Lafig. 18 -contient quelques applications de ce qui

Le comble sphérique projeté dans cet exemple est percé l>ar quatre ouvertures ou portes circulaires A.

Les pièces courbes qui forment les ci Dires de ces portes peuvent être considérées comme engendrées par le mouvement du pentagone 1 — 2 — 3 — % — 5 que l'on ferait tourner autour de la droite horizontale qui forme l'axe de la porte, de sorte que les faces de chacune de ces pièces sont:

1° Un plan vertical contenant la droite 5 — h ;

2° Deux cylindres circulaires et concentriques engendrés par les droites 1 — 5, 3 — k;

3° La surface conique engendrée par 1 — 2;

k* La zone sphérique comprise entre les deux. cercles 3-8,2—7.

Toutes ces surfaces se coupent et coupent la sphère suivant cinq cercles, parallèles entre eux et passant par les sommets du pentagone 1 — 2 — 3 — k — 5.

560. Les portions de voûte qui séparent les ouvertures A se nomment pendentifs.

561. La couronne mn forme une ouverture circulaire destinée à éclairer la voûte.

On peut considérer cette couronne comme engendrée par le mouvement du quadrilatère m qui tournerait au-

tour de Taxe du monument; de sorte que chacune des pièces de la couronne serait comprise entre les deux zones spbériques engendrées par les côtés courbes de ce quadrilatère , et les deux cônes engendrés par les côtés droits.

Il est encore évident que ces quatre surfaces se coupent suivant des cercles qui contiennent les sommets du quadrilatère et qui sont situés sur les sphères qui forment les surfaces extérieure et intérieure du comble.

Croix de Saint André.

562. Parmi les principes les plus essentiels de la construction, il faut compter celui qui exige que les différentes faces des corps se coupent suivant des angles droits.

Or, quand une pièce de bois fait partie d'un comble spbérique , et qu elle est comprise entre les deux sphères concentriques qui forment les surfaces extérieure et intérieure du comble, il est évident que les autres faces de cette pièce ne peuvent rencontrer les premières à angle droit, qu'autant qu'elles sont des cônes, ou des plans passant par le centre de la sphère, et si quelque motif ne permet pas de satisfaire à cette condition , il faudra tâcher de s'en écarter le moins possible.

Ainsi, dans la croix de Saint-André qui est projetée sur \*Jig. 6, PL 36, les faces latérales des deux pièces de bois qui forment les branches de la croix sont perpendiculaires au plan vertical de projection, et les plans qui contiennent ces faces, étant peu éloignés de l'horizontale projetante du point o, il s'ensuit qu'elles coupent les

deux sphères concentriques suivant des angles presque droits.

Dans l'exemple qui est projeté (Jig. 12), la croix de Saint-André désignée sur le plan par la lettre A, étant au contraire rapprochée de la verticale projetante du point C, on a pu sans inconvénient employer des plans verticaux pour les faces latérales des deux branches de la croix.

Mais s'il s'agissait de pièces situées environ à 45° Je hauteur, comme les deux branches de la creix qui est immédiatement au-dessus de la porte désignée sur \ajig. 12 par la lettre Bf, il est évident que des plans verticaux comme les faces de la croix désignées par la lettre A sur le plan de la voûte projetée (Jig. 12), ou des plans parallèles à un diamètre horizontal {fig. 6), couperaient les deux sphères concentriques suivant des angles trop

Ce qui semble le plus convenable au premier coup d œil , serait que les faces latérales des branches de la croix fussent formées par des plans qui contiendraient le centre de la sphère; mais alors ces faces ne seraient plus parallèles entre elles, et les pièces seraient moins solides et plus difficiles à tailler. C'est pourquoi on préfère employer des plans parallèles au rayon qui aboutit au centre de la croix.

Cette question offrant quelque difficulté, nous y consacrerons une épure particulière.

563. Lajig. 2 de la PI. 37 est la projection verticale d'un comble sphérique dont le plan est suffisamment indiqué sur lajig* 7.

On n'a conservé sur chacune de ces deux figures que les pièces nécessaires pour résoudre la question proposée.

Ces pièces sont, sur k\Jig. 2 :

1° La sablière S';

2° Les deux couronnes circulaires B' et L\

Ces trois pièces sont désignées sur la Jig% 7 par les lettres S , B et L.

Les couronnes peuvent être considérées comme engendrées par la révolution des deux quadrilatères D,E, qui tournerait autour de Taxe vertical du comble.

Les côtés courbes de ces quadrilatères appartenant aux arcs de cercles abtcd, il s'ensuit que deux faces de chacune des couronnes B et C coïncident avec les sphères concentriques qui forment les surfaces extérieure et intérieure du comble.

Les côtés droits des quadrilatères D et E ne sont pas dirigés vers le centre C ; pour plus de solidité, ces côtés resteront parallèles aux rayons qui aboutissent au milieu des côtés courbes, de sorte qu'en tournant autour de l'axe vertical OU les côtés droits du quadrilatère D engendreront deux cônes qui auront pour sommets les points i et -J. , tandis que les côtés droits du quadrilatère E engendreront deux cônes dont les sommets seront situés aux points 3 et k.

Indépendamment de la sablière S et des couronnes Jet L , on a projeté sur la^îg. 7 les deux chevrons courbes désignés par les lettres F, G.

Les faces courbes de ces clu vrons coïncident avec; ks

surfaces extérieure et intérieure du comble , et les faces latérales sont des plans verticaux, parallèles aux méridiens qui partageraient chacun de ces chevrons en deux parties symétriques.

Les données précédentes étant admises , il s'agit de construire une croix de Saint-André dans l'espace quadrangulaire compris entre les deux couronnes B et L, et les chevrons F, G (fig* 7), une des conditions essentielles étant que le centre de la croix coïncide avec le point oo1 qui partage Tare àU en deux parties égales

564. Construction de Vèpure. Les points o et o1 étant les projections horizontale et verticale du cerftre de la croix , on concevra le plan PH'H , perpendiculaire au rayon G à'.

Ce plan étant rabattu {fig. k) en tournant autour de l'horizontale projetante du point X,

On aura le point o" pour la projection du centre de la «phère sur le plan PH'H.

Les droites o"u qui se coupent au point o", suivant un angle égal à celui que doivent former entre elles les deux branches de la croix, seront les projections de deux grands cercles de la sphère , et les plans de ces deux cercles couperont, suivant des angles droits, les surfaces extérieure et intérieure du comble.

Les plans 7— 10 et 5— 11 , parallèles aux grands cercles o"a, seront les faces latérales des deux branches de la croix. L'écarlement de ces faces dépendra de l'épaisseur que Ton voudra donner aux pièces de bois.

565. On peut se proposer de satisfaire à quelque condition particulière; ainsi, par exemple, si Ton voulait que Tune des arêtes de la croix passât par le point 5 de la fig. 7, on projetterait d'abord ce point en 5' sur la^?g\ 2 , puis la droite 5* — 5", perpendiculaire sur PH', déterminerait le point 5" qui, rabattu sur la fig. k, donnerait le point 5 par lequel on tracerait la droite S— 11 tangente à un petit cercle décrit du point o" comme centre , avec un rayon égal à la moitié de l'épaisseur que Ton voudrait donner aux branches de la croix.

Si Ton prend le plan horizontal de projection AZ au niveau de la face supérieure de la sablière, la droite H'H sera la trace horizontale du plan PH'H.

Or, lorsque Ton fait tourner ce dernier plan autour de l'horizontale projetante du point X, la droite H'H vient se placer en H"H"\

Les droites o"a, 5 — 11 et 7 — 10 rencontreront la ligne H"H'" en trois points 11, a, 10, qui , ramenés dans le plan PH'H, deviendront 11', m1, 10?.

On joindra les points ul avec le centre C (fig- 7)( et les quatre droites 10'— 10", 11' — 11", parallèles deux u deux aux lignes Cm', seront les traces horizontales des plans qui doivent former les faces planes des deux branches de la croix.

Les intersections de ces plans avec les deux spht concentriques qui forment les surfaces extérieure et intérieure du comble, seront huit arcs de cercle dont les projections elliptiques pourront être obtenues sur la fig* 7 en opérant de la manière suivante.

566. Supposons, par exemple, que Ton veuille déterminer les projections elliptiques des quatre arêtes de la branche qui est désignée sur \afig> k par la lettre M' et sur la fig. 7 par la lettre M.

On prendra (Jig. 8) un plan auxiliaire de projection AZ' vertical et perpendiculaire sur les traces 10' — 10", 1 1/ — 11" des deux plans qui forment les faces latérales de la pièce dont il s'agit.

Le nouveau plan de projection étant rabattu (Jîg. 8) , on y construira en o'" la projection du point Ojo\ cette projection se déduira de la^%. 7, et sa hauteur au-dessus de AZ', doit être égale à la hauteur de o' au-dessus de AZ

On joindra o'" avec le point C" et les droites 10'" — là', 11"' — 13', parallèles à C'V", seront les traces verticales des deux plans qui contiennent les faces latérales de la pièce M, M' (/g-. 4. et 7).

La droite 14. — 15 menée par le point C" perpendiculairement aux deux droites 10"' — 12' et llm — 13', déterminera les points 14 et 15, qui seront les centres des quatre cercles suivant lesquels les plans 10' — 10'" — 12', 11' — 11'" — 13', coupent les deux sphères concentriques qui forment les surfaces extérieure et intérieure du comble.

Les rayons de ces quatre cercles sont les droites H — 12', H— 16', 15—13', 15—17', dont les extrémités 12', 13', 16' et 17', sent situées sur les deux cercles suivant lesquels les deux sphères seraient coupées par un méridien parallèle au plqn de la^/ïg*. 8.

Les grands axes horizontaux des ellipses demandées

seront égaux au double des droites lk — 12', 14 — 16', 15 — 13', 15 — 17' {jig. 8), les petits axes des mêmes ellipses se confondront avec la droite C — 18, perpendiculaire sur il' — il'", et les extrémités de ces petits axes seront déterminées sur \afig* 7 par les perpendiculaires abaissées des points 12', 13', 16' et 17' de la fiS- 8.

Les ellipses suivant lesquelles les arêtes de la se* conde branche de la croix se projettent sur la Jig. 7, étant égales aux ellipses dont nous venons de parler, on pourra se contenter de reporter les axes avec le compas sur les lignes qui représentent leurs projections horizontales.

567. Il est important de remarquer sur la Jtg. 8 que les centres 14 et 15 de toutes ces ellipses ne sont pas situées dans le plan horizontal qui contient la ligne AZ\ fie sorte que les grands axes ne doivent pas coïncider avec les traces horizontales 10' — 10'" et il' — 11'" des plans qui forment les faces latérales des branches de la croix.

Ces traces sont indiquées sur l'épure par des lignes de points ronds; quant aux grands axes des ellipses , ils n'ont pas été conservés.

568. De la condition adoptée dans cet exemple, que l'une des arêtes courbes de chacune des branches de la croix, devait passer par les points 5,5 de la^. 7, il résulte que les faces d'assemblage des extrémités supérieures des pièces M' et N' (fig. h) sont au nombre de deux , savoir :

1° Le quadrilatère 5 — 6 — 7 — 9, suivant lequel la

branche de la croix vient s'appuyer contre le plan vertical qui forme Vune des faces du chevron ;

2° Le triangle 5—6—8 suivant lequel la même pièce est appliquée contre la surface conique engendrée par la droite 21 — 19' [fig. 2).

Le côté courbe 5 — 7 du quadrilatère 5 — 6—7—9 [fig. k) est un arc de cercle situé sur la sphère qui forme la surface extérieure du comble et doit coïncider avec Tune des arêtes extérieures du chevron F. *

Le côté droit 7—9 du même quadrilatère provient de l'intersection de la face plane 7 — 10 de la pièce M' [fig, k) par la face verticale du chevron F [fig. 7).

L'arc de cercle 6 — 9 est situé dans la sphère intérieure et coïncide avec Tune des arêtes inférieures du chevron F.

Enfin , le côté 5 — 6 est une ligne courbe et fait partie de l'hyperbole suivant laquelle le cône engendré par la droite 21' — 4 [fig. 2) est coupé par le plan vertical qui forme la face du chevron F [fig. 7).

Ce dernier plan contenant le quadrilatère 5 — 6 — 7 — 9 [fig. 4), il s'ensuit que tous les points de cette figure sont projetés en ligne droite sur la fig. 7. Pour éviter la confusion on n'a pas conservé l'arête du point 9.

Le quadrilatère 5—6—7 — 9 étant situé dans le plan vertical qui forme Tune des faces du chevron F [fig. 7), sera une figure plane, tandis que le petit triangle 5 — 6 — 8 sera courbe puisqu'il doit coïncider avec la surface conique engendrée par les droites 2t' — fr [fig- 2).

Les côtés de ce triangle sout ( fig. 7) :

1° L'arc d'hyperbole 5—6 dont nous avons parlé précédemment ;

2° L'arc de cercle 6 — 8 qui coïncide avec 1 arête inférieure de la couronne engendrée par le quadrilatère E

(/gr.2);

3° Un second arc d'hyperbole 5 — 8 provenant de la secjon du cône quia pour génératrice la droite 21f — k {fig. 2), par le plan oblique qui forme la face latérale 5 — 11 de la pièce M' (Jig. 4).

Les sommets 5, 7 et 9 du quadrilatère 5 — 6 — 7 — 9 seront déterminés d'abord sur \afig. 7, par la rencontra du plan vertical qui forme la face du chevron F, avec les projections elliptiques des trois arcs de cercle qui forment les arêtes correspondantes de la pièce M.

Le sommet 6 [fig. 7 ) résultera de l'intersection du cercle: horizontal 19f — 20fde la couronne L' {fig. 2) par la face verticale du chevron F {fig. 7).

Enfin, le point 8 sera déterminé par la rencontre de Tare d ellipse qui forme la projection de l'une des arêtes de la pièce M avec le cercle horizontal qui contient le point 19.

569. Les côtés du quadrilatère 5 — 6 — 7 — 9 et du triangle 5 — 6 — 8 ont si peu de longueur, relativement à la voûte sphérique dont ils font partie, que dans la pratique on peut sans aucun inconvénient faire abstraction de leur courbure; mais dans un concours, dans un examen, dxm les épures d étude enfin , il sera toujours utile de reconnaître la véritable nature de chaque ligne.

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