Projections de V accélération en coordonnées

24 TRAITÉ DE CINÉUATIQUË.

polaires. — Cherchons les composantes A, B,C de l'accélération Y suivant le prolongement MP du rayon vecteur OM {fig- 8), la perpendiculaire MQ dans le plan azimutal :jOM, menée dans le sens dans lequel 6 croit, et la perpendiculaire MK au plan zOM. dans le sens des arcs ç croissants. A cet effet, considérons d'abord le point M comme ayant pour coordonnées semi-polaires

^izrpcosO, Om riz r 1= psiM et cp;

d'après ce qui précède, y aura pour projections

surO^ z",

sur Om r" — /*cp'*,

surMKi|(rV) = -4^J(,ysin'0).

Il reste à composer, suivant MP et MQ, les projections de Y sur Oz et 0/n; prenons d'abord z" et /', ce sont les projections suivant les deux axes rectangulaires Oz et Ont de l'accélération de la projection de M, sur le plan zOhl supposé fixe ; donc, d'après le calcul de l'accélération en coordonnées polaires planes, on peut remplacer ces deux composantes par

p" — pÔ'^ suivant MP et - -r{f^') suivant MQ.

Il reste encore — rç'^ porté sur Om, dont les composantes suivant MP et MQ sont respectivement

— rcp'^sinG =: — pcp'*sin*6,'

— r(p'*cos6 == — pcp'-sinÔcosO.

En résumé, y est la somme géométrique des trois com-

CHAP. I. — MOUVEMENT D'uN POINT MATÉRIEL. l5

posantes rectangulaires

A=:p" — pô'» — p(p'«sin«0,

B =- — (p«ô') — pf'*sinôcose,

C = — ^~(?Vsin«ô).

24. Autre définition de V accélération. — Soient M et M' {Jig* 1 1 ) les positions du mobile aux époques t et

Fiff. II.

/ -h A^ et p sa vitesse au temps t; portons sur la tangente

MT à la trajectoire la longueur absolue MM'' r=: V A^ dans

le sens du mouvement, ce qui revient à prendre v^t dans

le sens positif, et joignons M"M'. U accélération y est la

2 M"M' limite de la grandeur géométrique —r-rr dirigée de

W vers W.

En effet les coordonnées de M' sont

dx ^ d^x (t^ty d^x {b^ty

y -h A j = . . . , z-\- Lzr=i . . .^ et celles de M'^, en vertu de la relation MM'' = p A^, dx ^ dy ^ dz ^

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