L ENTROPIE

17B. Inégalité de Glausius. — Nous allons maSntennTil atteindre à une nouvelle: et importante notion, due à Clausius, notion qui ne p€ui être eorore tlébatrassée de tout appareil mathématique et qui cependant a déjà rendu de grands services aux expérimentateurs par la lumière qo'elle jette sur les considérations d'équilibre*

J'ai fait observer que, au point de vue de son action thermique sur un âjstémej l'extérieur pouvait être remplacé à chaque instant paruD nombre fini ou infini de thermostats, dont la variation définit la chaleur cédée par le système. Puis j*aî montré {n" 133) que, la transformation une fois terminée, on peut à loisir, au moyen de Lhermostats auxiliaires, réduire le nombre de ces thermostats, leur variation totale restant mesurée par la chaleur Q cédée par le ijfslèïïie, et amener ce nombre à être inférieur ou égal à deux. Mais on pent ne pas faire cette réduction, ou sVrrêter avant de navoir que deux thermostats modifiés. Plaçons-nous maintenant mn% ce cas*

Imaginons qu'un système ait décrit un cycle; soient T,, ïj, -.*, ^# les températures des n thermostats qui ^ en définitive^ ont été njodifiés; soient Q,, Qa, ..., Qft les quantités de chaleur qu'ils uni reçues, et dunt la somme doit faire la chaleur cédée par le sysïèttie le long du cycle. Nous allons généraliser Pinégalitë

^l«^I»lie (n** 171) dans le cas de deux thermostats, et montrer que

Iê premier membre tendant vers xéro seulement quand toutes les ^^iitisformations produites approc lient de la réversibilité.

Cimsidérons pour cela un thermostat auxiliaire dont la teiripéf^ture absolue est arbitraire. Nous pouvons imaginer que, par M cycle réversibles on fasse subir au premier thermostat la variation (— Q,) qui le rétablira dans son ëtiit initial, en même temps

TKAITE HE CHIMIE PHVSIQLE. — LES I*RI!<ÎC1P£S.

que le thermostat auxiliaire subira un changemeni y, qui devra rîfier Fégâlitë

D'où résulte

Par le moyen d'un second cycle réversible, nous rétablirons le] deuxième llicrmoslat dans son élal initial, en même temps que I( thermostat auxiliaire recevra la quantité de ciiuleur

et ainsi de suite. En définitive, tous les thermostats prim il ifs auront repris leur état initial; seul le thermostat auxiliaire aura varii^, ayant reeu la quantité de chaleur

Xi -^ Zî

Cette quantité de chaleur doit donc être positive, et Van .i h^'^^t puisque 8 est positif^

OU

Comme les cycles auxiliaires sont tous réversibles, le cycle tol^l décrit par le système donné et par les thermostats primitifs sera j réversible si le cycle décrit par le système seul est réversible; iibr*? et seulement alors, rinégalité devient

Enfin, dans le cas général, si Ton ne fait subir aucune réducli(^û au nombre des thermostats qui, à chaque instant, peuvent remplacer Textérieur au point de vue des actions tlïermiques, oaaiini un nombre infini de ces thermostats, subissant chaeim des varia-j lions infiniment petites, et Ton devra écrire

COAP. V. — LE PRINCIPE D'ÉVOLUTIOX. IJS

r désignant toujours les températures des thermostats. L'intégrale double a la signification suivante : à chaque instant on intègre les

expressions de la forme ^ relatives aux thermostats qui agissent

sur les différentes régions du système entre les temps t el{t-\-dt)^ puis on intègre pour la durée du cycle l'expression ainsi obtenue pour cet intervalle dt.

Dans rintégrale du premier membre, les rfQ désignent des chaleurs perdues par le système. On peut vouloir mettre en évidence les chaleurs gagnées par le système ; il suffit alors de remplacer chaque rfQ par le nombre égal [ — rfQi] ; Tinégalité devient alors

C^st rinégalité de Glausius (*).

ou

177. Quand le cycle décrit par le système devient réversible, et seulement alors, le premier membre de cette inégalité devient nul. Ûe plus, en ce cas de réversibilité, la température du système est i chaque instant uniforme, et il suffit d'écrire

T ou

T désignant indifféremment la température du système ou celle de 1 extérieur, au même instant.

178. Entropie. — Nous pouvons dès lors affirmer que, si plusieurs transformations réversibles permettent d'amener un système d'un état initial donné O à un état final donné M, l'intégrale

-;p prise le long de ces différentes transformations a la même

valeur.

( * ) La démonstration qu'on vient de lire est due à M. Potier.

Si, en effet, ORM et OR' M figurent deux transformations réversibles distinctes amenant le système de O en M {fig, 3i), le système décrira un cycle réversible s'il éprouve d'abord la transformation ORM, puis la transformation MR'O inverse de ORM.

Fig. 3i.

L'intégrale / -^ prise le long de ce cycle doit être nulle, c'està-dire

r dq, r dQ.

et, par suite,

r dQ^^ r dQi