpsepwmt gaine #x h çap de
bois étant parallèles , il s'ensuit que les deux cour&fiç ite péiréfcratiPH WUt d*UK aUJpsae ae^ftWaMp* .; Igf «cadres dp P*§ d^tt» pilipiPS IPltf &&*& s»f Ja dwte £*r«g, fl» «Wtie©t lp wmvMt dtt pfoe 6* qui ?aa$# p?f J* P9ÎB* £ » milieu de 3 — 4.
Le point 5, projeté en 5', s'est avancé avec le plan v$ jusqu'en 5", M U a été mlttih* W 5'" m? te /îff. 12.
Les grands axes des ellipses de la fig. 12 sont égaux aux dwittifl 1^-3, 3^ 4e h #0. fi aU<* P?*ift a*<* peuvent é\trp d^fmii^ pa optant P<W¥i$ *w*U* l'avo^t $it au n° J16(wfrod.)-
pi. 34. sBcnoNB «hhquk. m
l*t fera* 4'MfjembfogQ 4f* quatre pitot» de la lunette dont il s'agit ipif sont «U* plans Tertiœw* paront pwr r«œ duçto«,
I) ré«4te 4? U qpe k* iu4t<» d? joint* Mot 4e* génér** trices de la surface conique, c'est pourquoi les projections de ctf lignes wr la /Sflf. 13 dtirent ronwurir «l IIP point qui h'a pft ét4 flo^m ici , *nai* que l'on pourrait facilemmt téUiïifo en df Hpi* du <*d*« p» projetant le tram** du cône sur le plan vs (fig. 6).
485 . On peut établir facilement un point de vérification pour la projection de chacune des arêtes de joint sur la
Ar.12.
En effet, les pieds des quatre génératrices avec lesquelles coïncident ces arêtes se projetteront sur la fig. 6 par deux points a, c.
Ces peints projetés sur le plan «s seront amenés en a', é sur le pl*n M, à*oii on les rabattra sur la fig. ifi.
On obtiendra ainsi les quatre points a" et t" qui , étant joints avec la projection du sommet sur le plan w rabattu (fig. 14), détermineront les quatre arêtes de joint de la lunette.
486. Les faces extérieures des deux montapts latéraux sont déversées; chacune d'çlles est déterminée parl'arétç située dans la face extérieure du comble et par une droite perpendiculaire à ce plan.
487. La fig, 7 repente Ja travers supérieure et l'un des montants latéraux,
4ft8, Peur tailler les wf&œe ftwiqufis 00 tracera les oewbtt diptetrâfls dan* te* facae £prra<pondpntes d«e sdidre dent les dîmenaion^ seront déterminée* par Les fig. 6 et 12.
«0* projettera, sur les fig. 6 et 12, Les points suivant
•M CKftJftfcEiB PLANÉS, #£: 54
Totites ces Courbe* ont été projetées sttf le plan Vu', qtle l'on a fait avancer jusqu'en b V et qtle l'on a ensuite rabattu «tir le pl*n horizontal de projection; Le sommet du cône mtérieur* projeté sur le plan &V et rabattu tù s Sûr le planboriaonul de projection, est le feutre des deux hypefboleé 4 et 2, et lé point *, projection du sommet du cône intérieur, est le centre dea dent hyperbole* S et 4.
491 . Les droites s — 5 sont les asymptotes deè hyperboles 1 et 2, et les droites v — 6 sont les asjrmptoteft des hyperboles 3 et 4«
495. Les quadrilatères marqués en hachures sûr la fig. 9 sont les faces d'assemblage des chevrons du comble avec les pièces courbes du noulet.
493. La courbe entière §e Composera de plusieurs morceaux que Ton pourra tailler séparément.
Déil* Ce cas, on déterminera sur la /fy. 9 les dimensions du pâfalléliplpéde atyWfc Capable de côùteilit la pièce que l'on veut tailler ; l'épaisseur de ce parallélipipède sera égalé à ltt distaiieë des deux plans parallèles bu, Vu' entre lesquels le nonlôt doit être compris.
Où itktétà èdfr les fteeà de ce parallélipipède (fy. lé) les arcs d'hyperbole 1—1, 2—2, 3-^*3, 4—4, qui doivent èètiiï de directrice* aux dent surface* coniques, et l'on marquera Mit ces courbes les points de repères qui doivent dirige* le Mouvement de là règle génératrice.
Ces points seront déterminés en construisant Sur la fig. 9 les projections des génératrices des cènes Correspondants*
Le* génératrices du cône Intérienr seront dirigées vers le point v, tandis que les génératrices du cône extérieur doivent passer par le point S.
PL. 34- SECTION CÔMGWfiS. «55
Noukt inctint.
494. Pour le noulet dont la projection est fâbâtttié sur la fig. 1 1 , on a supposé que le comble conique est appuyé sur lifa pâik de bois parallèle à lit géûérâtriéé W du cbùë (fig. 4) ; il résulté de là que le* àféiéfc dii iitralët doUt quattfe pâf aboles que Ton pourra construire par l\iit dés môyéttfe qtii ôtitété indiqué* att* il*8 i20, l2S (totfod.).
Le point e ou tout autre point étant déterminé pàt là méthode dû ùd Î2Ô, oh portera ÀB de A ètt C, Ce qui déterminera la bmgéûte Ce.
La droite KF, perpendiculaire Stif lé miliëti dé Ce, doftnérk le pôittt F pôut lé foyëi4 de là parabole 2—2.
Enfin, la distancé AF étant reportée dé A en D, là droite MN pé^énditulài^ë kMt BC sefa la directrice.
Lé ïèynt F et la dfrétitrléé MN de la pàtabole â— 5 éUtit CbmIUS, btt pôùtfà tdùsti'uife dette édUrbé pâi1 lé mOyéfi indiqué au ù4 125 (fafrbd.).
Oft tfrUtiVferit dti là même maniéré lé fayétf et là directrice ptrafrfcliàitfuâe dèë ttttiS aÛtfes ébtrirbès.
Le* dftùt pàhibttlfeé 1 et 2 jttôviènnëht de là action du éôtié ëktértfeur pàt Ué plan» ta, étf et le* déûtt paraboles 3 et 4 , résultent de la rencontré dés mémète plans atéé le tbhè intérièdt.
Tous les points situés dans le plan cd ont été projetée fctifr lé plàh è'd' qiie Voh a fait èn&trité hvânéét jusqu'en i*tP àVààt dé le abattre sttr lé platt hdriiôtttkl.
495. Les quadrilatères marqués avec des hachures Sont les faces d'assemblages des chevrons ou arbalétriers du comble conique avec les courbes du noulet.
On peut vérifier la direction des cotés droite dé ces quadrilatères en déterminant les points suivant lesquels
la trace horizontale du plan cd est coupée par les plans verticaux qui forment les faces latérales des chevrons de la voûte conique.
496. On remarquera que sur la fig. 11, les paraboles 1 ef. 2 se coupent en deux points et qu'il en est de même des paraboles 3 et 4.
La position exacte de ces points d'intersection peut être facilement vérifiée.
En effet, supposons (fig, .18) qu'un cône circulaire soit coupé par deux plans p et p' parallèles entre eux et parai* lèles à la génératrice sa.
Les courbes de section seront deux paraboles dont les projections sur un plan p", parallèle aux plans p et p', se couperont en deux points ri, ri ; pour déterminer ces points on coupera le cône par un plan quelconque qy , perpendiculaire sur les plans p et p'. Cette nouvelle section sera une ellipse projetée sur le plan vertical par la droite ce.
Le point o, milieu jde <$, sera le centre de l'ellipse et la droite $o contiendra les centres de toutes les ellipses semblables suivant lesquelles le cône donné serait coupé par des plans parallèles au plan qy; et par conséquent perpendiculaires au plan p etp'.
La droite so percera les plans p et p' en deux points x et z.
Or, si parle pointu, milieu de xzy on conçoit un plan qy', perpendiculaire au plan p et j/, la section du cône par ce plan sera encore une ellipse cV, semblable à celle qui résulte de la section par le plan qy.
Les quatre points nfn^ n, n suivant lesquels les deux paraboles 1 — 1, 2 — 2 rencontrent Pellipse cV, seront à égale distance du centre u de cette ellipse. Ils seront donc situés sur deux droites perpendiculaires au plan p" et
PL. 3S NOULETS CYLINDRIQUES. 267
par conséquent leurs projections sur ce plan se réduiront aux deux points /»',/*'.
497. Les pièces courbes de \afig. 1 1 se tailleront comme celles de la fig. 9. Pour obtenir les points de repères sur les courbes du noulet, on construira sur cette figure les projections des deux sommets , ce qui permettra de tracer les projections des génératrices des deux cônes , et l'on marquera sur le bois les points suivant lesquels ces génératrices rencontreraient les paraboles de la fig. 11 .
Nous avons supposé, dans les exemples qui précèdent, que des voûtes cylindriques, sphériques ou coniques se raccordaient avec la surface plane d'un comble, en pénétrant celte surface ou s'appuyant sur elle.
La PL 35 contient encore quelques combinaisons du même genre.
Noulet cylindrique.
498. Lesjig. 3, 10, 9 et 11 contiennent les projections et les détails relatifs à la pénétration d'un comble à deux versants dans le pan de bois cylindrique d'une tour circulaire (fig. 2).
Les plans parallèles p et p' entre lesquels se trouve compris le pan de bois incliné qui forme le comble A, coupe les deux cylindres circulaires et concentriques qui comprennent entre eux le pan de bois de la tour C, suivant quatre ellipses dont les projections verticales sont les traces des plans p et/>', et dont les projections horizontalep se confondent avec les arcs de cercles, bases des deux cylindres formant les surfaces intérieure et extérieure du pan de bois circulaire.
258 COURBES PLANES. PL. 3g.
499. Tous les points de la pièce de bois formant 1 aréte de pénétration de la tour et du comble A, ont été projetés sur le planp'. Cette projection, rabattue (fig. 11), peut s'obtenir en faisant tourner le plan pf jusqu'à ce qu'il soît arrivé dans la position horizontale pn.
500. On peut augmenter la force de la pièce courbe qui contient l'arête de pénétration de la tour et du pan de bois incliné B.
Pour cela on terminera cette pièce extérieurement par un plan vertical qui aurait pour trace la droite ao
Par ce moyen, les fibres ne seront tranchées que du côté correspondant à la face cylindrique qui doit faire partie de la surface intérieure de la tour ronde. Ainsi , la surface latérale delà pièce dont il s'agit se composera d'une surface cylindrique et de trois faces planes , savoir, la face qui est formée par le plan vertical ao [fig. 10) et les deux faces situées dans les plans q et q1 perpendiculaires au plan vertical de projection.
Tous les points de cette pièce ont été projetés sur le plan q' que l'on a fait tourner ensuite jusqu'à ce qu'il soit venu prendre la position horizontale q". Cette opération a donné \afig. 9 pour la projection de la pièce sur le plan q1.
Deuxième noulet cylindrique.
501. Les fig. 15, 16, 17, 18, 19 et 20 contiennent les projections et détails des deux branches du noulet suivant lequel les pans de bois inclinés du comble à deux versants qui est projeté (fig. 19), viennent s'appuyer contre
PL. 35- NOULETS CYLINDRIQUES. 259
la surface cylindrique d'un berceau cintré extérieurement
Les plans inclinés formant les surfaces extérieure et intérieure du comble rencontrent le cylindre circulaire formant la surface d'extrados du berceau, suivant des ellipses qu'il sera facile de construire par points ou par leurs axes.
502. Pour le pan de bois A (fig. 19) on a suppose que la brancbe du noulet était comprise entre deux cylindres concentriques ac,vu [fig- 16), tandis que la courbe qui appartient au pan de bois B {fig. 19) serait terminée du côté du comble par un plan zx, perpendiculaire à la projection (fig. 17) et parallèle par conséquent à la direction du berceau cylindrique.
Il résulte de ce qui vient d'être dit, que la courbe qui fait partie du pan de bois A de la fig- 19 sera comprise entre les deux plans qui forment les surfaces extérieure et intérieure du comble, et les deux cylindres projetés sur la fig* 1 6 par leurs traces ac et vu , tandis que la courbe qui appartient au pan de bois B (fig, 19 ) n'aura d'autres faces courbes que celle qui coïncide avec la surface extérieure du berceau cylindrique, ce qui permettra comme précédemment de conserver dans toute leur longueur une partie des fibres de cette pièce.
503. La fig. 18 est la courbe du pan de bois A ; tous les points de cette pièce ont été projetés sur le plan/? que l'on a fait tourner autour de l'horizontale projetante du point o, jusqu'à ce qu'il soit arrivé dans la position horizontale/?'; et la fig. 20 est la courbe B, projetée sur le plan q que Ton a ensuite rabattu en q\ en le faisant tourner autour de l'horizontale projetante du point //.
La droite GH sera le grand axe de l'ellipse; le point u\ milieu deG'H', et le point u, milieu deGH, seront les deux projections du centre et devront par conséquent se trouver sur une même verticale u'u.
La droite UU, second axe de l'ellipse, sera perpendiculaire sur GH et devra passer par le point 11. Enfin, les deux points UU, dont les projections verticales se confondent avec u\ s'obtiendront en agissant comme nous l'avons fait pour le point m, c'est-à-dire, qu'après avoir rabattu le point u en u", on en déduira la projection horizontale uw que Ton ramènera ensuite en U.
Les deux axes GH et UU de l'ellipse étant déterminés , on tracera cette courbe par la méthode du n° 361 .
Toutes les autres ellipses de \ajig. 21 pourront être tracées par la même méthode.
507. On remarquera , comme vérification , que les centres u' etx'des deux ellipses G'Hf et O'K/ (fig. 7), sont situés sur une même droite Tfxr, qui aboutit au sommet Tr du cône formant la surface intérieure du comble, et que les centres v et n! des deux ellipses C'P' et RrQr sont situés sur la droite Sr — ri qui passe par le sommet du cône qui forme la surface extérieure.
Cela résulte de ce que les sections d'un cône par des plans parallèles sont des courbes semblables dont les centres sont toujours situés sur une droite qui contient le sommet du cône.
508. Pour la pièce N on a remplacé la surface conique extérieure par une face plane qui contient la droite 1 — 2
PL. 35- NOULETS CONQUES. 263
et la droite horizontale 2 — 3 , parallèle au plan vertical de projection.
509. On aurait pu se proposer de satisfaire à cette condition que les faces planes de cette pièce se coupent suivant des angles droits.
Pour cela, on prendra un point quelconque &,V, situe sur l'arête 1 — 2 ou sur le prolongement de cette arête; les droites k — 5, h! — 5', perpendiculaires sur les traces 2 — 6, et 1'— 2? du plan 1# — 2# — 6 seront les projections d'une droite perpendiculaire aux lattis du comble B , et le plan qui contiendra les droites 1 — 2, k — 5 sera par conséquent perpendiculaire sur les deux faces planes et parallèles de la pièce N.
Malgré cet avantage d'avoir des angles droits sur les arêtes de la pièce N, on peut préférer la première combinaison qui donne des angles moins aigus pour In face d'assemblage avec la sablière L.
510. Pour tracer les bois, il faut obtenir lés courbes dans leur véritable grandeur. On y parviendra en construisant les fig. 6 et 8.
511. La première est la projection de la pièce N sur le plan YF", parallèle au pan de bois incliné qui forme le comble B, et la fig. 8 est la projection de la pièce M sur le plan XQ" parallèle au pan de bois incliné À.
Les deux projections 6 et 8 sont rabattues sur le plan vertical qui contient la droite FQ; la distance de chaque point au plan vertical FQ est déduite de la fig. 21 et portée (%. G et 8) à compter des droites YF", XQ", sur les per-
Puis on en déduira les projections M" et N" sur un plan parallèle à S — 8, en supposant , comme nous l'avons fait ici, pour éviler la confusion , que chacune de ces p:èces aurait fait un quart de révolution autour de Taxe du cône en tournaut Tune à droite et l'autre a gauche.
Dans ce mouvement, chaque point décrit un quart de cercle projeté sur la fig. 7 par une droite horizontale, et sur la fig. 21 par un quart de cercle, d'où il résulte que chacun des points des fig. M'" et Nm sera déterminé parla rencontre de l'horizontale menée par le point correspondant Atsjig. M' ou N' avec la verticale élevée par la projection horizontale du même point sur les fig. M"' ou N'".
514. Les ellipses auxquelles appartiennent les courbes des projections M'" et N'" peuvent être facilement tracées par leurs axes.
En effet, par suite du mouvement que nous avons supposé, les quatre centres u\\>,x\z' viendront se projeter sur la verticale S' — 3r.
Les horizontales des points C'R'G'O'H'K'P'Q', détermineront les points C"K" G" 0"H"K"P"Q" pour les extrémités des grands axes , et les petits axes seront égaux aux petits axes des mêmes ellipses projetées sur la y%. 21 avant le mouvement de rotation.
L'ellipse G"'H'" [fig. 21) est la seule dont on ait conservé la projection horizontale. Cette courbe n'est autre chose que l'ellipse GH à laquelle on a fait faire un quart de révolution.
515. Pour ne pas embarrasser l'épure, on n'a indiqué que les fa et s d'assemblage, mais il est bien entendu que
PL. 35- NOULETS CONIQUES. «67
dans le tracé sur le bois on devra conserver à l'extrémité de chaque pièce l'excédant de longueur nécessaire pour tailler le tenon.
Deuxième noulet conique.
516. Dans l'exemple qui précède, deux pans de bois inclinés du comble plan B,A venaient s'appuyer contre la surface extérieure d'un comble conique.
Nous supposerons actuellement qu'un comble de forme conique est construit à l'angle d'une croupe droite (fîg. 23) et s'appuie sur les deux plans qui forment les surfaces extérieures du long pan et de la croupe.
Les Jig. 13, 12, lk, 24-, 25 contiennent les projections et rabattements de toutes les pièces qui résultent de celle combinaison.
ha Jig. 2b est la projection horizontale du comble conique, appuyé sur l'un des angles de la croupe qui est projetée (fig. 25).
517. Dans l'exemple précédent, le noulet était compris dans l'épaisseur du comble, et ses deux branches appartenaient par conséquent aux pans de bois inclinés B et A, tandis que dans l'exemple actuel le noulet est pris dans l'épaisseur du comble conique, et ses branches sont posées sur les faces extérieures de la croupe.
ha Jig. 13 est une projection sur un plan perpendiculaire à la face de long pan.
Cette disposition d'épuré a pour but d'obtenir des lignes droites pour les projections verticales des ellipses
qui forment les arêtes de la pièce projetée en N sur l;i
fois.
518. II ne faut pas oublier, en général , toutes les fois qu'il faudra déterminer les différents points d'une ligne résultant de la section d'une surface courbe par un plan, que les opérations seront considérablement simplifiées par l'usage d'un plan de projection perpendiculaire au plan coupant.
Cela provient de ce que ce dernier plan devient une des surfaces projetantes de la courbe cherchée, qui alors se projette en ligne droite, et dont la seconde projection est toujours , dans ce cas, très-facile à obtenir.
519. L'épure étant disposée comme il vient d'être dit, la branche N' du noulet sera comprise entre le plan G'P qui forme la surface extérieure du long pan de la croupe, et le plan R'Q' qui forme la surface intérieure.
La distance des deux plans C'P' et R'Q' dépend de l'épaisseur que l'on veut donner aux branches du noulet.
Les droites C'P\ G'H', R'Q' et O'K' seront les projections verticales de quatre ellipses dont les projections horizontales pourront être construites par l'un des moyens indiqués aux n" 456 et 458.
Les centres de ces quatre ellipses sont projetés sur les droites SV et TV, passant par les sommets des deux cônes qui forment les surfaces extérieure et intérieure du comble conique.
Les extrémités U, X, V, Z des petits axes de ces ellipses seront dé terminées en opérant comme nous l'avons dit nu n° 459.
PX. 35. NOULETS CONIQUES. 269
520. Les projections verticales des points U, X, V, Z se confondront avec celles des centres u, x9v, z.
521. On remarquera, comme vérification > que les quatre points U,V,X, Z sont situés sur la droite SZ qui contient le centre de la projection horizontale [fig. £&)•
Cela provient de ce que les droites Sr — 1', T' — 2', génératrices des deux cônes qui forment les surfaces extérieure et intéreure du comble conique, sont parallèles.
Il résulte de là que ces deux cônes sont semblables, et que les quatre ellipses suivant lesquelles ils sont coupés par les plans C'P' et RrQ' sont semblables , et semblablement placées par rapport au plan vertical projetant de leurs grands axes.
Or, les deux ellipses C'P' et G'H' projetées sur la^îy. 13 étant semblables et semblablement placées, les points ho* mologues V9U(fig. 24) seront semblablement placés par rapport au point S, suivant lequel le plan C'P' est percé par Taxe du cône. Il résulte de là que les trois points S, U, V seront en ligne droite; de sorte que les deux lignes SV. TU seront toutes les deux situées dans le même plan vertical; et comme on sait de plus que les lignes SV,TU doivent contenir les points Z et X, il s'ensuit que les quatre points U, X,V, Z auront leurs projections horizontales (fig. 24) sur la droite SX, trace du plan vertical qui contient les deux droites S V, TU.
522. Si l'on fait tourner autour de Taxe du cône le plan vertical qui contient les quatre points U,X,V,Z, on obtiendra U",X",Y", Z" qui se trouveront sur deux droites 3'— V", V— Z'\ parallèles et passant par les points 3' et V.
soit venu prendre la position SQ. Par suite de ce mouvement chaque point aurait décrit les trois huitièmes d'un cercle horizontal v et la projection N serait venue se placer en N", d'où l'on déduira facilement la projection N'" en élevant une perpendiculaire par chacun des points de la nouvelle projection N" jusqu'à la rencontre de l'horizontale pissant par le point correspondant de la projection N'. Ainsi, par exemple, le point m étant ramené en m" on tracera la verticale du point m" et l'intersection de cette droite avec l'horizontale du point m! déterminera le point m'".
On peut construire comme vérification :
1° Le point 7m suivant lequel le pro'ongement du côté 8 — 9 perce le plan horizontal qui contient la base du cône;
2° Le point 3' suivant lequel la même droite perce le plan C'P';
3° Les points m"\m\m\ situés à la même hauteur sur la figAZ, doiventavoir leurs projections horizontales m'^m.m sur la même circonférence, ayant pour rayon la distance de l'axe au point suivant lequel la droite T' — 2' serait coupée par l'horizontale m'mm.
529. Diamètres conjugués. Si Ton veut construire entièrement les ellipses qui forment les arêtes de la projection Nf", il faudra opérer de la manière suivante :
Proposons-nous, par exemple, de construire la nouvelle projection G'"H'" de l'ellipse GH,G'H' (/%. 13 et 24).
On remarquera d'abord que cette courbe ayant tourné autour de la verticale du point S d'une quantité égale aux
PL. 35 NOULETS CONIQUES. 273
trois huitièmes de la circonférence, aucun de ses deux axes n'est parallèle au plan vertical de projection, et les projections de ces deux lignes ne se coupent plus à angle droit.
Or, si avant le mouvement de rotation on conçoit l'ellipse dont il s'agit, ou seulement le quart de cette courbe inscrite dans un rectangle dont les côtés Gl9\\J {fig. 24), seraient parallèles aux axes ; la nouvelle projection verticale de ce rectangle sera le parallélogramme GwIwUw'i*"' (fis- *3), et la question sera réduite à inscrire dans ce parallélogramme le quart de l'ellipse demandée.
Or, lorsqu'un parallélogramme est circonscrit à une ellipse et que les quatre points de tangence sont les milieux des côtés de ce parallélogramme, les droites qui joignent les points de tangence opposés sont parallèles aux côtés du parallélogramme circonscrit, et ces droites passant par le centre de l'ellipse se nomment diamètres conjugués. Je renverrai aux traités spéciaux pour l'étude des propriétés géométriques des diamètres conjugués, et je me contenterai pour le moment de rappeler comment ces deux lignes étant connues, on peut construire la courbe.
530. Soient {Jig. 1 et 5) les deux diamètres conjuguées GfWGw,U™Uf" de la courbe que l'on veut construire; sur l'un d'eux comme diamètre, on décrira la circonférence U'"aU"'a, et Ton construira le triangle u'"G'"a dont les côtés sont connus; puis, sur une ordonnée quelconque ce du cercle , on fera un triangle cent"' semblable et parallèle au triangle umGwa. Le point m!11 appartiendra à l'ellipse demandée.
En recommençant , on obtiendra autant de points de la courbe que Ton voudra.
Les droites tr, tangentes au cercle et à l'ellipse, doivent être parallèles à la droite aGw, de sorte que les points de tangence r^r étant déterminés par le diamètre perpendiculaire sur aG"', on peut en déduire les points tt.
La construction précédente est la conséquence de propriétés dont il faut chercher la démonstration dans les traités de Géométrie.
531. Le cercle auxiliaire peut être décrit indifféremment sur le grand ou sur le plus petit des deux diamètres donnés (fig, 1 et 5).
532. Sur la fig. 13 on a employé la construction de la fig. 5, les points analogues sont désignées par les mêmes lettres.
Pour obtenir les diamètres conjugués de l'ellipse G'H' ramenée dans la position G'"H"'; on a remarqué d'abord que le point 3', suivant lequel le plan de cette ellipse est percé par l'axe du cône, ne doit pas changer de place.
Le centre u\ étant projeté en u (fig. 84), si on lui fait parcourir trois huitièmes de révolution , il viendra se projeter en u", d'où l'on déduira sa nouvelle projection verticale u'" sur l'horizontale du point u\
La droi teG'V'H"' sera donc l'un des diamètres conjugués dont la longueur sera déterminée par les deux horizontales des points G' et Hr (Jig. 13).
La droite horizontale 3 — n {fig. 24), située dans le
PL. 35- NOULETS CONIQUES. 275
plan de l'ellipse GH, viendra prendre la position 3-i-n'et le point ri, projeté sur l'horizontale du peint 3' déterminera n" peur la nouvelle projection du point n (fig. 13).
Le point nn étant connu, on tracera la droite IVD"', parallèle à G"'Hm, ce qui donnera le parallélogramme GmlmUwum9 circonscri t au quart de l'elli pse demandée, don t les diamètres conj ugués seront , par conséquent , les droi te*
Gma,\uwcMf.
On décrira le quart de cercle Uma et l'on construira le triangle uwaG'" dont les trois côtés sont déterminés par les opérations précédentes.
Cela étant fait, le triangle cent*", semblable et parallèle au triangle uf"aG"r donne un poinf mm de la courbe , et la même opération répétée fera connaître autant de points que l'on voudra (530).
On n'a conservé 4ci que les opérations nécessaires pour construire le quart de l'ellipse; mais si l'on voulait obtenir la courbe entière, il est évident que l'on devrait construire entièrement le cercle auxiliaire U"'a (fig. 1 et 5).
Si l'on veut déterminer le point s'", suivant lequel l'eU lipse GWH*' touche la génératrice T'/', limite du cône.
On remarquera que ce point situé sur l'ellipse GH et dans le plan vertical de l'arête de croupe était primitivement projeté en s sur la fig. 24.
Sa projection verticale était alors en /sur la trace verticale C'P' du plan qui contient l'clHpse demandée.
Or, par suite du mouvement que nous avons supposé, 'le point 5*', décrivant trois huitièmes de circonférence , a
dû venir se projeter en $", d'où sa nouvelle projection verticale 5r"a pu être déterminée par l'intersection de la verticale du point s" avec l'horizontale du point s'.
Sections planes de la sphère.
533. La section d'une sphère par un plan est toujours un cercle, mais lorsque le plan dont il s'agit n'est pas parallèle ou perpendiculaire au plan de projection , la courbe de section se projette par une ellipse.
Supposons, par exemple (jig. lfc, PL 36)» qu'une spbère  soit coupée par un plan y'a, perpendiculaire au plan vertical de projection.
La courbe de section sera un cercle projeté sur le pian vertical par la droite *>V.
La projection horizontale du même cercle sera une elKpse que Ton pourra obtenir par points ou par les axes.
534. Construction par points. Pour construire la projection horizontale d'un point quelconque, dont la projection verticale m1 serait choisie à volonté sur la trace vu! du plan coupant , on supposera ce point rabattu en m" sur le méridien principal de la sphère; la verticale abaissée du point m" déterminera m!" que l'on ramènera par un arc de cercle sur la perpendiculaire abaissée du point m1.
Cette opération déterminera les deux points m, m qui ont le point m! pour projection verticale commune.
535. Si Ton veut construire la courbe par ses axes, on tommencera par déterminer le point oo\ centre de la
PL. 36- NOULETS CONIQUES. 277
section , en abaissant par le centre de la sphère la droite cV, perpendiculaire au plan coupant v'vl.
La droite zx, égale à fV et perpendiculaire au plan vertical de projection , sera le grand axe de l'ellipse demandée, dont le petit axe vu sera déterminé par les perpendiculaires abaisséesdes points v1 et u\
La perpendiculaire abaissée du point e' déterminera les deux points e,e, suivant lesquels l'ellipse touche le grand cercle qui limite la projection- horizontale de la sphère.
536. Si l'on veut obtenir la courbe de section rabattue dans sa véritable grandeur, on fera tourner le centre o^o1 autour de l'horizontale projetante du point a*
Cette opération déterminera le point o" pour centre dé la circonférence cherchée que l'on pourra décrire en pre* nant le rayon oV égal à oVi
537. Lajîg. 17 contient les deux projections et le rabattement du cercle qui proviendrait de la section d'une sphère À par un plan vertical vu.
Les opérations pour déterminer la projection elliptique de la courbe demandée sont les mêmes que dans l'exemple précédent, à cette différence près qu'il faudra faire sur le plan horizontal les opérations qui , sur la fig. ik , appartenaient à la projection verticale, et réciproquement.
538. Pour obtenir le cercle rabattu en oV7, on a fait tourner le plan coupant autour de sa trace horizontale vu; dans ce cas, la distance du centre o" à la droite vu em-
ployée ici comme charnière de rabattement est égaie à la hauteur o'h du point o au-dessus du plan horizontal de projection.
Le rayon oV' du. cercle rabattu est égal à la moitié de la droite fi#>
Noulet sphérique.
539. Potr première application de ce qui précède r bous supposerons que Von» veut construire tes branches* courbes d'un noulet suivant lequel un comble à deux versants serait appuyé contre la surface extérieure d'une ▼ouïe sphérique (Jtg. 7).
On disposera l'épure comme on le voil[/ig. 4,8, 9 et 1 0) . La branche de noulet projetée en M sur \nfig. 8 est limitée extérieurement par ui> plan vertical bd, tandis que la seconde branche projetée en N est comprise entre deux sphères concentriques AlBrCf,DrETr(^. 4).
La première de ces deux sphères forme la surface extérieure du comble sphérique proposé, tandis que la seconde , celle qui est projetée par le cercle D'E'F, dépend de l'épaisseur plus ou moins grande que l'on voudra donner à la branche du noulet..
Les ellipses tracées sur la fi g. 8 sont les projections* horizontales des cereles suivant lesquels les sphère» À'B'C7, D'E'!?1, sont coupées par les plans qui- forment les* surfaces extérieure et intérieure du comble.
Ces courbes peuvent être construites par points oi* par Heurs axes en opérant comme sur \ajig. 14.
Ainsi , par exemple , un plan horizontal PQ couneca les-
PL. 36- NOULETS SPHÉRIQUES. • 270
sphères A'B'C^D'E'F' suivant deux cercles concentriques dont les rayons seront déterminés par h fig* k\ lesarcs ac,ac, décrits avec ces rayons sur \afig* 8, contiendront quatre points dont les projections horizontales a,a9c,c, seront déterminés par les perpendiculaires abaissées des points d^c'de la/%, *.
Si Ton veut, au contraire, employer la méthode des axes , on remarquera que les centres des cercles suivant lesquels les deux sphères sont coupées par les faces planes du comble sont situées sur les droites OT, O'S', perpendir culaires à ces faces.
On pourra done obtenir facilement les centres et les axes des ellipses de \ajig. 8.
540.. La fig. 9 contient la projection de là branche M sur le plan GH que Ton a rabattu en le faisant tourner autour de l'horizontale projetante du point H , et la fig. 10 est la projection de la branche N sur le plan GKL rabattu autour de l'horizontale projetante du point K.
Les projections des deux arête» courbes dé la fig. 9 sont des arcs de cercles eoneen triques, dont le centre 1" est la projection commune des points F, V.
Les rayons de ces cercles sont donnés par la fig. 4, et les quatre arêtes courbes de la J%. 10 ont pour centre le point S" suivant lequel les deux points S',S'(fîg. k) se projettent sur le plan GK.
541. On pourra construire comme vérification sur la fig. 9 l'ellipse À"V, projection commune des deux cercles A'0',O'B' (fig. 4) qui contiennent les deux arêtes courbes
«les quadrilatères formant les faces d'assemblage du noulet M.
Ou devra remarquer que si les deux cercles A'O', B'O' de Va fig. k ont uue projection commune sur la fig. 9, cela dépend uniquement de cette circonstance particulière que les deux plans GH,GK sont inclinés de 45° sur le plan horizontal.
On pourra construire également comme exercice sur la fig. 9 l'ellipse Tc"a", qui est la projection du cercle horizontal qui contient les points a,c (fig. k et 8).
Sur la fig. 10, on pourra construire comme vérification les deux ellipses C"U,F"Z.
La première est la projection commune aux deux cercles qui ont pour rayons les droites CX)', B'O1 {fig. h), tandis que l'ellipse F"Z est la projection commune aux deux cercles qui ont pour rayons les droites F'0',E'0'.
542. Loy*g\ 11 contient les projections des deux branches du noulet qui résulterait de la pénétration du comble précédent dans la sphère A'B'C
Ce noulet dilière de celui qui est projeté sur la fig. 8, en cela que ce dernier fait partie des pans de bois inclinés qui forment le comble plan, tandis que les branches du noulet projeté (Jig. 11) appartiennent au comble de la voûte sphérique.
Les opérations pour déterminer tous les points de la fig. 11 sont les mêmes que pour ceux de la fig. 8.
Les centres et les axes des ellipses s'obtiendront comme sur \afig. ih. Ainsi, le plan horizontal PQ [fig. k) coupe
PL. 36 NOULETS SPHERICITES, m
les deux sphères qui forment les surfaces extérieure et intérieure du comble spbérique, suivant deux cercles concentriques qui ont pour rayons les droites LT,LR; ce» deux cercles projetés sur la fig. li contiennent quatre points dont les projections horizontales am ,al", c"\cin seront déterminées par les perpendiculaires abaissées des points a^c'delafig. k.
Pour tracer le bois il faudra projeter les deux pièces X et Y de la^/îg*. li sur les plans GH , GK et rabattre ces projections comme on l'a fait pour obtenir \esjig. 9 et 10.
J'ai cru pouvoir supprimer ces détails qui n'auraient élé que la répétition de ce que nous avons vu plus haut.
Deuxième noulet sphèrique-
543. Lafig. 2 contient les deux projections du noulet suivant lequel un comble sphérique serait appuyé sur l'angle d'une croupe droite (fig. 1 ).
Pour construire cette épure , on devra , comme au n° 516, projeter le tout sur un plan perpendiculaire à l'une de» faces de la croupe. Si Ton prend comme ici , le plan vertical de projection perpendiculaire à la face de long pan, les courbes suivant lesquelles les plans inclinés du comble coupent la sphère, auront pour projections verticales les deux: droites acf, vu.
Les projections horizontales des mêmes courbes seront des ellipses que l'on obtiendra en opérant comme dans les exemples qui précédent.
Ces opérations diverses feront connaître tous les points de la pièce M,M\
5fc6. 11 est bien entendu que tout cela est indiqué ici comme étude, car il est évident que dans la pratique les côtés courbes du quadrilatère H seront toujours si peu étendus que Ton pourra les remplacer* par des droites.
5V7. Puisqu'il s'agit ici d'exercices, j'indiquerai encore comme vérifications :
1° Le point i,T suivant lequel se coupent les ellipses 1IT— s— 1,T et 1,T— om— nl\
Ce point est la projection commune des deux points V,e', suivant lesquels les cercles cfz'^c'e' percent le plan vertical c — 1IT. Ces deux points ne se projetteraient pas en un seul, si 1 angle ac'e' valait plus ou moins de 45°.
2° On peut construire le point kl'\ projection du point suivant lequel le cercle z'-~k' — n1 perce le plan horizontal de projection;
3° Le point 5" suivant lequel le plan va est percé par la droite z'c\ diamètre commun des deux cercles z1 — h!
elz'—\'(Jis.Z).
Enfin, on peut projeter ou vérifier ( un point quelconque 6"r en construisant successivement ses projections 6', 6,6" et 6"'.
Fautes sphériques,
5(8. Les courbes provenant de la section d'une sphère par un plan se retrouvent encore dans l'exemple qui est projeté sur la/%. 6, où Ton s est proposé de construire une croix de Saint-André dans un comble sphérique.
ri. 56 VOUTES SPHERIQUES. 285
Les deux branches de la croix sont assemblées par tenons et mortaises dans la sablière ac et dans une couronne horizontale mnvu , composée de pièces d'assemblage. .
On a supposé dans cet exemple que la face inférieure de la couronne était formée par un plan horizontal pu.
La construction de l'épure ne présente aucune difficulté. Les quatre arêtes de chacune des branches de la croix se* ront des cercles, dont les projections horizontales pourront être déterminées en opérant comme nous l'avons dit aux n°» 53fr ou 535.
\je& Jlg. A et B sont les projections des deux branches de la croix sur lés plans p et ç, parallèles aux faces planes de ces pièces.
Ces deux projections sont rabattues sur le plan vertical DH qui contient le centre de la sphère; la distance de chaque point à la charnière de rabattement peut être déduite de la projection horizontale , mais il sera plus simple de remarquer que les arêtes courbes des pièces A et B sont des arcs de cercles dont les centres et les rayons pourront être facilement déduits de la projection verticale
54.9. La voûte sphérique projetée [fig. 12) contient encore quelques applications des courbes planes.
Ainsi , les quatre pénétrations désignées par la lettre B sur le plan horizontal et par les lettres B', B" et B'" sur le plan vertical, sont formées par une partie de la couronne MN et par les montants verticaux projetés en B" et B"' dans leur grandeur véritable.
?86 COURBES PLANES. PL. 36 l
650. Pour soulager la portion de couronne qui forme le dessus de l'ouverture B', on a remplacé les chevrons par . deux croix de Saint- André.
La plus élevée , désignée sur le plan par la lettre A, est composée de deux pièces dont les faces planes sont formées par des plans verticaux.
Elles diffèrent en cela des pièces qui composent la croix projetée sur la^r. 6. '
551* Cette différence est motivée par la direction de la portion de surface sphérique qui est rencontrée par les faces planes des deux branches de la croix.
On conçoit, en edet, que sur la^/%. Son peut couper sans inconvénient la zone inférieure de la sphère par des plans perpendiculaires au plan vertical de projection, tandis que si la croix doit exister dans la partie supérieure de la sphère , il vaudra mieux employer des plaus verticaux.
552. Il résulte encore de ce qui vient d'être dit, que pour une croix comme celle qui est immédiatement audessus de l'ouverture B*, et dont le centre est à peu près à 45° d'élévation au-dessus du plan de naissance, il sera convenable d'adopter, pour les faces des branches courbes , des plans parallèles au rayon qui joindrait le centre de la sphère avec le centre de la croix.
Cette combinaison sera étudiée avec détails sur la planche 37.
553. La couronne horizontale MN est limitée en dessous par une surface de cône, excepté pour les parties
qui sont au-dessus des ouvertures et qui sont taillées horizontalement.
L'ouverture projetée sur le plan horizontal par le rectangle C est destinée à éclairer l'intérieur de la voûte.
Pénétrations.
554. Les sections d'une surface par un plan ne sont pas les seules lignes courbes que Ton rencontrera dans les applications.
Quelques surfaces placées dans certaines conditions particulières peuvent souvent se pénétrer suivant des courbes planes.
555. Ainsi, la sphère et le cylindre de la fig. 3 se rencontreront suivant deux cercles, lorsque le cylindre sera circulaire et que son axe contiendra le centre de la sphère.
556. Il en sera de même du cône et de la sphère qui sont projetés (fig. 5).
557. Le cylindre et le cône circulaire de \&fig» 13 ou les deux cônes de la fig. 16 se couperont suivant un cercle toutes les fois qu'ils auront le même axe , et deux sphères (fig, 15) ne pourront jamais se pénétrer autrement que suivant une circonférence doqt le pjan sera toujours perpendiculaire à la ligne des centres,
558. En général, toutes les fois que deux surfaces de révolution auront un axe commun elles se pénétreront
suivant un ou plusieurs cercles parallèles entre eux et perpendiculaires à taxe commun,
