PI

Lonqu'uiH ligat est très -courte, d'ailleurs, îl est pftiqua toujours impossible de bien détermîoer 5*1 direc-

i r le sens de M courbure, si Tort se contente d'en

construire Ici deux extrémités; tandis que si Ion pro-

lOBgt Ctttt ligQfl biw m delà de l'espace rigoureusement

Ira, elle sera parfaitement déterminée non-seule

mm ii i dnni «i» forme, mais encore dans sa direction.

SuppflfOtit, pur fxrmple, que Ton veut déterminer niltiri | l" forme tl surtout la direction bien exacte du | lt| mMc S^8 du triangle 5—6—8 (Jig. 7),

Ou ne rappellera (|ue cette ligne provient de la section du roue qui a pour génératrice la droite 21'— t (^g1. 8j par le plan oblique qui forme la face 5 — 11 de la pièce

Uapre* Cala, traçons {Jig, 8) la droite 2i" — 22" jiamllèU • kZ de lorte que la hauteur G"— 22" (>%. 8) soit

FftUtftt ensuite G"— 4' de la /%. 8, égale à C— 4 de Li S , l« point V sent projeté en k\ et le triangle isocèle Hl" — 4'— 8.3" ^/îjf. 8) sera la projection du cône qui a poifl .rainée la droite 21* — k (jig, 2)-

Or#fiOU8 avous déjà vu que le plan oblique qui forme la (are latérale 5 — tt de la pièce M* (Jig* k) aurait pour trace verticale la droite t T— 13' (/%, 8).

La question revient donc à déterminer sur la Jtg, 7 la projection horizontale de la courbe suivant laquelle le cône Slt1* — V — i «8* est coupé par le plan 13— 1 1" '— J t\ perpen itielUaire au plau vertical de projection rabattu (Jig.

Or, le plan 13— U — 11' coupant la généra In ce kf-

au point 24', et la génératrice opposée 4' — 21" au pain t 25'T on en conclura (474) que la courbe cherchée est une hyperbole dont on peut construire la projection en opérant comme aux n08 476 ou 479.

570. Construction par les asymptotes. La droite C — 1 8 1 parallèle au plan de projection de \*fig- 8, sera Taxe iransverse de la courbe demandée.

Le point 26'; milieu de la droite 24' — 25r, sera le centre, dont la projection horizontale sera située au point 26.

La droite 26' — 4', tracée par le centre 26' de l'hyperbole et par le sommet 4' du cône, sera l'intersection de-i deux plans tangents qui contiendraient le point 26,26', l'intersection de la droite 26' — 4' par le plan horizontal qui contient le cercle 23" — 21" que Ton peut considérer comme la base du cône, sera un point 27' dont la projection horizontale sera 27.

La droite 27 — 28, tangente au cercle 21 — 23, sera l'intersection du plan de ce cercle par l'un des plans tangents menés par le point 26,26'.

Le plan horizontal qui contient le cercle 23" — 21" ( ftg* 8) rencontrera donc l'un des plans tangents du point 26 suivant la droite 27—28 [Jig. 7); de plus il coupera le plan 11'%- 13' de l'hyperbole suivant la ligne 29— 29 , et le point 29 suivant lequel se rencontrent les deux droites 27 — 28 et 29' — 29 déterminera le point 29 et pnr suite l'asymptote 26—29.

Cette première asymptote étant connue, il sera facile de construire la seconde, et les sommets 25 et 24 étant déduits de leurs projections 25' et 24', on tracera la courbe en opérant comme nous l'avons dit au n° 479.

571. Si Ton n'avait pas assez de place sur i'épure pour faire toutes ces opérations, ou si Ton craignait que l'ubiquité suivant laquelle le plan 1 1"' — 13' coupe le prolonge ment de la génératrice V — 21" ne fût une cause d'inexactitude, on emploierait la construction par points en opérant comme nous l'avons dit au n° 476.

Ainsi, pour avoir la projection horizontale du point qui est projeté en m' sur \ajig. 8, on supposerait que ce point tourne autour de l'axe du cône jusqu'à ce qu'il soit rabattu en m".

De là on le projetterait en m'" sur la trace C— 21 du méridien principal, et le ramenant à sa place, on lui ferait décrire Tare horizontal m!" m jusqu'à ce qu'il fût revenu en m sur la perpendiculaire abaissée du point m de la

fiS- 8-

Cette opération donnera deux points m9m qui ont le point m! pour projection commune sur \*fig. 8.

On déterminera de la même manière les deux points nyn , projetés tous les deux en n\

572. On pourrait construire de la même manière {ftg. 7) l'hyperbole 30 — 31, suivant laquelle le même cône est coupé parle plan qui contient la face 5 — 11 de la pièce N' {fig.h)> mais il sera plus simple de supposer que l'hyperbole précédente a tourné jusqu'à ce que son axe transverse soit venu prendre la position C — 32, perpendiculaire à la trace horizontale 1 l' — 1 l" du plan qui contient la face 5 — 11 de la pièce N' [fig. 4).

Enfin , ou pourra employer les mêmes moyens pour déterminer quelques points éloignés des courbes telles que 33 — 34, suivant lesquelles les cônes qui ont pour généra-

trices les côtés droits du quadrilatère D (Jig, 2) seraient coupés par les quatre plans qui forment les faces planes des deux branches de la croix.

573. Quand tous les points essentiels seront déterminés en projection horizontale sur lafig. 7, on complétera la projection de la^/îgr. k, en opérant pour chaque point comme nous l'avons dit plu* haut pour le point 5; c'est-àdire qu'après avoir déterminé la projection de chacun de ces points sur \ajig. 2, on les projettera sur le plan PH'H qui, rabattu autour de l'horizontale du point X , donnera tous les points de la fig. 4.

On peut encore déterminer ou vérifier toutes les lignes de \*fig. h , en construisant sur cette projection les courbes tout entières auxquelles appartiennent les côtés courbes des assemblages.

Ainsi, le cercle horizontal 21' — 22' de h/ig. 2, étant projeté sur le plan PH'H, sera représenté sur la/îg. k. Par l'ellipse 21^— 2t,Y, dont le grand axe 21"— 2rdoit être éi:al à deux fois la droite 21' — 22' de \afig. 2, et dont le petit axe 21'" — 22'", y%. 4-, est égal à la distance qui existe entre les pieds des perpendiculaires abaissées des points 21f et 22' de la^Zgr. 2 , sur la trace PH' du plan PH'H , les ellipses 35—35, 36—36, 37—37 , etc., de In jig. k , s'obtiendront toutes de la même manière.

574. Il n'en sera pas de même des ellipses , suivant lesquelles se projettent les cercles verticaux qui forment les arêtes des chevrons F et G [fig. 7 }.

Le moyen le plus simple pour obtenir les projections de ces cercles sur le plan PH'H , sera de projeter d abord les rectangles circonscrits.

Ainsi , par exemple, si Ton veut projeter sur h fi%. \ le cercle qui forme l'arête extérieure du chevron F {fig-l), on construira, sur la figt %7 le rectangle circonscrit iV*'x\ puis, en opérant comme pour le point 5, on obtiendra facilement, sur là fig* 4, les projections des sommet» ei des milieux des cotés de ce rectangle i ce qui donnera parallélogramme ^'rW,

En doublant les côtés / V, on aura le parallélogramme >yV',qui se au cercle entier.

zr'yw£rV\ qui sera la projection du rectangle circonscrit

Les droites qui joignent entre eux les milieux des côtés du parallélogramme z"yug}i&u seront les diamètres conjugués de l'ellipse que l'on pourra construire par Tune des méthodes indiquées aux n*" 530 et 531,

575* On remarquera que le point e"e t centre de cette ellipse, ne coïncide pas avec le centre C de la sphère

(As- n

Le point e'\ déterminé par l'intersection des droites qui joignent les milieux des côtés du parallélogramme circonscrit, «y^Vi peut encore être vérifié en traçant (/%♦?) i la droite Ce perpendiculaire sur rx, qui est la trace de h lace verticale du chevron F; l'intersection de Ce avec rx il é ter minera le point e pour la projection horizontale du centre du cercle demandé, le point c se projettera sur la fig. 2 p;ir le point e', qui, projeté de là sur le plan PH'rl. et rabattu (fîg* fc jdonnera le pointe" sur la droite */•

576. On peut étudier ceLle partie de l'opération stf" fig, 1 , pour laquelle on a employé les mêmes lettres <JUC sur les/%, 7, 2 et fc.

On remarquera sur la figt 1 que la droite s'z' n'est pas tangente au grand cercle qui forme la projection verticale e la sphère, Il en est de même sur la fîg. Si où le point v ne doit pas être tout à fait à la hauteur «lu point U; mais le plan vertical qui contient la face rx [fig. 7) est si près clu centre de la sphère, qu'il est impossible de faire seniir sur la fig. 2 la différence de hauteur des deux points (/ et XJ, et celte différence n'est rappelée ici que pour l'exactitude des principes,

577. Les ellipses 38, 39 et 40 pourront être construites en opérant comme on vient de le dire pour l'ellipse

578. Pour tracer les bois il faut avoir les projections des pièces M et N sur des plans parallèles à leurs faces planes.

Or, on peut' reconnaître par la/%* 8 que les arêtes de ces pièces sont des arcs de cercles engendrés par les quatre sommets du quadrilatère 12' — 13' — Iti' — 17', que Ton ferait tourner autour de la droite qui contient les centres îk et J5 des cercles demandés. De sorte que , si du point o" de la fig* ht comme centre, on dtcril deux rercles concentriques avec des rayons égaux aux droites 15 — 13' et 15— 17' de la fig* 8, le plus grand de ces deux cercles [fig* G) sera la projection commune aux lieux cercles engendrés parles sommets 12' et 13' du quadrilatère la'— 13F— 16' et \f (fig, 8 ] ; tandis que le plus petit des deux cercles tracés sur la/%* 6 sera la projection commune des cerlcs engendrés par les points 16' et 17' rie %. 8.

Or, si nous supposons que la/%. 6 soit une projection v la pièce M* sur le plan rie la face 5 — 11 que Ton aurait

rabattu autour de son intersection avec le plan PH'H, il ne restera plus qu'à tracer des perpendiculaires à la droite S— 11.

Les intersections de ces perpendiculaires avec les deux .arcs concentriques de la fig. 6 détermineront tous les points essentiels des faces d'assemblage.

579. La/%. 5 contient la projection de la pièce Nf, et 6e construira en opérant comme pour \afig. 6.

580. Pour éviter la confusion, on n'a pas projeté les tenons, qu'il sera facile de rétablir en réservant la longueur de bois nécessaire pour cela.

581 . Les fig. 2 , k , 5 , 6 , 7 et 8 contiennent tout ce qui est utile pour tracer et tailler les bois; mais si Ton voulait, pour s'exercer, ou pour quelque autre cause , obtenir une projection sur un plan vertical, tel que AZ", il est évident que cela n'offrirait aucune difficulté et que chaque pointde lajig.9 serait déterminé en traçant par sa projection sur la fig, y, une perpendiculaire à la droite AZ", et portant 8itr cette perpendiculaire la hauteur de la projection du même point sur lafig. 2.

582. Mais si, comme dans l'exemple actuel, on n'a pas projeté tous les points sur la^/îgr. 2 , on pourra déterminer tous les points de \afig- 9, en construisant les ellipses par leurs propriétés géométriques.

Ainsi , pour l'ellipse r'V" , projection du cercle vertical rx (fig, 7 ) , le centre e sera projeté en e", l'axe vertical e"V" sera égal à la droite er , moitié de rx {fig, 7 ), et Taxe horizontal sera la projection du diamètre rx.

On opérera de la même manière pour toutes le* arêtes des deux chevrons F et G (fig. 7).

583. Quant aux ellipses inclinées suivant lesquelles se projettent les arêtes des deux branches de la croix , on pourra projeter d'abord les rectangles circonscrits.

Ainsi, par exemple, pour obtenir l'ellipse 41 sur la fig. 9, on construira le rectangle circonscrit à sa projection horizontale (fig. 7), puis on déterminera sur la fig. 9 , la projection de ce rectangle , en remarquant que le centre du parallélogramme doit être sur la fig. 9, à la même hauteur que le centre 14 du cercle 14 — 12* (fig. 8); et que la hauteur du point 12" de la fig. 9 doit être égale à la hauteur h — 12' du point correspondant de la fig. 8.

Les droites 14" — 12'' et 14" — f seront les deux diamètres conjugués de l'ellipse 41 que Ton construira en opérant comme nous l'avons dit au n* 530.

584. On peut étudier cette opération sur la fig. 3, où les lettres sont les mêmes que sur la fig. 9.

Toutes les autres arêtes des branches de la croix pourront être obtenues de la même manière.

585. En projetant, sur la fig. 8, le cône engendré par la droite 44 — 2 de la fig. 2 , on pourra déterminer autant de points que l'on voudra des hyperboles 46 et 45 auxquelles appartiennent les petites courbes 47 — 48 et 49 — 50 de la fig. 9.

Pour obtenir le sommet de l'hyperbole 45 sur la fig. 9, on construira la droite 2' — (' génératrice du cône engendré par la ligne 44—2 de la fig. 2.

300 GOURBES PLANES. PL. 37

La projection horizontale C — t de la droite 2- — i doit être perpendiculaire à la trace Tx du plan qui contient l'hyperbole 45 , et le sommet de cette courbe sera déterminé sur 2' — !' par la perpendiculaire élevée du point suivant lequel la droite C — t perce le plan vertical rx

Croix de Saint-André dans un comble conique.

586. Les raisons qui ont motivé l'étude de la croix de Saint-André, dont les détails ont été donnés PL 37, se retrouvent toutes dans l'exemple qui est projeté sur la

587. En effet, s'il s'agissait de construire une croix de Saint- Aftdré dans un pan de bois appartenant à un cône très-aigu > comme celui qui est projeté sur la fig, 1, il est évident que l'on pourrait employer pour les faces planes des branches de la croix , des plans parallèles à l'horizontale projetante du centre.

Ces faces , perpendiculaires au plan vertical de projection, feraient des angles presque droits avec la surface du cône , surtout vers le point où se rencontrent les deux branches.

588. Il est encore évident que Ton pourra employer cette disposition (fig, 2), lorsque l'on voudra construire une croix de Saint- André dans un pan de bois cylindrique que l'on pourra toujours considérer comme un cône dont le sommet serait infiniment éloigné.

589. Lorsque l'on voudra , au contraire , faire une croix de Saint-André dans un cône très-obtus , comme celui qui

est projeté sur la fig. 9, on devra employer pour les faces planes des plans verticaux mn et pq.

590. Mais si la génératrice du cône qui forme la surface du pan de bois dans lequel on veut construire la croix de Saint- André , forme avec le plan horizontal un angle peu différent de 45 degrés , il est évident qu'aucune des deux solutions qui précèdent ne peut être adoptée sans inconvénient.

Les fig. 3, 4, 5. 6 et 8 de la PI. 38 ont principalement pour but l'étude de cette difficulté.

Les fig* 3 et 6 sont les deux projections d'un pan de bois conique dans lequel on veut construire une croix de Saint- André.

Les deux branches de la croix sont placées comme on le voit sur la fig. 6, dans l'intérieur du quadrilatère formé par la sablière S , par la couronne circulaire B et par les deux chevrons E et F.

La* fig. 3 ne contient que la sablière Sr et la couronne B' , quant à l'espace rectangulaire D, on peut le considérer comme une section méridienne de l'un dés deux chevrons que Ton aurait fait tourner jusqu'à ce qu'elle soit venue se placer (fig. 6) dans le plan Co, parallèle au plan ver-* tical de projection.

Il résulte de là que la droite TU (fig. 3) sera la génératrice du cône qui forme la surface extérieure du pan de bois, tandis que la surface conique intérieure sera engendrée parla droite IV.

On suppose ici que les deux génératrices TU, IV sorçt parallèles entre elles , et qu'elles sont toutes les deux

inclinées de 45 degrés sur le plan horizontal de projection AZ.

Nous ajouterons pour dernière condition que le centre oo* de la croix soit situé au milieu de la droite ac {fig. 3).

Les données précédentes étant admises, on tracera la verticale o*o qui déterminera le point o de la fig. 6 pour la projection horizontale du centre de la croix.

Les droites ou, oV (fig. 6 et 3) seront les deux projections de la normale du point oo\ de sorte que tous les plans qui contiendront la droite ou> oV seront euxmêmes des plans normaux et couperont au point oo' la surface du cône suivant des angles droits.

Cela étant fait, on projettera le point oo1 sur un plan Auxiliaire PH'H , perpendiculaire sur ou, oV, et Ton rabattra ce plan sur la fig. 5, en le faisant tourner autour de sa trace horizontale H 'H.

Par suite de ce mouvement le point oo* viendra se projeter par le point o", qui sera par conséquent la projection de la normale ou, oV sur le plan auxiliaire PHU.

Le plan PH'H étant rabattu sur la fig. 5, on tracera les deux droites o"u'r dont l'inclinaison sera déterminée par l'angle suivant lequel doivent se rencontrer les deux branches de la croix.

Les droites o'V seront les intersections du plan PH'H par deux plans qui , au point ooro'\ coupent à angle droit la surface du cône , de sorte que si pour les faces latérales des deux branches de la croix on prend les plans 1—2 et 3 — 4 , parallèles au plan oHuH> les angles que ces faces feront avec les surfaces des deux cônes différeront très-peu

de l'angle droit surtout dans le voisinage du point o,o\o" (y%. 6,3 et 5).

La question proposée étant résolue, il ne reste plus qu'à expliquer les détails d'épuré nécessaires pour tracer toutes les pièces avec leurs faces d assemblage.

Les opérations devant être les mêmes pour les deux branches de la croix , nous ne conserverons sur l'épure que celles qui se rapportent à la branche qui est désignée par IN etN'surles/g-. 6 et 5.

591 . Enjoignant le point u" de \&fig* 5 avec le point u de lay%. 6, on aura la droite u"u pour trace horizontale du plan oWV" normal au point o'W" (fig. 5, 6 et k).

Les droites 2 — 2f, k — V seront par conséquent les traces horizontales des deux plans qui forment les faces latérales de la pièce N,N' [fig. 6 et 5).

Les arêtes de cette pièce seront les intersections des deux cônes qui forment les surfaces extérieure et intérieure du pan de bois par les deux plans 2 — 2r — l1 et k — h! — 3

(fig. 6 et k).

592. Pour obtenir les projections horizontales de ces courbes, on emploiera {fig* h.) un plan auxiliaire de projection AZ', vertical et perpendiculaire aux traces horizontales 2 — 2? et k — k' des deux plans qui contiennent les faces latérales de la pièce NN".

Le point oo'o" sera projeté sur le plan vertical AZ' par le point o'" dont la hauteur au-dessus de AZ' doit être égale à la hauteur du point of au-dessus de AZ [fig. 3).

La droite u'V" sera l'intersection du plan vertical AZ'

atro courbes planes. pl. S8

par le plan normal o"nW" {fig. 5 et 6), et les deux droites 2' — 1' et V — 3' seront par conséquent les traces verticales des deux plans qui contiennent les faces latérales de la pièceTSTN".

Les deux cônes qui forment les surfaces extérieure et intérieure du pan de bois étant projetés sur la fig. h, il sera facile de reconnaître la nature des courbes qui doivent former les arêtes de la pièce NNf.

Ainsi , par exemple, il devient évident que, dans le cas actuel, les courbes cherchées sont deux arcs d'hyperboles, puisque l'angle U' — 6f— 2' que les plans coupants V — 3' et 2' — 1' font avec les génératrices TU' et TV du cône, est plus petit que l'angle U'T'U"; d'où il résulte qu'après avoir coupé ces génératrices aux points 5r, 6', 7f et 8', ils couperont les génératrices opposées T'U" et l'V" dans leurs prolongements.

Les plans coupants 4'- — 3' et 2' — 1' étant perpendiculaires au plan vertical de projection AZ', il s'ensuit que les projections verticales des arêtes de la pièce NN" se confondent avec les deux droites 4'— 5' et 2'— 6'.

Quant aux hyperboles suivant lesquelles ces mêmes courbes se projettent sur le plan horizontal (Jig. 6), on peut les obtenir en déterminant leurs points par la méthode du n° 475, ou bien en construisant d'abord les asymptotes comme nous l'avons dit au n° 478; ou enfin par les deux méthodes , afin que Tune d'elles puisse servir à vérifier l'autre.

593. On n'a conservé sur l'épure que les opérations nécessaires pour déterminer les asymptotes de l'hyper- !>ole 17 — 5 — 17, suivant laquelle le cône qui forme la

surface extérieure du pan de bois est coupé par le plan

On sait (478) que le point 9, centre de la courbe cherchée , est situé au milieu de la droite qui joint les points suivant lesquels le plan V — 5' {fig- 4) coupe les deux génératrices T'U', T'U" du cône extérieur. Dans l'exemple actuel , l'un de ces points n'a pas pu être conservé sur Tépure, mais il sera facile de le rétablir en dehors du cadre.

Si cependant il n'y avait pas assez de place sur la planche à dessin pour que Ton pût y placer le point suivant lequel le plan k! — 5' rencontre le prolongement de la génératrice T'U", on tracerait une droite quelconque 10 — 11, parallèle à la trace verticale U! — 5r du plan coupant, on déterminerait le point 12, milieu de 10 — 11 , et Ton tracerait la droite T — 12 dont l'intersection avec h' — 5' déterminerait la projection verticale du point 9 , centre de l'hyperbole cherchée (fig. 6).

S'il est également impossible d'obtenir au-dessus du cadre la projection verticale du point 9 , on pourra opérer de la manière suivante.

On tracera :

1° L'horizontale T' — 9" passant par le sommet du cône ;

2° La verticale 12 — 13;

3° La droite 10—13;

k° La droite 5'— 9" parallèle à 10—13.

Cette dernière opération déterminera le point 9" et par suite la droite T'— 9" que l'on portera de C en 9 sur la U 6-

En effet , si nous exprimons par 9' la projection verticale du centre de l'hyperbole cherchée, le parallélisme des droites 10— 12 et 5' — 3r donnera

(T— 10) : (Tf— 5') :: (Tr— 12) ; (T'— »'),

Mais les droites 10—13 et 5 — 9" étant parallèles pair construction , on doit avoir

Ces deux proportions ayant un rapport commun donneront ;

(T— 12) : (Tr— 9r> :: (T— 13) ; (Tr— 9").

D'où Ton conclut que la droite qui joindrait le point 9 avec le point 9", doit être parallèle à la verticale 12 — 13, que par conséquent la droite T' — 9" est égale à la projection horizontale de T' — 9r, d'où il résulte qu'en faisant C— 9 de lafg. 6 égale à T'— 9" de lay%. h , le point 9 sera la projection horizontale du centre de l'hyperbole demandée.

594. Asymptotes. On sait que les asymptotes sont les intersections du plan coupant avec les deux plans tangents qui contiennent le centre de la courbe. ^

La droite T' — 12 qui contient le point 9,9rsera donc l'intersection des deux plans tangents.

On prolongera cette droite 12 — ïf jusqu'à sa rencontre avec le plan horizontal AZf, ce qui déterminera sur Ia^/%. $* le point ik par lequel on tracera les deux droites 14. — -15 , tangentes au cercle qui forme la trace horizontale du cône extérieur.

Les droites ik — 15 seront les traces horizontales 'les

deux plans tangents qui contiennent le centre 9,9f de la courbe , et les intersections de ces deux lignes par la trace horizontale k — k1 du plan coupant, détermineront les deux points 16.

Les droites 9 — 16 seront les asymptotes de l'hyperbole demandée 17 — 5 — 17 et le sommet 5 de cette courbe étant déterminé sur la droite C — 9 par la perpendiculaire abaissée de la projection verticale 5' (fig- &•), il sera facile de tracer la courbe parla méthode du n° 479.

595. On remarquera, comme vérification, que l'hyperbole demandée doit passer par les sommets 17,17 des quadrilatères 17 — 18 — 19 — 20 dont les côtés seraient les intersections du plan horizontal ZAZ' par les surfaces coniques et par les deux plans qui forment la surface latérale de la pièce N.

On n'a conservé sur l'épure que trois des hyperboles qui forment les arêtes de la pièce N, parce que la quatrième de ces hyperboles passerait par le point 20 de la fig. 6 et par le point 7 de hjig- k, de sorte que dans l'exemple actuel sa projection horizontale ne peut pas être distinguée de l'hyperbole qui contient les points 18.

596. Les deux hyperboles qui contiennent les points 5' et 7' de la fig. 4, ont les droites 9 — 16 pour asymptotes communes, et les deux hyperboles qui contiennent les points 6' et 8' auraient également deux asymptotes communes 21 — 22, passant parle point 21 , suivant lequel le plan coupant 2' — 6' serait percé par la droite 1' — 21' qui est parallèle à Tr — 12 et qui contient le sommet lf du cône intérieur.

li résulte de là que les hyperboles des points 6f et 8f ont

le point 21 pour centre commun et que le point 9 est le centre des hyperboles qui passent par les points 5' et 7' de la fis- *•

597. Enfin, les quatre hyperboles sont semblables; cela provient de ce que les droites T'Ur et T'V, génératrices des deux cônes, sont parallèles, d'où il résulte que ces cônes sont semblables et que leurs sections par un même plan ou par des plans parallèles sont nécessairement des courbes semblables.

598. Je continuerai, comme je l'ai fait dans la plupart des exemples précédents, à indiquer quelques vérifications que Ton peut toujours considérer comme des exercices utiles.

Ainsi, on pourra construire (fig. 6) l'hyperbole 19 — 24 — 19 dont fait partie la petite courbe 19 — 25, suivant laquelle la portion de surface conique engendrée par la droite cV {fig* 3) est coupée parle plan 2 — 2'— 6'

{fig. 6 et 4). '

• Le sommet 24. de cette hyperbole sera déduit de sa projection 24' {fig* k) et le centre 23 proviendra de sa projection 23' qui est le milieu de la distance qui existe entre les deux points suivant lesquels la droite 6'— 2' coupe la génératrice V'O et le prolongement de V'O

(fis- *).

599. On pourra construire également , sur la fig. 6, l'hyperbole à laquelle appartient le côté 20 — 26 du quadrilatère qui forme la face d'assemblage de la pièce N avec la surface conique de la sablière.

Cette surface conique engendrée par la droite cW (fig> 3)

a son sommet au point où le prolongement de cette ligne cV rencontre Taxe du cône.

Ce même point projeté en O, sur \&Jig* k, est déterminé par le prolongement de la droite c'V, perpendiculaire sur T'U'.

600. Pour obtenir dans leur véritable grandeur les courbes qui forment les arêtes de la pièce N, on projettera (fie* *) tous 'es points de ces lignes sur le plan GP', parallèle aux deux faces planes de la pièce proposée, et l'on fera tourner ensuite le plan GP' autour de l'horizontale projetante du point G jusqu'à ce qu'il soit parvenu dans la position GP" parallèle au plan horizontal de projection.

On obtiendra ainsi la jig. 8, qui est la projection de la pièce N sur un plan parallèle à ses faces planes , et qui contient par conséquent toutes les courbes dans leur véritable grandeur.

H sera facile alors de relever sur l'épure un patron de chaque courbe, que l'on pourra par ce moyen tracer sur les faces correspondantes d'une pièce de bois dont l'épaisseur serait déterminée par Tune des^îg*. 5ou&.

601 . Le quadrilatère suivant lequel la branche N de la croix [fig. 6) est assemblée dans la surface conique de la sablière, est projeté sur \* fig. 8 par le quadrilatère 19'— 20— 25— 26'.

602. Nous avons déjà dit que deux des côtés de ce quadrilatère étaient des arcs d'hyperbole.

L'une de ces courbes 19 — 24 — 19, étant projetée sur

le plan GP', devient 19'— 24"— 19' lorsque le plan GP' est rabattu en GP".

603. Les deux autres côtés 19'— 20', 25' — 26' du quadrilatère 19'— 20'— 25' — 26' font partie des cercles horizontaux engendrés par les points c et V de \afig* 3.

Ces deux cercles se projetteront sur \afig. 8 par des ellipses dont une seule a été conservée.

604.. Les opérations précédentes contiennent tout ce qui est nécessaire pour tracer les bois, mais si l'on veut s'exercer, on pourra compléter les projections des deux branches de la croix sur la fig* 5.

Cette opération peut se faire de plusieurs manières :

1° On peut déterminer tous les points sur les droites 1 — 2 , 3 — k en abaissant des perpendiculaires à la ligne H'H par chacun des points correspondants de \afig. 6 ;

2° On peut déterminer les projections des mêmes points sur h fig. 3 et les projeter de là sur le plan PH'H ; d'où on les ramènera ensuite sur \afig- S en les faisant tourner autour de l'horizontale H'H ;

3° On peut construire sur \afig. 5 les projections complètes des courbes auxquelles appartiennent les côtés des quadrilatères, suivant lesquels les branches de la croix sont assemblées dans la sablière S et dans les deux chevrons E et F {fig. 6).

605. Nous avons déjà dit que chacun des quadrilatères d'assemblage des branches de la croix avec la surface conique, engendrée par la droite cV {fig. 3) , avaient pour côtés deux arcs de cercle 19 — 20,25—26 et deux arcs d'hyperbole 25—19 et 26—20 {fig. 6).

Sur la fig. 5 les projections des deux arcs de cercle appartiennent aux ellipses 27 — 28—27 et 29—28 — 29, dont les grands axes se déduisent de la fig. 6 et les petits axes de la /Sg. 3.

Quant aux arcs d'hyperbole de la fig. 6, ces courbes étant situées dans les plans qui forment les faces planes des branches de la croix , leurs projections sur la fig. 5 se confondront avec les droites 1 — 2 et 3 — 4.

606. Les quadrilatères 30 — 31 — 32 — 33 sont les faces d'assemblage des branches de la croix avec les faces planes et verticales des chevrons £ et F (fig. 6).

Les côtés 31 — 33 et 30 — 32 de ces quadrilatères sont des lignes droites et résultent de l'intersection des faces planes et verticales des chevrons E, F (fig. 6) par les deux plans 1 — 2 et 3 — 4 qui forment les faces planes des branches de la croix.

Les deux autres côtés 30 — 31 et 32— 33 des quadrilatères 30—31—32—33 (fig. 5) sont des arcs d'hyperbole, et résultent de l'intersection des deux cônes qui forment les surfaces extérieure et intérieure du comble , par les deux faces verticales des chevrons E, F (fig. 6), mais ce6 deux hyperboles qui forment les arêtes des chevrons (fig. 6), étant 7 comme celle de la fig. 7, très-enfoncées dans l'angle que forment entre elles leurs asymptotes , il s'ensuit que leur courbure est absolument insensible et. peut être entièrement négligée. On s'est contenté ici d'indiquer sur la fig. 5 les points de rencontre 34" et 35" de ces courbes deux à deux.

Ces points projetés en 34' et 35' sur la fig. 3, ont le point 34. 35 pour lepr projection commune sur la fig. 6. m