Exécution des pièces de bois à double courbure

Nous venons de dire comment on peut obtenir les projections de la pièce demandée; il faut voir actuellement par quels moyens on pourra déduire cette pièce d'un bloc de bois donné.

726. Les méthodes que l'on emploie dans ce cas sont très-simples , et consistent à tailler successivement chacune des faces de la pièce.

Mai» comment doit-on j'y prendre pour tailler ces fats?

Par laquelle faut-il commencer?

Quelle est la forme primitive qu'il convient le mieux de donner au morceau de bois duquel la pièce doit être déduite?

Ce sont là trois questions extrêmement importantes que nous allons résoudre successivement.

727. Si les dimensions de la pièce que Ton veut obtenir sont assez peu considérables pour que l'on puisse trouver un bloc de bois qui contienne la courbe tout entière, on pourra la construire d'un seul morceau , et dans ce cas , il faudra opérer de la manière suivante :

On construira (/îj. 7) le parallélogramme a'a'p'p' circonscrit à la projection verticale de la pièce demandée , et le rectangle aacc circonscrit à la projection horizontale de la même pièce.

Ces deux figurçs seront les deux projections du parallélipipède que l'on doit tailler d'abord.

728. On rabattra le rectangle a'a'c'Y" (fig. 7), et Ton construira dans ce rectangle les deux arcs d'ellipses B'" et C" , suivant lesquels les cylindres BB' et CC sont coupés par le plan projetant P6 du rectangle a'aW".

Les deux courbes B'" et C" peuvent être facilement construites par leurs axes (85, inlrod.) ou par points.

729. On n'a pas toujours sur l'épure la place suffisante pour employer la construction des ellipses par leurs axes, et d'ailleurs il est nécessaire de marquer et de conserver sur les courbes B"' et C" les points suivant lesquels le plan Pi du rectangle a'aW' est percé par les génératrices verticales des deux cylindres concentriques BB', CC, Ces points , dont les projections verticales sont situées sur la

ligne dcl , se rabattront sur desr perpendiculaires à cette droite , et leur distance à cette même ligne seront données, sur la projection horizontale (fig. 9) , par la distance des mêmes points à la droite aa.

Ainsi, par exemple, la distance em du point m de l'arc de cercle C à la droite aa (fig. 9) donnera la distance m' m1' du point m'" de l'ellipse C' à la droite a'a' (fig. 7).

En opérant de la même manière , on obtiendra tous les points des deux arcs d'ellipses C" et B'".

730» On pourrait rabattre également la face rectangulaire, dont la projection sur la fig. 7 coïncide avec la droite p'p\ mais la figure que l'on obtiendrait dans ce cas serait évidemment égale à celle que nous venons de construire, puisque ces deux figures sont les sections des mêmes cylindres par les deux plans parallèles P« et P7 qui contiennent les faces opposées a'a et p'p* du parallélipipède enveloppe.

731. Supposons actuellement que l'on ait taillé (fig. 1) le- parallélipipède AQ, dont la base AAPP serait égale au parallélogramme a'a'p'p de la fig. 7, et dont la hauteur AC serait égale à la droite ac de la fig. 9.

On appliquera le rectangle a'aW" de la fig. 7 sur la face PPQQ , et sur celle qui lui est opposée fig. 1 , puis on piquera sur le bois les points de repères qui onl été marqués et numérotés à cette intention sur les deux ellipses C" et Bf" de la fig. 7.

732. Au lieu de piquer sur le bois (fig. 1) les deux arcs d'ellipses tracés dans le rectangle a'aW" (fig. 7), on peut découper cette figure et s'en servir comme d'un pistolet pour tracer (fig. 1) les deux courbes B et C sur lesquelles

on établira ensuite les chiffres qui indiquent les points de repères.

733. Enfin on peut encore construire directement ces ellipses en opérant sur le bois , comme nous l'avons fait pour les tracer dans l'intérieur du rectangle a'aW

(te- ?)•

734. Lorsque les ellipses Cet B auront été tracées sur chacune des deux faces opposées du parallélipipède (fig. 1), on enlèvera le bois avec précaution jusqu'à ce que Ton puisse appliquer partout le bord d'une règle qui passe toujours par les points désignés par les mêmes chiffres sur les deux ellipses égales et parallèles C,C.

Il est évident que par cette opération on aura taillé la surface concave du cylindre qui a pour directrice l'arc d'ellipse C.

En opérant de la même manière , on taillera la surface convexe du cylindre qui a pour directrices Parc d'ellipse B.

735. Lorsque l'on aura taillé ces deux surfaces cylindriques, le morceau de bois sera dèbïllardé, et l'opération que nous venons de décrire se nomme débillardement.

736. Supposons que la pièce de bois soit transportée (fig. 2), on tracera sur les faces cylindriques taillées précédemment les génératrices des deux cylindres B et C.

Les positions de ces génératrices seront déterminées par les points de repère qui ont été marqués et conservés à cette intention sur les ellipses G" et B'" du rectangle a'aW"

(fig- 7).

737. Lorsque ces droites seront tracées sur les surfaces convexe et concave des deux cylindres que l'on vient de

tailler , on y établira tous les points qui ont servi à déterminer les quatre courbes à double courbure qui forment les arêtes de la pièce demandée.

738. On obtiendra la position de chacun de ces points sur la fig. 2 , en prenant, avec le compas sur la fig. 7 , la portion de génératrice comprise entre le point que Ton veut obtenir , et le plan P6 qui contient le rectangle rabattu aUM".

Ainsi, par exemple, on obtiendra la position du point N de la fig. 2, en faisant la distance NX de cette figure égale à la partie n'af de la génératrice correspondante fig. 7.

On remarquera sans doute , que sur la fig. 2 on voit la surface du cylindre C , tandis que la même surface est cachée sur la/îgr. 7. C'est pourquoi la génératrice xn\ qui est située à droite de la fig. 7 , est bu contraire placée à gauche sur la fig. 2.

739. Au lieu de prendre avec le compas sur la fig. 7 , les parties de génératrices que l'on veut reporter sur la fig. 2, onjpeut développer (173, introd. ) les deux parties de surfaces cylindriques qui ont pour traces les arcs de cercles B et C de la fig. 9. Ces développements (fig. Il) étant appliqués sur les faces cylindriques de la pièce débillardée (fig. 2), on piquera les points des quatre courbes qui forment les arêtes de la pièce demandée.

740. Cela étant fait , on coupera le bois en dehors et en dedans comme on le voit sur la fig. 3, en ayant soin de placer souvent la règle sur les points correspondants dès courbes directrices , afin de s'assurer que les surfaces ainsi obtenues sont bien exactement cylindriques.

Au lieu de commencer parle cylindre C, comme nous venons de le faire , on peut tailler d'abord le cylindre Bt

741 . Pièce* de charpente. Dans tout ce <Jui précède, nous avons supposé que la pièce à double courbure que l'on voulait obtenir devait être construite d'un seul morceau . Cela se fait quelquefois lorsqu'il s'agit d'un objet de petite dimension, comme , par exemple , d'un ornement dé meuble ou d'un modèle pour la fonte d'une pièce de machine ; mais, dans la charpente , cela n'a jamais lieu , pour deux causes que l'on concevra facilement.

742. La première, c'est qu'il serait souvent très-difficile de se procurer un morceau de bois assez gros pour qu'il puisse contenir la pièce tout entière que Ton veut tailler.

743. La seconde, qui est encore plus importante , c'est que la courbe obtenue , en supposant qu'elle puisse être construite d'une seule pièce , n'aurait pas la même force dans tous les points de sa circonférence. En effet, si les fibres du bois que Ton aura employé sont parallèles aux cylindres B,C, il est évident qu'elles seront tranchées dans toute la partie de courbe qui est à peu près parallèle aux cylindres D JE, tandis qu'au contraire si les fibres sont parallèles à ces derniers cylindres , elles seront tranchées dans les deux parties où la courbe est presque parallèle aux premiers.

744. C'est pourquoi, lorsque l'on veut exécuter une pièce dont la courbure très-sensible est contournée dans tous les sens , on la partage en un assez grand nombre départies r pour que chacune d'elles puisse satisfaire h ces deux conditions :

1° Quelle soit comprise dans les limites des pièces de bois dont on peut disposer;

2° Que les fibres du bois employé conservent la plus gronde longueur qu'il sera possible.

Ainsi , par exemple , pour exécuter la pièce qui fait le sujet de cette étude , on pourra la décomposer en quatre parties comprises entre les plans projetants des deux diagonales a'p'.

Chacune de ces parties aura pour faces de joints les quadrilatères dont les projections sur la fig. 7 6e confondront avec les traces des plans coupants P8 et P9.

Les parties courbes de charpente comprises dans les angles dSp* pourront alors être déduites de pièces de bois dont les fibres seraient parallèles aux cylindres B et Ç , tandis que les pièces comprises dans les angles a'Sa' ou p'Sp' seront prises dans des prismes dont les fibres seraient parallèles aux cylindres D et E.

745, Quant à la manière d'opérer, «lie différera peu de ce que nous avons dit plus haut. Ainsi, par exemple, si Ton veut construire l'une des deux pièces comprises dans l'angle a'Sp', on pourra la déduire d'un prisme vertical et rectangulaire qui aurait pour base le rectangle bbbb de la fig. 9 et pour projection verticale le rectangle b'b'b'b' de la fig. 7, et si l'on veut construire la pièce courbe comprise dans l'un des deux angles a'Sa' ou p'Sp' on pourra la déduire du parallélipipède rectangle incliné qui aurait pour base le rectangle d"d"d"d" de la fig. 13 et pour projection sur la fig. 7 le rectangle d!d!d'd\ >

Les arcs de cercles compris dans le rectangle ft— b de la fig. 9, seront les directrices des deux cylindres B et G qui comprennent la courbe située dans l'un des angles a'Sp', et les arcs de cercles compris dans le rectangle d" — d" de la fig. 13, seront les directrices des deux cylindres inclinés D et E qui comprennent la pièce dont la pro-*

jection verticale est située dans l'un des angles a'Sa! ou p'Sp'delz fig. 7.

Les rectangles b — b de la fig. 9 ou d"— d" de la fig. 13 étant appliqués sur les faces des parallélipipèdes correspondants , on tracera les arcs de cercles et l'on taillera les surfaces cylindriques.

746. Quand le morceau de bois sera dèbillardéy comme on le voit sur la fig. 4, on tracera les courbes à double courbure , en opérant comme nous l'avons dit au numéro 738, ou en appliquant les développements de la fig. 11 sur les surfaces cylindriques de la pièce débillardée. ^

747. Pour tailler la partie de courbe comprise dans l'angle g'Sg',fig> 7, on pourra opérer de plusieurs manières.

Première méthode. On pourrait déduire la pièce demandée d'un parallélipipède qui aurait pour projection verticale le parallélogramme Sg'sg', et pour projection horizontale le rectangle gggg.

Dans ce cas , les directrices du débillardement feraient partie des deux ellipses C" et D'" du rectangle a'aW".

748. Deuxième méthode. On peut remplacer le parallélogramme Sg'eg1, fig. 7, par le rectangle g'tfg'g', de sorte que le parallélipipède qui doit contenir la pièce demandée sera rectangulaire. Il en rés/iltera cet avantage, que les directrices du débillardement seront les arcs de cercles B et C du rectangle g— g, fig. 9 ; au lieu des ellipses B"' et C'"du rectangle a! — c'", fig. 7.

Mais cette deuxième méthode exigera en apparence plus de bois que la première.

Je dis en apparence, car le parallélipipède oblique

employé dans le premier cas ne pourrait être taillé que dans un parallélipipède rectangle égal à celui qui serait nécessaire dans la seconde méthode.

749. Au surplus, dans l'exécution des pièces de charpente , l'économie sur la longueur du bois n'a qu'une importance secondaire. Ce qui est beaucoup plus essentiel, comme nous l'avops déjà dit tant de fois, c'est d'éviter de trancher les fibres , et pour cela il faut tâcher que la plus grande longueur de la pièce demandée soit parallèle , autant que possible , aux fibres de l'arbre employé pour la construire.

750. Troisième méthode. On satisfera en partie à cette condition en employant un parallélipipède dont la projection verticale serait le rectangle h'hh'h!, fig. 7, et dont l'épaisseur serait égale à la droite ac de la fig. 9 ; mais il est encore facile de reconnaître, par cette dernière projection, qu'un grand nombre de fibres seraient tranchées par le débillardement des deux cylindres concentriques B et G ; et l'on conçoit en même temps que si l'on parvient à réduire les dimensions du rectangle circonscrit à la projection horizontale fig. 9, le déchet, et par conséquent la section des fibres , seront diminuées d'autant. Nous serons donc conduits , par les considérations qui précèdent , à employer la méthode suivante.

751. Quatrième méthode. On projettera la pièce qu'il s'agit d'exécuter, sur le plan vertical, P10 qui contient les génératrices 10 et 11 du cylindre C, fig.9.

La projection que l'on obtiendra fig. 8, se déduira de la fig. 9, en prenant sur la fig. 7 les hauteurs de chaque point au-dessus d'un plan horizontal quelconque.

3aS DOUBLE COURBURE. PL. 39.

Lorsque la projection auxiliaire de la pièce de bois sera complète sur la fig. 8, on enveloppera cette projection par le parallélogramme znzïfzl*zÏJ.

Les plus grands côtés de ce parallélogramme seront les traces de deux plans P,, et P18 perpendiculaires au plan vertical de projection Pi0 et si Ton conçoit (fig. 9) un quatrième plan Pu parallèle à Pw il est évident que les quatre plans Pt0 Pu Ptt et P18 seront les limites d'un prisme rectangulaire entre les faces duquel la pièce demandée sera comprise, et les fibres du bois parallèles à ces quatre faces seront, à très-peu de cboses près, parallèles à la plus grande longueur de la pièce , ce qui aura pour double conséquence de diminuer le nombre d<es fibres tranchées et la grosseur du morceau de bois nécessaire.

752. La pièce que l'on- veut tailler étant comprise entièrement dans le parallélipipède qui a pour Tune de ses faces le parallélogramme z" — zIV, fig. 8, et pour épaisseur la droite ou de là fig. 9, on rabattra le rectangle znztfxfx\ puis, en opérant comme nous l'avons dit au numéro 729, on construira les deux ellipses B" et GIT suivant lesquelles les deux cylindres verticaux B et C seront coupés par les plans Plt et PJ8 de la fig. 8.

Ces courbes , tracées sur les faces correspondantes du parallélipipède enveloppe Z — Z (fig. 12), serviront de directrices pour tailler les surfaces des deux cylindres verticaux B et G , et quand la pièce sera débiUardée, on agira pour le reste comme dans tous les exemples précédents.

753. Cinquième méthode. Si l'on ne pouvait pas se procurer un morceau de bois assez long pour que Ton puisse en tirer le prisme qui a pour face le parallélogramme

z" — zxy on remplacerait cette 6gure par le rectangle o'WV, le solide enveloppe serait alors rectangulaire, et dans ce cas il faudrait rabattre non-seulement les faces oWw'etrVt)7»', mais encore les deux faces oT,ttMrffi?TI et oTIIu',,rt,V", car sans cela on n'aurait qu'une partie des directrices nécessaires pour exécuter le débillardement.

Ces quatre figures étant appliquées sur les faces correspondantes du parallélipipède rectangle OR (fig. 12), on taillera les surfaces cylindriques et Ton opérera pour le reste comme dans tous les cas précédents fig. 10. 2

754. Nous n'avons pas parlé des tenons et des mortaises r parce que dans l'application les pièces de charpente ne seront pas immédiatement réunies comme nous l'avons supposé sur la fig. 7, mais elles seront assemblées comme on le voit sur la fig. 6, dans une lierne ou dans un poinçon L situé à la place du joint.

Il s'ensuit qu'en supposant les deux pièces M et N prolongées jusqu'au plan P il restera toujours , lorsque ces pièces seront taillées, un excédent Jde longueur suffisant pour faire les tenons.

Pénétrations.

755. Nous avons étudié sur les planches 31, 32, etc. , plusieurs exemples dans lesquels deux combles à surfaces courbes se rencontrent suivant des courbes planes ; mais cela n'a pas toujours lieu ainsi.

Souvent , au contraire , la pièce de bois qui forme Y arête ou arêtier est à double courbure /et l'exécution de cette

pièce dépend alors des principes que nous venons d'exposer.

Lunette droite.

756. Supposons que*la fig. 3 de la PL 40 soit la section droite d'un berceau cylindrique horizontal.

Il s'agit d'exécuter toutes les parties de la pièce courbe suivant laquelle ce berceau , que je nommerai A, pénètre la surface cylindrique et circulaire d'un second berceau horizontal B , dont la section droite est projetée sur la fig. 5.

Pour ne pas embarrasser les épures , on n'a conservé que les pièces courbes des combles, mais il ne faut pas oublier (331) qu'à l'exception des cas où les berceaux ont un trèsfaible diamètre , on doit en rattacher toutes les pièces à des fermes de bois droits sans lesquelles aucun berceau cylindrique ne peut conserver sa forme primitive..

757. Les cintres des deux berceaux étant déterminés par leurs sections droites projetées sur les fig. 3 et 5, la première opération que l'on doit faire consiste à déterminer les projections horizontales des quatre arêtes de la courbe arétière.

Cela revient évidemment à chercher les courbes suivant lesquelles les deux cylindres concentriques qui forment les surfaces extérieure et intérieure du berceau A, fig. 3, rencontrent les deux cylindres qui forment les surfaces du berceau B, fig. 5.

758. On pourra opérer comme nous l'avons déjà fait au n* 721.

Ainsi, pour obtenir le point m, m' de la courbe acat

fig. 14, on supposera que les deux berceaux sont coupés par un plan horizontal p—p, fig. 3 et 5.

Ce plan coupera le berceau A suivant les deux génératrices horizontales m"m, fig. 14, et le cylindre B suivant la génératrice m'ro. Les points suivant lesquels cette droite est rencontrée par les lignes mnm feront partie de la courbe cherchée.

La construction qui précède revient évidemment à chercher les points suivant lesquels l'un des cylindres est percé par les génératrices de l'autre, opération dont la simplicité , dans le cas actuel comme dans l'exemple précédent , provient surtout de ce que l'un des deux cylindres fig. 5 est perpendiculaire au plan de projection (204, introd.).

En effet , les arcs de cercle a'c', oV peuvent être considérés comme les projections verticales des courbes demandées dont les points mm seront alors déterminés sur la fig. 14, en abaissant de leurs projections verticales m', ur des perpendiculaires à la ligne AZ. .

759. On peut facilement construire en même temps les quatre arêtes de la pièce courbe demandée (721), mais, pour éviter la confusion, on indiquera par des hachures les quadrilatères suivant lesquels la pièce est coupée, fig. 3 , par les plans o'6",o'm",o'd" dans lesquels sont situées les génératrices correspondantes des deux cylindres qui forment les surfaces extérieure et intérieure de l'un des berceaux.

Chacun de ces quadrilatères, fig . 14, est formé par deux côtés droits faisant partie des génératrices du berceau A, fig. 3, et par deux côtés courbes provenant des ellipses suivant lesquelles les surfaces cylindriques du berceau B sont coupées par les plans o'6",o'm",o'd" de la fig. 3.

En construisant quelques points éloignés , on détermi-

nera plus exactement les côtés courbes des quadrilatères demandés .

760. Les deux projections de la courbe arétière étant déterminées , il reste à tracer aur lcf bois toutes les lignes nécessaires pour diriger le mouvement des outils.

761. Supposons, fig. 3, que le cintre complet du cylindre A se compose de quatre pièces séparées les unes des autres par le joint vertical oV et par deux joints placés symétriquement à 45°, dont l'un d'eux est désigné par s"— m" sur la fig. 3.

Pour ne pas embarrasser l'épure , nous pouvons faire abstraction des tenons et mortaises que Ton taille après coup (754), et pour lesquels il restera toujours assesde bois , comme on peut le voir par la fig. 2.

762. L'opération la plus importante consiste à déterminer Féquarrissage du plus petit bloc capable de contenir la portion de courbe demandée.

Supposons que Ton veut tailler la pièce qui sur la fig 3 est comprise entre les deux plans o' — u" et o'-

763. Première méthode. On tracera, fig. à, la corde e'~- s' el la tangente 1" — 3"; ces deux droites seront les traces de deux plans parallèles 1' — 3',1" — 3" entre lesquels la pièce demandée doit être comprise.

On projettera cette pièce sur le plan p', parallèle k l'un des deux plans 1'— 3',1" — 3", et faisant tourner le plan p' autour de l'horizontale projetante du point O, on obtiendra la fig. 16.

Cette projection parallèle à la droite qui passerait par les points ce', ss', fig. 5 et 14, n'est pas tout à fait parallèle

à la plus grande longueur de la pièce demandée , mais cela suffit pour la pratique.

La fig. 15 étant obtenue, on construira le rectangle circonscrit, et les dimensions du solide capable seront déterminées. La longueur Sera 1 — 4 ou 2—3, et l'équarrissage sera donné par le rectangle fi, dont le plus petit côté est égal à la distance des deux plans parallèles 1' — 3' et 1"— 3", fig. 5.

764. Pour tracer le bois, on supposera (728) que les faces latérales du parallélépipède 1 — 2 — 3 — 4, fig. 15, ont tourné autour de leurs arêtes jusqu'à ce qu'elles soient rabattues sur l'un des deux plans 1'— 3',l" — 3" de la fig. 5, et Ton obtiendra par ce moyen les courbes suivant lesquelles les quatre plans projetés sur la fig. 15 par les côtés du quadrilatère 1—2 — 3 — 4 coupent les deux cylindres concentriques qui forment les surfaces extérieure et intérieure du berceau B.

Ces courbes s'obtiendront en opérant comme nous l'avons dit aux n" 728, 729.

Ainsi, par exemple, les points x,x de la fig. 5 étant projetés sur le plan p', on en déduira les projections affx! sur les traces des plans 1 — 2 et 3 — 4 de la fig-, 15 ; puis on obtiendra les mêmes points sur les panneaux B et C, en faisant les droites x' — x delà fig. 15 égales aux droites . x' — x qui , sur la fig. 5, expriment les distances des points cherchés au plan l" — 3" sur lequel nous supposons ici que l'on ait rabattu les quatre panneaux B,C,D,E de la fig. 15.

Les points y,y,£,£, etc. , se détermineront de la même manière.

765. Les opérations précédentes étant terminées, on prendra un parallélipipède rectangle ayant pour équar-

rissage le rectangle B, fig. 15, et pour longueur la droite 1—4 ou 2—3.

On appliquera les quatre panneaux B,C,D,E sur les faces correspondantes de ce parallélipipède , comme on le voit sur la fig. 1 , et les côtés courbes de ces panneaux serviront de directrices pour tailler les faces cylindriques qui coïncident avec les surfaces extérieure et intérieure du berceau B.

On n'oublira pas de marquer sur les courbes directrices de là fig. 1 les points de repère qui doivent déterminer à chaque instant la position de la règle génératrice (738).

Ces points se déduiront facilement de la fig. 15, sur laquelle on n'a indiqué que deux ou trois d'entre eux pour ne pas embarrasser l'épure.

En effet, les génératrices des points 5,6,7, etc., du berceau B perceront les faces du parallélipipède enveloppe suivant les points 5,5,6,6, etc., d'où il est facile de déduire les points correspondants des panneaux B,C,D,E.

Nous avons déjà dit (735) que Ton donne le nom de dèbillardement à l'opération qui a pour but de tailler les deux surfaces cylindriques entre lesquelles doit être comprise la pièce demandée.

766. Cette opération peut se faire d'une autre manière. En effet, au lieu de faire glisser, comme on le voit fig. 1, une règle qui s'appuierait sur deux courbes, on peut au contraire, comme on le voit fig. 1 1 , faire glisser une courbe sur deux droites parallèles à la direction du cylindre que Ton veut tailler ou sur les côtés courbes des panneaux. Dans ce cas, la courbe génératrice F, fig. 11 et 7, devra être découpée sur le contour de la section droite du cylindre B, et maintenue dans son mouvement perpendiculaire aux deux droites directrices 5 — 5, 6 — 6, fig. 11.

Le cylindre convexe pourra être taillé de la même manière, fig. 22, au moyen d'une courbe concave G, fig. 6, découpée sur le contour de la section droite du cylindre extérieur.

767. Lorsque.la pièce sera débillardée, c'est-à-dire lorsque Ton aura taillé les deux faces cylindriques du berceau B, il nous restera encore à tailler les faces du berceau A.

Pour y parvenir, on construira, fig. 20, les développements des deux faces qui appartiennent au berceau B ; ces deux faces ont été placées l'une sur l'autre, et la partie commune est indiquée par le croisement des bacbures.

Il est facile de distinguer la surface extérieure qui a pour section droite la ligne v"u" qui est égale à l'arc de cercle oV, fig. 5, tandis que olë est représenté sur la fig. 20 par la droite à c".

On tracera ces deux figures sur des feuilles de matière flexible ; puis , appliquant ces patrons sur les faces cylindriques de la pièce débillardée, fig. 19, et faisant prendre à ces feuilles la courbure des cylindres sur lesquels on les applique , il sera facile de tracer les arêtes de la pièce demandée , et ces lignes serviront de directrices pour tailler les surfaces cylindriques du second berceau. *

768. On aura soin de tracer quelques génératrices sur les développements de la fig. 20, ainsi que sur les surfaces cylindriques de la pièce débillardée fig. 19. Ces lignes serviront à déterminer la place qui doit être occupée par chaque patron.

Ainsi, par exemple, la position du patron qui contient la face extérieure du berceau B sera déterminée en faisant coïncider les points 6 et» 8 de la fig. 20 avec les points correspondants de la fig. 19.

769. Deuxième méthode. Au lieu de commencer par la taille des faces qui appartiennent au berceau B , on pourrait tailler d'abord les deux faces cylindriques du berceau A.

Supposons, par exemple, que les fig. 12, 9 et 17 soient construites avec les mêmes données que dans l'exemple qui précède.

La corde eV, fig. 12, et la tangente 1" — 4" seront les traces de deux plans parallèles entre lesquels doit être compris le morceau de bois que Ton veut tailler. On projettera cette pièce sur le plan 1' — 4', que l'on pourra, pour éviter la confusion , faire descendre jusqu'à ce qu'il soit parvenu dans la position 1'" — 4'".

Faisant tourner ensuite ce dernier plan autour de l'horizontale projetante du point O, on obtiendra, fig. 21,1a projection de la pièce demandée sur le plan 1' — 4' de la fig. 12.

On construira sur la fig. 21 le rectangle circonscrit 1 — 2 — 3 — 4 et les panneaux B, C, D, E que Ton suppose rabattus sur le plan 1" — 4" de la fa. 12.

770. Le débillardement se fera comme dans l'exemple précédent, et lorsqu'on aura taillé les deux faces cylindriques du berceau A , on y appliquera les patrons de développement de la fig. 4 ; les côtés de ces patrons seront les directrices des surfaces cylindriques du berceau B. Les développements des fig . 20 et 4 se construiront par le principe du n° 173 de l'introduction. Ainsi , i

771. Sur la fig. 20 les deux lignes t/V,aV\ sections | droites du berceau B, ont été obtenues en portant à la suite I les unes des autres toutes les parties des deux arcs ©V,aV, fig. 5.

Les ordonnées sont les distances des points correspon dantsau plan H— t*" etK— c"de la fig. 14.

772. Sur la fig. 4 les ligne* s'V,ro"V sont égalas aux deux arcs s'V,ro"u" de la fig. 3, et les ordonnées sont les distances des points correspondants aux deux plans UMi*'" dela/ï^5.

773. Les deux solutions précédentes auront l'avantage de familiariser les jeunes charpentiers avec les diverses méthodes de projection ; mais dans la pratique on préfère souvent sacrifier un peu de bois, lorsqu'il peut en résulter quelques simplifications dans le tracé de Impure, simplification dont la conséquence est presque toujours une augmentation d'exactitude dans le résultat. Ainsi par exemple :

774. Troisième méthode. On remarquera que les projections de la pièce demandée sur les fig. 15 et 21 n'ont servi qu'à déterminer les patrons B,C,D,E> dont les côtes ont été employées comme directrices pour tailler les faces cylindriques des berceaux. Or, si Ton pouvait obtenir ces directrices sans construire les projections 15 et 21 , il est évident que cela simplifierait beaucoup le travail.

Supposons donc que , pour débillarder la pièce demandée , on veut commencer par tailler les faces cylindriques du berceau A , on construira comme précédemment les fig. 3, 5 et 14 ; mais , au lieu de projeter la pièce demandée sur le plan p', on projettera sur le plan j>" les quatre ellipses suivant lesquelles le berceau A est coupé par les deux plans parallèles 1'— 3' et 1"— 3", puis, faisant tourner le plan p" autour de l'horizontale projetante du point o\ on obtiendra, fig. 13, la projection de la pièce telle qu'elle serait après le débillardement , mais avant la taille des faces cylindriques du berceau B,

Le rectangle circonscrit J—.2— 3— 4, etladtoite 1'— rf ,

fig. 5, détermineront les dimensions du parallélépipède capable , sur les faces duquel on tracera les courbes de la fig. 13.

Ces courbes, sur lesquelles on marquera les points de repères déterminés par les génératrices 5 — 5 ,6 — 6 ,7 — 7 , etc. , • serviront pour diriger le mouvement de la règle génératrice des faces cylindriques du berceau A.

775. Quand ces faces seront taillées, on agira pour le reste comme dans les exemples précédents > c'est-à-dire que Ton appliquera sur ces faces les panneaux de la fig. 4, dont les côtés serviront de directrices aux faces cylindriques du berceau B.

776. Les quatre ellipses de la fig. 13 seront d'autant plus faciles à tracer que Ton^ connaît leurs axes, ce qui permettra de les construire par la métbode du n° 85 de l'introduction.

En efFet, les deux ellipses t"h et r"ft, égales entre elles, puisqu'elles sont les sections d'un même cylindre par les deux plans parallèles l' — 3\l"~ 3", fig. 5, auront pour axes horizontaux les droites (Y\rV\ égales au rayon, ex térieur du cylindre A, fig. 3, et pour second axe , la droite lu! de la fig. 5, tandis que les deux ellipses égales f flf,r"'y, de la fig. 13 auront pour axes horizontaux les droites lV",rV",, égales au rayon intérieur du cylindre A, et pour deuxième axe la droite t — 6 de la fig. 5.

777. La méthode précédente est appliquée sur les fig. 9 et 18 pour déterminer le débillardement de la pièce comprise entre les plans o'm" et o'a" delà fig. 12.

Ainsi, les quatre ellipses provenant de là section du berceau A, fig. 9, parles deux plans parallèles 5; — 8' ,5"— 8", ont été projetées sur le plan o'p' que Ton a rabattu, fig. 18,

en le faisant tourner autour de l'horizontale projetante du point o'.

778. Si Ton n'avait pas de place pour faire le rabattement de la fig. 18, on pourrait projeter, fig. 8, les quatre ellipses sur un plan p parallèle aux plans 5' — 8' et 5" — 8" dela/Sgr. 9.

On pourrait alors rabattre la figure en la faisant tourner autour de la droite suivant laquelle le nouveau plan de projection, fig. 8, coupe le plan vertical projetant de la droite HK, fig. 12.

Dans ce cas , chaque point de la fig. 8 serait déterminé en prenant sur la fig. 12 la distance au plan vertical HK , et portant cette distance , fig* 8 , sur la perpendiculaire abaissée du point correspondant de la fig. 9.

779. Lorsque les faces cylindriques du cylindre A serait taillées, on y appliquera les patrons de développement de la fig. 10, et les côtés de ces patrons seront les directrices des faces cylindriques du cylindre B.

780. Quatrième méthode. Au lieu de supposer les pièces comprises entre deux plans inclinés , fig. S et 9, on peut quelquefois (751) la déduire avec avantage d'un solide dont deux faces 9' — 1 1' et 9" — 1 1", fig: 17, seraient situées dans les plans verticaux q et (f.

Dans ce cas, on projetterait et Ton rabattrait, fig. 16, les quatre ellipses suivant lesquelles les surfaces cylindriques du berceau A sont coupées par les deux plans verticaux 9'— 1 1' et 9"— 1 1".

781 . Les axes horizontaux de ces ellipses sont égaux aux droites oa,ou de la fig. 17, et les axes verticaux sont égaux aux rayons o'c'yû'a!' des deux cylindres concentriques qui forment les surfaces du berceau A, fig. 12.