CHAPITRE V

148- Énoncé du principe. — J'ai fait observer (n** 9o) que le principe de l'équivalence n'introduit aucune dissyniélrie entre un changement isolable et le changement inverse. Pourtant, cette dissymétrie existe (*); je dois à M. Langevin^ d'avoir compris qu'elh^ trouve son expression dans le second principe de la Thermodynamique, ou principe de Carnot (^) et Clausius ('), et c'est sur son conseil que j'ai choisi pour ce principe l'énoncé qu'on va lire.

Montrons d'abord, brièvement, comment cet énoncé peut être suggéré.

Nous avons vu (n° 91) qu'on peut fondre de la glace en laissant tomber un poids; au seul point de vue du principe d'équivalence, il ne serait pas absurde qu'on put, en congelant de l'eau, remonter le poids. Pourtant cela n'a pas lieu, et l'on ne sait pas, de quelque manière qu'on s'y prenne, obtenir un changement isolé qui se réduise en définitive à l'élévation d\m poids et à la congélation d'eau. Nous affirmerons qu'il est impossible d'obtenir un tel changement.

De même, nous avons vu (n** 98) qu'on peut fondre de la glace en solidifiant du plomb. Il ne serait pas en contradiction avec le premier principe que l'on pût obtenir la fusion d'un morceau de plomb au prix de la congélation d'une certaine quantité d'eau. De façon plus précise, dès lors qu'on peut fondre i^ de glace en solidifiant i3^,65 de plomb, il ne serait pas en contradiction avec le premier principe qu'en fondant 1 3^, 65 de plomb on pût congeler !« d'eau, et la somme des nombres mesurant les deux change-

( ») Lire, à ce même point de vue, Max. Planck {Thermoclynaniik , p. ; i et sui v.). (-) RéJleJcioM sur la puissance motrice du feu (i82'|). (^; l/eber die bewegende Kraft der VVdrnie (i85o).

1^3 TBAITH DE CIÎJMIE HiVSigUË- — LES PAlNCIPES.

ments ainsi réalisés sérail bien nulle, comme il est nécessaire. Poi^rlant, f|Liel que sait le mi;canisme imagine jusqu'ici, ou n'u p réaliser un tel résultat. Nous aOlrmcronâ encore qu'où ne le rà- Hsera jamais.

On voit aisément comment on multiplierait de tels ei-emplei^ conduii&ynl tous à affirmer que, lorsqu^nn phénomène est $fmtanéj le pliénoméne inverse ne Tesl pas. On peut t**lre surpris pif la simplicité de pareilles réUexions; nous verrons pourtant (]u«l puissHnt outil de recherclie elles ont donné.

Brefj nous énoncerons, comme second principe de ïlieriiiûdj' riamique, la proposition s ni va nie :

Quand un changenicnt est isolaùle^ le changement im^erse ne t'est pas.

Les mois employés dans la forme ainsi donnée au second friiH cipe montrent commenl il se relie au premier, et le complète; vdïCI une autre forme, à peine dîlTérentc, et peut-être plus intuitive;

Un système isolé ne passe Jamais de tac /ois parle mén^ état-

Cette seconde forme du principe équivaut à la précédente* ca? dire que le système laissé isolé, parti de Télat A^ j revient apn^i avoir traversé d'autres états tels que B, c'est dire que le rliarige-! raenl AB est isolable, et de même le changement inverse BA, c€^ qui est contradictoire avec la première forme. La réciproque est évidente : si l'inverse d'un chang^emcnt isola hle était isolahlejcclt reviendrait a dire qu/un certain système isolé peul reprendre uî>: de ses étals antérieurs.

Ainsi, tandis que le premier principe ne s'inquiète pas de savoir, entre deux phénomènes causés Tun par Tau Ire, lequel es! antérieur à l'autre, lequel est la cause et lequel est Vejffet^ et 61 quelque manière ignore tonte distinction entre Ta venir et le pas*^ le second principe affirme un ordre nécessaire dans la successif' de ces deux phénomènes, sans retour possihle aux étals déjà tra* versés (^).

(*) Je dirais voloïiljers que le iemp» est anatoguc à unt- graadeur tcnsonelN ;iu poiiii de vue du preroier principe, à une grandeur vt?ctonelle au poittl de du seouod.

CHAP. V. — LE PHISfîtPE D'ÉVOLUTION. 1^%

Cest pourquoi j'ai cru espi câsif d'appeler ce principe un prineifit d'évolution ( *).

LVtioncé qui vieol d'elre donné à ce principe élaiL àv\k Ijien counu» loiit au moins sous sa seconde forme; mais il se trouvait 'Comme perdu parmi les const^quences qu'on lire des énoncés oraiaiijrprnent choisis, Noiis veriMinsqne Ton peut, réciproquement, ni déduire tous ces énoncée, et l'un trouve m peut-élre alors qu'il eiprime ce qu'il j a d'essentiel dans le nouveau principe de façon assipi jnluitive jiour être pris comme point de départ. Mais, dal>ordH, je veux discuter certaines obj col ions qui m ^amèneront à compléter et à préciser renoncé,

1 UL Objection des transformations réversibles. — Une olyjec-

tioij Intéressante peut élrc su^'^^énk* \yàv lu considération des transfonn»iions réversibles. On pourrait dire , par exemple^ que la dé- U*nlr, puis lit compression «rune vapeur saturante enfermée sons ua [Hslon chargé de poids dïins un corps de pompe entouré de glace fondante (n* lOT^ Jig, t^) peuvent s'elFectuer réversible- Bieni^ sans intervention appréciable des systèmes extérieurs, et H«îHiisi le système formé |)ar le ihiide, les poids et la glace fonrtanle reprend un éUil ri n té rieur. La réponse est évidente : le principn s'applique aux jiliénomènes réels et non aux IransformatiOM^réverèibles, qui sont irréalisables: en fait, si lentetnent qu\in ptïjccde, pour détendre, ptiis rom primer le lluide, il faut faire âj^f l'extérieur, et, de ce fait, le système n'est pas complètement isolr.

î>*"utemcntj et là est rintérét de T objection, nous devons nous souvenir tpie lorsqu'un système isolé subit une transformation '•pjïroiimativement réversible {*)j il peut reprendre un état anténeur au prix d'une action extérieure très faible, c'est-à-dire en ''«*siâut approximalivement isolé (^)>

* '] W se trouve qij*cri proposant te nom, je suis fitièle à ta pettsc^c de Clau^iu^» ^1" le mol ivtprjTtr,, \\\i\x il ii lire eniiopio ( n* 176), signifie prècrséuïcut eVo-

i*J Ti:l ocrait ht tas, dims TcKempIc précédent, pour un systi^me formé par le •^^HÎc, h glaec fondante et un poids inlliiimeni peu inférieur à celui qui assure **^utîibre.

Ti Oiin« k même exemple, il suffira d'ajouter 3U poids une charge inlioiment Petite.

TAAtTK UÊ i::niMii£ piivsiqi:k, '— LB8 FniNCipes.

130. Hypothèee complémentaire. — Mais^ d^aulre pari, uii point de vue pratique^ un système o'est jamais qu^epproximntîvi^menl isolé; si le prinrlpo devait n'être applicable qu'aux systèoïfu rigoureusement isolés, il aurait sans doute assez peu d'iutenëL Je compléterai donc Fénoncé donné par Tliypotlièse suivant** i ^ ) *.

Qtitfffd an système praliquement isolé subit une tramformation dont une partie an moins ne peut être regardée comme

réçersiblef il ne pettt siijpre d'une action extérieure infimmtni petite pour le ramener à son état initiaL

11 est natiirellenieiit soiis-entendii que le systèuir el la Ironsformalion ont une existence pratique, c'est-à-dire que le sjslmt" n'est pas infiniment petit, el que la transformation irréversible k fait passer par des états qui ne sont pas tous infiniment voisins 1m uns des autres,

131. ObjdctîaiL des oscillations périodiques. — Une objection un pen plus euibarrassîinle est fournie par l'exemple du pcnduk, qul^ supposé réalisable sans fro lie ment j peut osciller indeliiiiment, repassant périodiquement par un état antérieur. A la vérité, les frottements sont inévitables, mais on perfectionnera Tobjection et on la rendra plus générale en la présentant sous la formf suivante : rensembie formé par deux corps sensibles chacun ati champ de farce déterminé par l'autre petit éprouver des oscillations spontanées qui le font repasser périodiquement par le même état. Tel serait le cas pour deu\ astres extrêmement éloignés d»^ toute autre matière, et décrivant Ton autour de l'autre des orbite* elliptiques.

L'étlier ou se meuvent ces astres reprend alors périodîquemcfit le même état; admettons de plus que les astres imaginés restent identiques à eux-mêmes j que, par exemple, ce sont deux splu'te* homogènes, en équilibre de température avec i^étber enviroiiunti'' Alors le système isolé formé par les deux astres reprendri^ b!^-'* périodiquement le même état : le principe sera en défauts

( ' ) Je tiens à dire que l'irUroduclton rie celle hypothèse rîVst pas nécessiléc p' teuoucé qu'an a clioi^i plutûtque pat luuL uutit!, eu ^uuâ ync furme uii iine autrr^ ne pi^Lii éU'c évitée, quelle que sait l'ejtpoiîtbtt idopiée.

CHAP. V. — I.E PRINCIPE d'kVOLLTIOX. i45

Je n'Iiésile pourtant pas à dire qu'il faut maintenir Ténoncé précédent, sous réserve d'une restriction que je vais indiquer, réserve qui pratiquement sera sans imporlaiice et qui, au fond, lient encore à ceci que le principe s'applique à des réalités et non à des fictions. Où se trouve, en efl'et, réalisé dans la nature ce système idéalement simple formé par deux astres rigides et morts, infiniment éloignés de toute autre matière? Accordons, cependant, (pi'il soit réalisable, auquel cas le principe sera sûrement en défaut. Yaura-t-il d'autres exceptions?

Si seulement le système contenait trois astres semblables, son relouràun état antérieur exigerait un temps beaucoup plus grand. Si le système contient quatre, cinq de ces astres, ou, mieux, si leur nombre grandit extrêmement, il y aurait une véritable folie, pendant une observation de durée finie, à tenir compte de la possibilité (l'un retour à l'état initial.

J'ai Tair bien éloigné des questions qui nous occuperont dans la suite; en réalité, j'y suis peut-être revenu, si l'on se rap|)elle qu'une théorie hypothétique, mais considérable par les résultats qu'on lui doit, regarde toute matière comme formée d'un nombre immense de molécules en mouvement incessant. Prenons, pour fixer les idées, le cas du système isolé formé par une masse gazeuse enfermée dans un récipient qu'un robinet peut faire communiquer avec un autre récipient : c'est Tétat initial. Ouvrons le robinet, le gaz se détend et emplit les deux récipients. Il est maintenant extrêmement improbable, et pourtant il ne paraît pas logiquement impossible que, dans leurs chocs mutuels, les molécules prennent à un moment donné une distribution de vitesses qui les ramène toutes dans le premier récipient, le gaz reprenant ainsi Tétat initial par un phénomène spontané. Cela n'arrivera peut-être pas une fois en ioo*®° années, et, si cela arrive et qu'un observateur le puisse noter, il ne pourra pas recommencer l'expérience; mais enfin cela peut arriver.

ISi. Nous serons ainsi conduits à modifier légèrement l'énoncé d abord donné, et à dire, lorsque nous voudrons nous exprimer en toute rigueur :

Il est hautement improbable qu'un système isolé passe deux /ois par le même état; cela est d* autant plus improbable que

l46 TRAITÉ DE CHIMIE PHVSIOI'E. — LKS PRINCIPES.

la complicalion du système est plus grande, et pratiquement il serait insensé de se placer dans cette hypothèse d'un retour à l'état initial.

On pourra être choqué de voir un principe exprimé d'une façon qui n'excluL toute incertitude qu'au point de vue pratique; si •pourtant cela tient à la nature même de la question, si le principe d'évolution présente cette singularité d'exprimer des probabilités très hautes et non des certitudes, il faudra bien s'j résigner (').

Il semble bien que tel soit le cas, et que les énoncés ordinaires dissimulent ce caractère, sans pouvoir éviter qu'il intervienne (^).

Nous allons maintenant établir certaines propositions très importantes qu'on peut déduire du principe d'évolution, joint au principe d'équivalence.

153. Impossibilité d'un mouvement perpétuel de seconde espèce. — J'ai démontré (n" 13o) qu'on peut neutraliser un changement quelconque par un changement d'un système auxiliaire simple formé d'un poids et d'un thermostat. Si Ç^i, Qi, AU mesurent respectivement les changements relatifs au poids, au thermostat et au système donné, on a forcément

Quand le système revient à l'état initial, c'est-à-dire décrit un cycle, AU s'annule et l'on a

Gi H- Q, = o.

Remarquons d'abord qu'aucune de ces deux quantités î^i, Qi ne peut être rigoureusement nulle à ce moment où leur somme est nulle. Si, en effet, l'une était nulle, l'autre le serait également.

(') GiBBS, Conn. Acad. Trans., t. III, 1876, p. aag, et surtout Boltzmann, îT/e^i- Ann., t. LVII, 1896, p. 783, ont montré les premiers, je crois, comment les théories cinétiques amènent à voir dans le principe de Carnot-Clausius une loi de probabilité.

(2) Par exemple, tous ces énoncés conduisent à dire que la variation inverse de la délente d'un gaz ne peut s'effectuer spontanément. Or, comme on vient de voir, ceci n'est pas rigoureusement certain, mais seulement probable, ai la théorie cinétique est admise.

CIIAP. V. — LE PRINCIPE D'ÉVOLUTION. I \y

Le poids et le thermostat se reirouveraient donc dans leur état initial, ainsi que le systèine donne, sans qu'il s'ensuive aucun changement autre, puisqu'on a supposé qu'il y avait neutralisalion. Un tel retour à l'état initial est impossible d'après le principe d'évolution.

Donc, à la fin du cjcle, le changement partiel relatif au poids et celui du thermostat ne peuvent se réduire à rien. Ils forment dès lors, à cet instant, du fait que rien d'autre n'a changé, un changement isolé.

Il faut donc, puisque (ri et Qi sont égaux et de signes contraires :

Ou bien que le poids soit abaissé et que le thermostat ait été échauffé d'une quantité équivalente ;

Ou bien que le poids soit élevé et que le iherniostat se soit refroidi d'une quantité équivalente.

Ces deux changements, seuls possibles, d'après le principe d'équivalence, sont inverses l'un de l'autre; or, nous savons déjà (n° 91) que le premier est isolable; donc, d'après le principe d'évolution, le second ne peut pas l'être.

Nous atteignons, par conséquent, à Ténonré suivant :

Quand un système a décrit un cycle et que le changement extérieur se réduit, en définitive, à un chani^ement subi par un système auxiliaire formé d^un poids et d'un thermostat, fii'cessuirement le poids est descendu et le thermostat s^est échaufé.

Il serait plus bref et, en somme, tout aussi complet de dire :

Un changerrj^ent isolé ne peut se réduire à l'élévation d'un poids et au refroidissement d'un thermostat.

Si Ton se rappelle ce qu'on entend par machine (n" 130), on voit de suite qu'il est impossible de réaliser une machine qui, suivant l'expression courante, utilise une sfntle source de chaleur. Celte proposition importante est souvent prise comme énoncé du second principe.

Par exemple, et malgré l'importance du réservoir d'énergie que forme la mer, on ne pourra construire une machine qui, à la fin

TRAITK DC ClllMlE PUVSIQUE. — LKS PBlNCtPlkS.

de chaque périudcj se trouve avoir élevé des poids en refroiflrssnnl lin peu Teau de la mer, Uue telle machine réaliserait ce qu^Oslwald a iippt:lc mi motivemeni perpétuel de seconde espèce {* ), *(ui *c trouve impDSîsihIe aussi bien que \q mouvement perpétuel proprement dit (a" 78).

CYCLiS BÉA LISIBLES ATëC LE CONCOt'RS d'itXK SOCaCE m iBlLiO (cycles MONOTRËRITES).

lai^ DéÛnitîon. — 11 J ^ au moins un groupe de cas, dont jiî au reste déjà parlé (n" ISl), pour lesquels les variations ^(, Q* J" système auxiliaire poids-thermostal sont numériquement égales aii travail tï et a là cludour Q fournis à l'extérieur par le sjslCmt! «Jtt* évolue.

Il suffit pour cela, comme nous l'avons vu, que parmi les ihermoslalâ fictifs qui peuvent remplacer Textérieurj au point de vu€ de ses actions thermiques, tous ceux 9 qui ont été échauffés aient des lempéralures supérieures ou égales à celles de tous ceux 5' ip ont été refroidis. Alors, par simple contact avec un même thermostat auxiliaire 8 de température intermédiaire, tous les thermostats primitifs pourront reprendre leur étui initial, et le ihrnnostat auxiliaire subira un changement numériquement égal 4 celui qu'ils avaient d'abord sulû, c'est-à-dire par définition à la chaleurQ cédée parle système; le résuliat subsisterait, bien entendu, si «o seul des deux groupes 9 et 0' existait.

Quand la condition ainsi détaillée sera remplie, nous diron^qa« la transformation peut se faire as^ec le concours d*ane sente source de chaleur. Cette expression implique une hypothèse Ineii vraisemblable, a savoir que le thermostat 6, plus chaud que les thermostats 6 qui ont agi en se refroidissant, aurait pu les remplacer, non seulement après coup, mais pendant la iransformation, et àe même pour les thermostats 0'. Au surplus, cette hypothèse o%t pas essentielle k ce qui va suivre^ et si Ton voulait être très prudent, on se dispenserait de la faire, en cherchant une autre exprès-

sîon pour désigner les Iransfonnations consicltTées, mais cela ne parait pas bien utile. Plus brièvement encore, nous dirons qu'une quelconque de ces transformations est monotherme ; cela ne voudra absolument pas dire que la température du système reste uniforme d'un point à l'autre, ni constante d'un instant à l'autre, mais seulement qu'une source unique, à température bien fixée, aurait pu à chaque instant remplacer l'extérieur au point de vue tliermique, la variation totale de cette source unique étant nuniériquement égale à la chaleur Q cédée par le système.

loo. Cycles monothermes. — Supposons maintenant que la transformation monotherme ramène le système à son état initial, ou, plus ^brièvement, que le système ait décrit un cycle mono- ^herme.

Alors le changement extérieur se réduit à un changement isolable du système poids-thermostat, et nous venons de voir (n® 153) Tue, alors, ce changement se compose nécessairement d'un abaissement du poids et d'un échauffement du thermostat. Nous atteignons donc, en conséquence de ce théorème général, aux deux propositions suivantes :

/.a chaleur dégagée le long (V un cycle monotherme est né- ^^ssairement positive ( * ).

L^ travail extérieur fourni le long d^ un cycle monotherme ^si nécessairement négatif.

Ces propositions ont une importance capitale. On choisit assez 'l'équemment la première comme énoncé du principe de Carnot.

io6. Cycles monothermes réversibles. — Nous savons de plus, toujours d'après le n" 133, que ce travail îT et erfle c li:i!<Hir Q ne Potivcnt être rigoureusement nuls tous deux, i\ l;i (ii> du cycle. ^lais l'une de ces quantités, et j)ar suite l'autre, puisipie leur somme ^st nulle, peut devenir très p<tite.

Alontrons (|u'alors le cyclr est approximativement réversible

(') Si, par exemple, un cyrlc u élé décrit à l'iuti''ri«:»r «l'un tlietiiiostat à glace '^"odantc, nous sommes assurés «jnc, de ce faîl, de la glactr a f«)ndu dans le thcrïïiostat.

TRAITE DE CMIMrE PJIÎSJQlîE, — LKS PftrXCIPES,

et admet comme forme limite un cycle réversible lorsque Z fi Q iendenl vers zéro. Il va de soi qu^on ne vise pas ici le cas peu intéressant où ^> el Q lendraîenl vers zéro siinplcmenl parce que te cj'cle deviendrait prBti(|ueinent imperceptible, comme il arriverait si le systt^me ëludieWle%'enftil infininieiil petit, ou si lei* i^taU Cju^il traverse le long du cycle de%"etiaient lous innniment voisiûS de t*un d'entre eux.

Ce cas écarté, soient donc (r et Q 1res petits; on pourra^ a» pu d\ine action extérieure ir(>s faible, rétablir dans leur état initial le poids et le thermostat auxiliaires; le système isolé qu'ils forniPiil avec le système donné aura donc^ au prii de cette action très raîLïe, repris son état initiaL Or^ d'après rhjpothèse par laquelle \ù complété le second principe (ii° ISt^), cela n*est possible que si toutes les opérations efïec tuées sonl pratiquement réversibles* Le cycle parcouru est donc réversible, comme on voulait le montref*

Ceci exige que tous les états rencontrés soient au moins desétaU d'équilibre apparent : la température aura donc dû, à chaque iûst<int, être la même pour toiis les points du système, c'est-à-rliit être uniforme (*). Elle aurti dû, à chaque instant pendant letjut!l Ô ou 8' agissait, être sensiblement égale à celle de celte source extérieure, Enfirr, jtour que celte source puisse reprendre réversiblemeni sou çiai initial sous l'action du seul thermostat 0, il '^wn fallu qu'elle ait toujours sensiblement la tem[>érature fixée de ce tlieruiostiU auxiliaire. La température aura donc été consUute, d'un instant à rautre, tout au moins dans les instants où k sjSr léme n'a pas été thermitpiemeut isolé.

Pour exprimer cette uniformité de température d'une région i \ l'autre du système, et d'un instant à Taulre^ nous dirons que le j cycle est isotherme. Un cycle n^onotherme réversible est forciment isotherme.

Réciproquement :

Offtxnd un cycle monotherme est approximati^'ement m'^r

{') tl jii'iït iiirîvpr que lo sy*»it'incî §nii fïrV« impose en liystèmrs dislinris *Soi« %nH tes uns des dultrs. Ah>r* le* rnnsidrraliotis îri ifkdiqtiécs srrnni n|rpJirii)i1« à dia^'iiiî 4e rr^ innri?rari% <lu sysli^me tniul. )ï!in^ cbaque mor<*eu« ta tempi^ratUiT M"r;« iiTilfonïif.* et *!;,'iilc :i eoHe de l^i source» ijiiiinil la ^ciuiri; agira; *'^le pou n il ^Irr:" il iiTt rente piiiii deuît piurrci^ust difTérent».

CHAP. V. — LE PRINCIPE d'ÉVOLUTION. i5i

sible, le travail extérieur et la chaleur dégagée sont très petits, et tendent vers zéro quand le cycle admet compte forme limite un cycle réversible,

\ Nous savons en effet (n" 155) que la chaleur Q dégagée par le sjstème le long du cycle monotherme est forcément positive,

Nous pouvons maintenant, c'est Thypothèsc, décrire un second cjcle où se trouveront, dans l'ordre inverse, approximativement réalisés les états rencontrés le long du premier cjcle. Soit Q' la chaleur alors dégagée; il faut aussi

D'autre part, comme on l'a établi (n** 14-4) pour toute transformation approximativement réversible, les chaleurs cédées Q et Q' sont, élément par élément, de signe contraire et égales, à des infiniment petits près d'ordre supérieur, c'est-à-dire

Q' = - Q -^ s, € étant très petit; ou bien

la somme des quantités de chaleur Q et Q', toutes deux positives, étant très petite, chacune d'elles est très petite, et c'est au fond ce qu'on voulait établir. Si, de plus, le cj^cle est un cycle approximativement réversible de première espèce, c'est-à-dire admet comme forme limite un cjcle réversible au sens rigoureux du mot, € et, par suite, Q ou Q' pourront être rendus aussi petits qu'on voudra.

En même temps, TL deviendra aussi petit qu'on voudra : la proposition énoncée se trouve établie.

On lui donne fréquemment l'une ou l'autre des deux formes abrégées qui suivent :

La chaleur dégagée le long d'un cycle isotherme réversible est nulle.

Et, d'autre part,

La .somme des travaux exlérieurs fournis le long d^un cycle isotherme réversible est nulle.

Nous utiliserons particulièrement cette seconde forme.

132 TRAITÉ DE CHIMIE PilVSIQUË. — LES PRINCIPES.

lo7. Travail maximum que peut fournir une transformation monotherme d'extrémités données. — Nous venons de monlrerque, le long d'un cycle réversible monotherme, le travail extérieur est nul. Ceci nous permet d'affirmer que, si plusieurs transformations réversibles monothermes peuvent amener un système d'un état initial donné O à un état final donné M (//^. 25), le travail extérieur est le même le long de chacune de ces transformations.

Si, en effet, ORM et OR'M désignent deux transformations réversibles conduisant le système de O en M, ce système décrira un cycle réversible s'il éprouve d'abord la transformation ORM, puis la transformation MR'O inverse de OR'M. La somme des travaux extérieurs est alors nulle, c'est-à-dire

le lunf de ORM. le luni; de MRO

Mais le travail extérieur le long de M R'O est égal et de signe contraire au travail extérieur le long de OR'xM. On a donc